北京市石景山区2020-2021学年度第一学期高二数学期末试卷及答案

石景山区2020-2021学年第一学期高二期末试卷
数 学
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求．
1. 直线l 过点(1,2)P −，倾斜角为45，则直线l 的方程为
A ．10x y −+=
B ．10x y −−=
C ．30x y −−=
D ．30x y −+=
2．设P 是椭圆22
153
x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
A ．22
B ．23
C ．25
D ．42 3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 4. 两条平行线：3410x y −−=，与2l ：6870x y −−=间的距离为
A.
12 B. 35 C. 65
D ．1
5.在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱CD 的中点，则
A ．11A E DC ⊥
B ．1A E BD ⊥
C ．11A E BC ⊥
D ．1A
E AC ⊥
考生须知
1．本试卷共4页，共三道大题，20道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A ．24
B ．48
C ．60
D ．72 7. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，
E
F
G
H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角大小等于（ ） A ．45
B ．60
C ．90
D ．120
8.直线34x y b +=与圆222210x y x y +−−+=相切，则b 的值是
A ．2−或12
B ．2或12−
C ．2−或12−
D ．2或12 9.若圆2
2
1:1C x y +=与圆2
2
2:680C x y x y m +−−+=外切，则m =
A ．21
B ．19
C ．9
D ．11−
10．如图，P 是边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线AC 1
上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是
A
B
C
D
A
D B
G E 1B
H
1A
1
A
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
11. 在6
2
()x x
−的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）
12. 已知双曲线标准方程为2
213
x y −=，则其焦点到渐近线的距离为 ．
13. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 14．已知三棱柱111ABC A B C −的侧棱与底面垂直，体积为
9
4
角形．若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________． 15. 已知F 是抛物线C :24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点
N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．
三、解答题：本大题共5个小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分7分）
在平面直角坐标系xoy 中，曲线21=−+y x 与坐标轴的交点都在圆C 上,求圆C 的方程．
17. （本小题满分7分）
如图，在四面体ABCD 中，CB CD =，AD BD ⊥，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD ．
F
E
D
C
B A
18．（本小题满分7分）
已知△ABC 的三个顶点是(1,1)A ，(1,3)B −，(3,4)C ． （Ⅰ）求BC 边的高所在直线1l 的方程；
（Ⅱ）若直线2l 过C 点，且,A B 到直线2l 的距离相等，求直线2l 的方程．
19．(本小题共9分)
已知在四棱锥ABCD P −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．
20. （本小题满分10分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为(1,0)F ，
离心率为2. 直线l 过点
F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l
的斜率．
C
石景山区2020—2021学年第一学期高二期末
数学试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D C B A C D B D C A
三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
16． (本小题满分7分)
解：曲线21=−+y x 与y 轴的交点为（0，1）， ………………1分
与x 轴的交点为（-1，0），（1，0） ………………2分
设圆的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++= ……3分
22(40)D E F +−>，则1+01010+=⎧⎪
−+=⎨⎪++=⎩
E F D F D F ，解得0,0,1===−D E F . ……6分
故圆的方程为2
2
10+−=x y ． ………………7分 17．(本小题满分7分)
解：（Ⅰ） 易知中位线EF AD ∥，而AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD
∴EF ∥平面ACD ． ……3分
（Ⅱ） ∵EF AD ∥，AD BD ⊥，∴EF BD ⊥ ……4分
又CB CD =
，F 是BD 的中点，∴CF BD ⊥ ……5分 ∵EF
CF F =，∴BD ⊥面EFC ……6分
题号 11
12
13 14 15
答案
160− 1
①③⇒② 或
②③⇒①
60
3
又BD ⊂面BCD ，平面EFC ⊥平面BCD ． ……7分 18．(本小题满分7分) 解：（Ⅰ）因为431
314
BC k −=
=+，又直线1l 与BC 垂直， 所以直线1l 的斜率1
4BC
k k =−
=−， ……2分 所以直线1l 的方程是4(1)1y x =−−+，即450x y +−=. ……3分 （Ⅱ）因为直线2l 过C 点且,A B 到直线2l 的距离相等，
所以直线2l 与AB 平行或过AB 的中点M ， ……4分 因为31
111
AB k −=
=−−−， 所以直线2l 的方程是(3)4y x =−−+，即70x y +−=. ……5分 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以422
303
CM k −=
=−，所以直线2l 的方程是 2
(3)43
y x =−+，即2360x y −+=. ……7分
综上，直线2l 的方程是70x y +−=或2360x y −+=.
19．(本小题满分9分)
证明:（Ⅰ）因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，
所以⊥PO 面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空
间直角坐标系.
则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O −−，
)3,0,1(),3,2,1(−−F E ，)3,2,1(),0,2,0(−=−=EG EF ，
设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =
⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−,
032,02z y x y
令1=z ，则 )10,3(，=m ， (6)
又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=n ，
设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以2
1
|
|||cos =
=
n m n m θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3
π
. ……………9分
20．(本小题满分10分) 解：（Ⅰ）由已知1c =，2
c e a =
=
， …………1分 又222a b c =+，解得1a b == …………2分
所以椭圆方程为2
212
x y +=. …………3分
（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =−≠
联立2
2(1)(120)y k k x x y ⎧⎪
⎨
⎪=−≠=⎩
+消去y 得 2
2
2
2
(21)4220k x k x k +−+−=，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ……4分
则2
122
421
k x x k +=+，因为M 为线段AB 的中点
所以2
1222221
M x x k x k +==+，2
(1)21M M k y k x k −=−=+ ………5分
所以1
2M OM M y k x k
−=
= ………6分 所以11
22
OM l k k k k −⨯=
⨯=−为定值. …………7分 （Ⅲ）若四边形OAPB 为平行四边形,则OA OB OP += …………8分
所以2
122
421
P k x x x k =+=+ 12121222(1)(1)(2)21
P k
y y y k x k x k x x k −=+=−+−=+−=
+
因为点P 在椭圆上，所以2222242()2()22121
k k
k k −+⨯=++ ……9分
解得2
12k =
即2
k =± 所以当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l
的斜率为2
k =±. ………10分
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。