数学_2011年江苏省某校高考数学四模试卷(含答案)

2011年江苏省某校高考数学四模试卷
一、填空题
1. 已知集合A ={x ∈R|0<x <3}，B ={x ∈R|x 2≥4}，则A ∪B =________．
2. 若复数(1−i)(a +i)是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为________．
3. 如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6, 10]内的频数为________，数据落在(2, 10)内的概率约为________．
4. 连续3次抛掷一枚硬币，则恰有两次出现正面的概率是________．
5. 已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数，则k 的值为________．
6. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 11=35+S 6，则S 17的值为________．
7. 执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为________．
8. 将函数y =sinx 的图象上所有的点向右平行移动π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是________．
9. 已知函数f(x)=2cos2x +sin 2x −4cosx ，x ∈R ，则函数f(x)的最大值为________． 10. 已知cos(π
2+θ)=4
5，则cos2θ=________．
11. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为________．
12. 已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则正四棱柱的体积为________． 13. 已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为________．
14. 已知函数f(x)={log 21
x+1，x ≥0，
(12)x
−1，x <0，若f(3−2a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是
________．
15. 若关于x 的不等式x 2<2−|x −a|至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________−9
4，2） ．
16. Rt △ABC 中，AB 为斜边，AB →⋅AC →
=9，S △ABC =6，设P 是△ABC （含边界）内一点，P 到三边AB ，BC ，AC 的距离分别为x ，y ，z ，则x +y +z 的取值范围是________． 17. 过双曲线
x 2a 2−
y 2b 2=1的左焦点F 作圆x 2+y 2
=
a 24
的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右
支于点P ，若OE →
=1
2(OF →
+OP →
)，则双曲线的离心率是________． 18. 已知数列{a n }的各项都是正整数，对于n =1，2，3…，有a n+1={3a n +5
a n 2k
a n 为奇数
a n 为偶数，k 是使a n+1为奇数的正整数
若存在m ∈N ∗，当n >m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p =________．
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知锐角三角形ABC 中，定义向量m →
=(sinB, −√3)，n →
=(cos2B, 4cos 2B
2−2)，且m →
 // n →
（1）求函数f(x)=sin2xcosB −cos2xsinB 的单调减区间； （2）若b =1，求△ABC 的面积的最大值．
20. 如图，已知正四面体ABCD 的棱长为3cm ．
（1）求证：AD ⊥BC ；
（2）已知点E 是CD 的中点，点P 在△ABC 的内部及边界上运动，且满足EP // 平面ABD ，试求点P 的轨迹；
（3）有一个小虫从点A 开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm 之后，求恰好回到A 点的概率． 21. 某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，每一批产品A 上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图1、图2、图3所示，其中图1中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图2中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）
（1）分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A 的上市时间t 的关系式；
（2）每一批产品A 上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？
22. 在平面直角坐标系xOy 中，A(2a, 0)，B(a, 0)，a 为非零常数，动点P 满足PA =√2PB ，记点P 的轨迹曲线为C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）曲线C 上不同两点Q (x 1, y 1)，R (x 2, y 2)满足AR →
=λAQ →
，点S 为R 关于x 轴的对称点． ①试用λ表示x 1，x 2，并求λ的取值范围；
②当λ变化时，x 轴上是否存在定点T ，使S ，T ，Q 三点共线，证明你的结论．
23. 已知对任意的实数m ，直线x +y +m =0都不与曲线f(x)=x 3−3ax(a ∈R)相切． （1）求实数a 的取值范围；
（2）当x ∈[−1, 1]时，函数y =f(x)的图象上是否存在一点P ，使得点P 到x 轴的距离不小于1
4．试证明你的结论．
24. 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ，a n+1=2
3a n +n −4，b n =(−1)n (a n −3n +21)，
其中λ为实数，n 为正整数．S n 为数列{b n }的前n 项和． （1）对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；
（2）对于给定的实数λ，试求数列{b n }的通项公式，并求S n ． （3）设0<a <b （a ，b 为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a <S n <b ？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
2011年江苏省某校高考数学四模试卷答案
1. (−∞, −2]∪(0, +∞)
2. 1
3. 64,0.4
4. 3
8
5. −1
2
6. 119
7. 2
8. y =sin(1
2x −
π10
)
9. 6 10. −7
25 11. 17π 12. 8√2 13. 8
14. a <−32或a >1 15. （ 16. [12
5, 4] 17.
√10
2
18. 1或5
19. 解：（1）由题意知，m→=(sinB, −√3)，n→=(cos2B, 4cos2B
2
−2)，m→ // n→，
∴ sinB(4cos2B
2−2)−(−√3)cos2B=0，2sin(2B+π
3
)=0
由于是锐角三角形，故B=π
3
，
∴ f(x)=sin2xcosB−cos2xsinB=sin(2x−B)=sin(2x−π
3
)，
由π
2+2kπ≤2x−π
3
≤3π
2
+2kπ(k∈z)解得，π
12
+kπ≤x≤π
2
+kπ(k∈z)，
∴ 函数的单调减区间是[π
12+kπ, π
2
+kπ](k∈z)；
（2）由（1）知，B=π
3
，
根据余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，即1=(a+c)2−2ac−ac，∴ (a+c)2=1+3ac，当且仅当a=c时等号成立；
∵ (a+c)2≥4ac，∴ 1+3ac≥4ac，
∴ ac≤1，当且仅当a=c时等号成立，
∴ △ABC的面积S=1
2acsinB=√3
4
ac≤√3
4
，
∴ △ABC的面积的最大值为√3
4
．
20. 解：（1）证明：取BC中点M，连AM、DM，
因△ABC及△BCD均为正三角形，故BC⊥AM，BC⊥DM．
因AM，DM为平面ADM内的两条相交直线，
故BC⊥平面ADM，于是BC⊥AD．
（2）连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM．于是EQ // AD，故EQ // 平面ABD．同理MQ // 平面ABD．
因EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，
故平面QEM // 平面ABD，从而点P的轨迹为线段QM．
（3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，
故所有等可能基本事件总数为34=81．
走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了AB，然后走第2条棱为：或BA或BC或BD．若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；
若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；
同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择．
故小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×(3+2+2)=21种可能．
于是，所求的概率为21
81=7
27
．
21. 解：（1）由图象得函数的解析式分别为：
f(t)={2t(0≤t≤30)
−6t+240(30<t≤40)g(t)=−3
20
t2+6t(0≤t≤40)．
（2）设每件产品A的销售利润为q(t)，
则q(t)={3t (0≤t ≤20)
60(20<t ≤40)
，
从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为： Q(t)={−9
20t 3+24t 2
(0≤t ≤20)
−9t 2+480t (20<t ≤30)−9t 2+14400(30<t ≤40)．
①当0≤t ≤20时，Q ′(t)=−27
20t 2+48t =
t(20×48−27t)
20
≥0
∴ Q(t)在区间[0, 20]上单调递增，此时Q max (t)=Q(20)=6000 ②当20<t ≤30时Q(t)=−9(t −
803)2+6400，t ∈N +，
t =27时Q max (t)=Q(27)=6399
③当30<t ≤40Q(t)<Q(30)=6300 综上所述Q max (t)=Q(27)=6399
第一批产品A 上市后，这家公司的日销售利润在第27天最大，最大值为6399万元．
22. 解：（1）设点P 坐标为(x, y)，由PA =√2PB ，得√(x −2a)2+y 2=√2×√(x −a)2+y 2，平方整理得x 2+y 2=2a 2，所以曲线C 的方程为x 2+y 2=2a 2
（2）①由AR →=λAQ →，得{x 2−λx 1=2a(1−λ)y 2=λy 1，∵ Q ，R 在曲线C 上，∴ {x 12+y 12=2a 2
x 22+y 22=2a 2， ∴ x 1=
3−λ2
a ，x 2=
3λ−12λ
a ，∵ −√2a ≤x 1，x 2≤√2a ，∴ 3−2√2≤λ≤3+2√2
又Q ，R 不重合，∴ λ≠1，∴ λ的取值范围是[3−2√2，1)∪(1,3+2√2)
②存在符合题意的点T(a, 0)，证明如下：TS →
=(x 2−a,−−y 2)，TQ →
=(x 1−a,−−y 1)， 要证S ，T ，Q 三点共线，只要证明TQ →
 // TS →，即(x 2−a)y 1−(x 1−a)(−y 2)=0 ∵ y 2=λy 1，∴ 只要(x 2−a)y 1+λ(x 1−a)y 1=0 若y 1=0，则y 2=0成立
若y 1≠0，只要x 2+λx 1−a(1+λ)=0成立 所以存在点T(a, 0)，使S ，T ，Q 三点共线 23. 解：（1）f′(x)=3x 2−3a ∈[−3a, +∞)，
∵ 对任意的实数m ，直线x +y +m =0都不与曲线f(x)=x 3−3ax(a ∈R)相切， ∴ −1∉[−3a, +∞)，∴ −3a >−1，∴ 实数a 的取值范围为a <1
3；
（2）存在，证明：问题等价于当x ∈[−1, 1]时，|f(x)|max ≥1
4
，
设g(x)=|f(x)|，则g(x)在[−1, 1]上是偶函数， 故只要证明当x ∈[0, 1]时，|f(x)|max ≥1
4，
①当a ≤0时，f′(x)=3x 2−3a ≥0，f(x)在[0, 1]上单调递增，且f(0)=0，g(x)=f(x)， g(x)max =f(1)=1−3a >1>1
4；
②当0<a <1
3时，f′(x)=3x 2−3a =3(x +√a)(x −√a)，
令f′(x)<0，得0<x <√a ，令f′(x)>0得√a <x <1， ∴ f(x)在[0, √a]上单调递减，在[√a, 1]上单调递增， 注意到f(0)=f(√3a)=0，且√a <√3a <1，
∴ x ∈(0, √3a)时，g(x)=−f(x)，x ∈(√3a, 1]时，g(x)=f(x)， ∴ g(x)max =max{f(1), −f(√a)}，
由f(1)=1−3a ≥1
4及0<a <1
3，解得0<a ≤1
4，此时−f(√a)≤f(1)成立． ∴ g(x)max =f(1)=1−3a ≥1
4．
由−f(√a)=2a √a ≥1
4及0<a <1
3，解得1
4≤a <1
3，此时−f(√a)≥f(1)成立． ∴ g(x)max =−f(√a)=2a √a ≥1
4．
∴ 在x ∈[−1, 1]上至少存在一个x 0，使得|f(x 0)|≥1
4
成立，
即当x ∈[−1, 1]时，函数y =f(x)的图象上至少存在一点P ，使得点P 到x 轴的距离不小于1
4
．
24. 证明：（1）假设存在一个实数，使{a n }是等比数列，则有a 22
=a 1a 3，
即(23
λ−3)2=λ(49
λ−4)⇔49
λ2−4λ+9=4
9
λ2−4λ⇔9=0，
矛盾．所以{a n }不是等比数列．
（2）因为b n+1=(−1)n+1[a n+1−3(n +1)+21]=(−1)n+1(2
3a n −2n +14)
=−23(−1)n ⋅(a n −3n +21)=−23
b n
当λ≠−18时，b 1=−(λ+18)≠0，由上可知b n ≠0， ∴
b n+1b n
=−2
3(n ∈N +)．
故当λ≠−18时，数列{b n }是以−(λ+18)为首项，−23
为公比的等比数列．b n =−(λ+18)⋅(−2
3)n−1，S n =−3
5(λ+18)(1−(−2
3)n )
当λ=−18时，b n =0，S n =0
（3）由（2）知，当λ=−18，b n =0，S n =0，不满足题目要求． ∴ λ≠−18，
要使a <S n <b 对任意正整数n 成立，
即a <−3
5
(λ+18)•[1−(−2
3
)n ]<b(n ∈N +)…①
得
a
1−(−23)n <−35(λ+18)<b 1−(−23)n 令f(n)=1−(−2
3
)n ，则
当n 为正奇数时，1<f(n)≤5
3；当n 为正偶数时，5
9≤f(n)<1，
∴ f(n)的最大值为f(1)=53
，f(n)的最小值为f(2)=5
9
，
于是，由①式得95
a <−35
(λ+18)<3
5
b ⇔−b −18<λ<−3a −18．
当a <b ≤3a 时，由−b −18≥=−3a −18，不存在实数满足题目要求；
当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a <S n <b ，且λ的取值范围是(−b −18, −3a −18)．。