例谈求动点的轨迹方程

例谈求动点的轨迹方程
作者：施敏仪
来源：《中学教学参考·中旬》 2014年第3期
广东佛山南海中学分校（528208）施敏仪
求动点的轨迹方程问题在高中人教A版教科书中必修2第四章第一节及选修2-1第二章第
一节中出现，其中选修2-1第二章第一节还给出了求动点的轨迹方程的一般步骤.
求动点的轨迹方程是高考解析几何题目中常常出现的问题之一，而它是高中数学教学中的
一个难点，学生对动点的轨迹方程的理解及动点的轨迹方程的求法都存在困难.本文将列举近三年高考中常出现的题型及解题方法，供读者参考.
一、代入法
代入法分为直接代入法和间接代入法两种.在解析几何中，代入法就是要求哪个动点的轨迹方程，就设哪个动点的坐标为（x，y），然后根据动点的坐标（x，y）与已知条件的关系列出
动点的轨迹方程.
综观近几年的高考题，利用代入法求动点的轨迹方程是高考中常出现的题型，因此让学生
理解并学会运用代入法显得尤为重要.
1.一般来说，所研究的动点与题目所给的方程或等量关系有直接的联系，用直接代入法
直接代入法的步骤可简单归结为五个：建系；设点；列等式；代入；化简.
【例1】（2012，四川，理）如图1，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程.
分析：题目要求轨迹C的方程，给出的等量关系是∠MBA=2∠MAB.根据点的坐标及给出角的等量关系，我们可以利用两点斜率公式求出∠MAB和∠MBA的正切值，然后再根据二倍角公式将两角的正切值联系起来，得到所要求的轨迹方程.
化简得3x2-y2-3=0，方程经过点（2，±3）.
综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x＞1）.
评析：（1）根据M、A、B三点构成三角形可得y≠0，由∠MBA=2∠MAB可得x＞0；
（2）当∠MBA=90°时，正切值不存在，而题中∠MBA有可能为90°，因此要分情况讨论；
（3）由于最后得到轨迹C的方程是双曲线方程，又因为由题设知x＞0，所以可以进一步
得到x的范围为x＞1.
2.若所研究的动点与所给的方程或等量关系没有直接联系，可以通过找出既与所给方程或
等量关系有直接联系，又与所研究的动点有关系的辅助动点.
如辅助动点Q的坐标可用所研究的动点P的坐标表示，而又找到辅助动点Q的坐标与所给
方程或等量关系的联系，那我们只要将点Q的坐标用点P的坐标表示，再将其代入等式即可.这种方法就是间接代入法.
【例2】（2012，湖北，理）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m＞0，m≠1）.当点
A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求
其焦点坐标.
分析：题中所求为动点M的轨迹方程，选取的辅助动点应为点A，它是所给单位圆x2+y2=1上任意一点M，与所求动点存在着这样的关系：|DM|=m|DA|（m＞0，m≠1）.
评析：根据题目所给的m的范围，对曲线C为何种曲线进行分类讨论.
二、定义法
当题目给出的等量关系与圆、椭圆、双曲线或抛物线定义相一致，我们可以根据题目的已
知条件和这几种圆锥曲线的标准方程直接得出所需要的轨迹方程.
【例4】（2012，湖南，理）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线
C1的方程.
分析：动点M的轨迹与抛物线的定义相似，因此利用抛物线的方程求出曲线C1的方程.
解析：由题设知，点M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，
而点M到圆C2上点的距离的最小值为点M到圆心C2（5，0）的距离减去半径长3，
所以，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，
因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，
故其方程为y2=20x.
【例5】（2011，广东，理）设圆C与两圆（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程.
分析：设圆C的半径为r，由题可知，圆C的圆心到点（-5，0）的距离为r-2，圆C的圆
心到点（5，0）的距离为r+2，因此圆C的圆心到点（-5，0）和点（5，0）的距离之和为4，
与椭圆的定义一致.
（责任编辑金铃）。