高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列均值与方差课件

P(X=3)= 3 × 2 ×1 × 1 + 1 ×1 ×3 × 2 = 12 = 1 ,
4 3 4 3 4 3 4 3 144 12
P(X=4)=2×

3 4

2 3

3 4

1 3

3 4

2 3

1 4

2 3
= 16404
= 5 ,
12
P(X=6)= 3 × 2 × 3 × 2 = 36 = 1 .
21 21 21 42
解后反思 (1)求离散型随机变量X的分布列的步骤: ①理解X的含义,写出X所有可能的取值; ②求X取每个值时的概率; ③写出X的分布列. (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意 应用计数原理,古典概型概率公式等知识.
考点二 均值与方差

3 4

1 3

1 4

1 3

1 4

2 3

1 4

1 3

= 10
144
= 5 ,
72
P(X=2)= 3 × 1 ×3 × 1 + 3 ×1 × 1 × 2 +1 ×2 × 3 ×1 +1 × 2 × 1 ×2 = 25 ,
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144
2.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响, 具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心 理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名 男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人 接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.
解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜 对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意,E=ABCD+ A BCD+A B CD+AB C D+ABC D, 由事件的独立性与互斥性,得
X
-1
0
1
P
(1-α)β
αβ+(1-α)(1-β)
α(1-β)
(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.
因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1, 故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1). 又因为p1-p0=p1≠0, 所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.
解析 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C39 =84,随机变量X的可能取值为0,-1,1,因此
P(X=0)=
C83 C39
= 2 ,P(X=-1)=
3
C24 C39
= 1 ,
14
P(X=1)=1- 1 - 2 = 11 .
(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)= 48 1 p1. 3
由于p8=1,故p1= 4831 ,
所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)= 44 1 p1= 1 .
3
257
高考数学 (山东专用)
§12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
五年高考
A组 山东省卷、课标Ⅰ卷题组
考点一 离散型随机变量及其分布列
1.(2019课标全国Ⅰ理,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更 有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只 白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其 中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更 有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治 愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分, 甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一 轮试验中甲药的得分记为X.
1.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户 之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件 作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都 为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产 品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿 费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
P(E)=P(ABCD)+P( A BCD)+P(A B CD)+P(AB C D)+P(ABC D ) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P( A )P(B)P(C)P(D)+P(A)·P( B )P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C )P(D)+P(A)P(B)·P (C)·P( D )
= 34 × 23 × 34 × 23 +2×
解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= C220p2(1-p)18. 因此f '(p)= C220 [2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2 C220 p(1-p)17(1-10p). 令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0; 当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1, (i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+ 25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490. (ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.
1 4

2 3

3 4

2 3

3 4

1 3

3 4

2 3

= 2 .
3
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为 2 .
3
(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得
P(X=0)= 1 × 1 × 1 × 1 = 1 ,
4 3 4 3 144
P(X=1)=2×
P(X=2)= C36C42 = 10 , C150 21
P(X=3)= C62C34 = 5 , C150 21
P(X=4)= C16C44 = 1 . C150 42
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
412
251
1201
251
412
X的数学期望是
EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1× 5 +2× 10+3× 5 +4× 1 =2.
(1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认 为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X =0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8. (i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.
8时,认为甲药更有效的概率为p4= 1 ≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试
257
验方案合理.
试题分析 本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创 新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较 高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.
14 3 42
所以X的分布列为
X
0
-1
1
P
32
114
1412
EX=0× 2 +(-1)× 1 +1× 11 = 4 .
3
14 42 21
评析 本题背景新颖,设问常规,运算量不太大,但对思维的严谨性有较高要求.
B组 课标卷、其他自主命题省(区、市)卷题组
考点一 离散型随机变量及其分布列
1.(2019北京理,17,13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成 为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生 中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使 用B的学生的支付金额分布情况如下:
4 3 4 3 144 4
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
62454
112
152
14
所以数学期望EX=0× 1 +1× 5 +2× 25 +3× 1 +4× 5 +6×1 =2 3 .
144 72 144 12 12 4 6
评析 本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变 量可能的取值是解题的关键.属于中档题.
支付金额(元) 支付方式 仅使用A 仅使用B
(0,1 000]
18人 10人
(1 000,2 000]
9人 14人
大于2 000
3人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率; (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于 1 000元的人数,求X的分布列和数学期望; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3 人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本 月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.
解析 本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累 加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生 的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识. (1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β), P(X=1)=α(1-β). 所以X的分布列为
3.(2015山东,19,12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位 数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽 取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分; 若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.
解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望.
(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,
则P(M)=
C84 C150
= 5 .
18
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)= C56 = 1 , C150 42
P(X=1)= C64C14 = 5 , C150 21
2.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个
成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;
如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 3 ,乙每轮猜对的概率是 2 ;每
4
3
轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: