四川省广安市友谊中学高二数学文期末试题含解析

四川省广安市友谊中学高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知过点A(a，4)和B(-2，a)的直线与直线2x+y-l=0垂直，则a的值为
(A)0 (B) -
8 (C)2． (D) 10
参考答案：
C
2. 函数的最小值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
:试题分析：由题意可知，对利用诱导公式进行化简，最终化成
=，当t=1时，取最小值-5，故选C
考点：三角函数诱导公式运用，换元法，二次函数求最值问题
3. 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示
在坐标系中画出可行域
平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，
则目标函数z=2x+y的最小值为2．
经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，
则目标函数z=2x+y的最大值为：4．
故选B．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
4. 已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=，＝，则＝
A．+ B．－ C．＋ D．－
参考答案：
B
5. 下列命题正确的是（）
A．?x0∈R，sinx0+cosx0=
B．?x≥0且x∈R，2x＞x2
C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件
D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1
参考答案：
C
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】根据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，判断A错误；
举例说明x=2时2x=x2=4，判断B错误；
根据a＞2，b＞2时ab＞4，判断充分性成立C正确；
举例说明a=b=0时=﹣1不成立，判断D错误．
【解答】解：对于A，?x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤＜正确，
∴该命题的否定是假命题，A错误；
对于B，当x=2时，2x=x2=4，∴B错误；
对于C，a，b为实数，当a＞2，b＞2时，ab＞4，充分性成立，
是充分条件，C正确；
对于D，a，b为实数，a+b=0时，若a=b=0，则=﹣1不成立，
∴不是充要条件，D错误．
故选：C．
6. 若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则?的最小值为( )
A．B．6 C．8 D．12
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；向量与圆锥曲线．
【分析】可设P（x，p），可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【解答】解：∵点P为椭圆+=1上的任意一点，设P（x，y）（﹣3≤x≤3，﹣
2≤y≤2），
依题意得左焦点F（﹣1，0），
∴=（x，y），=（x+1，y），
∴?=x（x+1）+y2，
=x2+x+，
=（x+）2+，
∵﹣3≤x≤3，
∴≤x+≤，
∴≤（x+）2≤，
∴≤（x+）2≤，
∴6≤（x+）2+≤12，
即6≤?≤12．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量数量积的坐标运算，考查转化思想与解决问题的能力，属于中档题．
7. 等比数列中，已知，则此数列前17项之积为（）
A． B．－ C． D．－
参考答案：
D
8. 以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】先求出椭圆的焦点与顶点即所求双曲线的顶点与焦点可知且焦点位置确定，即可求解双曲线的方程
【解答】解：∵椭圆的焦点在y轴上且a=7，b=，c==5
∴椭圆的焦点为（0，5），（0，﹣5），顶点为（0，7），（0，﹣7）
∴双曲线的顶点（0，5），（0，﹣5），焦点（0，7），（0，﹣7）
∴a=5，c=7，b=2
∴双曲线方程是
故选C
【点评】本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线的性质，正确找出题中的相关量
9. 下面几种推理是合情推理的是
（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；
（2）由平行四边形、梯形内角和是，归纳出所有四边形的内角和都是；
（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多
边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
参考答案：
C 略
10. 已知实数a，b，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．
【解答】解：2a＞2b?a＞b，
当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，
反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程
表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝________．
参考答案：
略
12. 棱长为2的四面体的体积为．
参考答案：
13. 如图，为半圆的直径，为以为直径的半圆的圆心，⊙O的弦切⊙A于点
，则⊙A的半径为
__________
参考答案：
14. 已知定义在复数集上的函数满足，
则
.
参考答案： 略
15.
互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则________.
参考答案： -4 由已知，，且，∴
，
，
此时有
，
，∴
，或
（舍去）
16. 复数满足,则_______．
参考答案：
本题主要考查的是复数的概念,意在考查学生的运算求解能力.
由可得,故.故答案为
17. 若点O 和点F 分别为椭圆
的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
的
最大值为
参考答案：
6
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某商品要了解年广告费x （单位：万元）对年利润y （单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年利润
数据作了初步整理，得到下面的表格： （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果预报广告费用为6万元时的年利润.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘
估计分别为：
，
.
参考答案：
解：（Ⅰ）
，
，
由表中数据与附中公式，得
，
.
所以回归方程为. （Ⅱ）回归方程为
，所以
万元.
19. 已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直
线AF的斜率为，O为坐标原点
（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，问：是否存在直线l，使以PQ为直径的圆经过点原点O，若存在，求出对应直线l的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）设出F，由直线AF的斜率为求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程化简，由判
别式大于0求得k的范围，若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，求出，即，得到k2=4，符合△＞0，进一步求出k值，则直线方程可求．
【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，，解得c=，又，
∴a=2，b2=a2﹣c2=1，
∴E的方程为：；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
把y=kx﹣2代入，化简得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．
由△=16（4k2﹣3）＞0，得，即k＜﹣或k＞．
，，
∴．
若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，则，即，即，
∴k2=4，符合△＞0，
∴存在k=±2，符合题意，
此时l：y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．
20. （本小题满分12分）设椭圆的焦点在轴上
（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。

参考答案：
（1）因为焦距为1，所以，解得，
故椭圆E的方程为。

（2）设，其中，由题设知，
则直线的斜率，直线的斜率，
故直线的方程为，
当时，即点的坐标为,
因此直线的斜率为，
由于，所以
化简得
将上式代入椭圆E的方程，由于在第一象限，解得，即点在直线上。

21. 已知函数
，。

（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围．
参考答案：
（1）解：因为，………………………………2分
令，得；令，得；
所以的递增区间为，的递减区间为．…………6分（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………7分
令，则，……………………9分
令，（）则在恒成立，所以函数在上单调递增．………………………10分
因为，所以在恒成立
…………………………12分
略
22. 已知的面积为，且满足，设和的夹角为．(1）求的取值范围；
(2）求函数的最小值．参考答案：
（1）设中角的对边分别为，则由，，
可得，．
(2）
，，
所以，当，即时，。