人教版数学九年级上册第二十四章圆的综合单元测试卷

人教版数学九年级上册第二十四章圆的综合单元测试卷
一．选择题
1．下列说法错误的是（）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
2．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是（）
A．20°B．15°C．35°D．70°
3．如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB上，且PB＝PQ．若点P对应140°（40°），则∠PQB的度数为（）
A．65°B．70°C．75°D．80°
4．如图，点A、B、C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，BD＝BO，∠A＝50°，则∠B的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（）
A．2 B．C．1 D．
6．用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（）A．m2B．m2C．m2D．m2
7．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．如图，PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B，PA＝3，∠BPA＝60°，若BC为⊙O的直径，则图中阴影部分的面积为（）
A．3πB．πC．2πD．
9．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣≤x≤C．0≤x≤D．x＞
10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作
正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝20，则AB的长是（）
A．9B．C．13 D．16
11．如图，扇形AOB中，OA＝2，C为上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣B．﹣2C．﹣D．﹣2
12．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）
A．4 B．6 C．3D．2
二．填空题
13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为．
14．如图，正六边形ABCDEF中，边长为4，连接对角线AC、CE、AE，则△ACE的周长为．
15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE ⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．
17．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上的一点，PE切⊙O于E．BE 交CD于F．若AB＝6，DP＝2，则BF＝．
三．解答题
18．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）AB＝AC．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB＝CE•ED；
（2）若⊙O的半径为3，OE＝2BE，＝，求线段DE和PE的长．
20．如图1，已知点A，B，C是⊙O上的三点，以AB，BC为邻边作▱ABCD，延长AD，交⊙O于点E，过点A作CE的平行线，交CD的延长线于F
（1）求证：FD＝FA；
（2）如图2，连接AC，若∠F＝40°，且AF恰好是⊙O的切线，求∠CAB的度数．
21．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，
连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为．
22．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线于BA的延长线交于D点，E为CD上一点，连EA并延长交⊙O于H，F为EH上一点，且EF ＝CE，CF交延长线交⊙O于G．
（1）求证：弧AG＝弧GH；
（2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半径．
23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC
交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
24．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
2．解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝20°，
∴∠ACD＝∠B＝20°．
故选：A．
3．解：∵点P对应140°，
∴∠ABP＝70°，
∵PB＝PQ，
∴∠PQB＝∠ABP＝70°，
故选：B．
4．解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∴∠BOD＝80°．
又∵BD＝BO，
∴∠BDO＝∠BOD＝80°
∴∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：B．
5．解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BOQ＝90°，
∵∠BOD＝∠A＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故选：C．
6．解：由题意得：AB＝48÷6＝8，
过O作OC⊥AB，
∵AB＝BO＝AO＝8，
∴CO＝＝4，
∴正六边形面积为：4×8××6＝96（m2）；
故选：A．
7．解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
8．解：∵PA、PB与⊙O相切，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°
∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，∠AOB＝120°，
∴AB＝PA＝3，∠OCA＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
∴BC＝2．
∵OB＝OC，
∴S△AOB＝S△OAC，
∴S阴影＝S扇形OAB＝＝π，
故选：B．
9．解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤，
同理点P在点O左侧时，0
∴0≤x≤．
故选：C．
10．解：连接OP、OQ分别与AC、BC相交于点G、H，
根据中点可得OG+OH＝（AC+BC）＝10，MG+NH＝AC+BC＝20，∵MP+NQ＝14，
∴PG+QH＝20﹣14＝6，
则OP+OQ＝（OG+OH）+（PG+QH）＝10+6＝16，
根据题意可得OP、OQ为圆的半径，AB为圆的直径，
则AB＝OP+OQ＝16．
故选：D．
11．解：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA＝AC＝2．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO＝2，
∴AD＝OA•sin60°＝2×＝．
∴S
阴影
＝S扇形AOB﹣2S△AOC＝﹣2××2×＝﹣2．故选：D．
12．解：连接OD，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵OD＝OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60°，∠ABC＝∠DOC＝60°，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，AF＝2，
∴AD＝4，即AC＝8，
∴FB＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，
在Rt△BFG中，∠BFG＝30°，
∴BG＝3，
则根据勾股定理得：FG＝3．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
13．解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴∠OCE＝30°
∵AO＝OC＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴CE＝＝2，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为：4．
14．解：作BG⊥AC，垂足为G．如图所示：则AC＝2AG，
∵AB＝BC，
∴AG＝CG，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，
∴∠BAC＝30°，
∴AG＝AB•cos30°＝4×＝2，
∴AC＝2×2＝4，
∴△ACE的周长为3×4＝12．
故答案为12．
15．解：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC＝＝＝4．
故答案为：4．
16．解：∵∠BOD＝120°，
∴∠BCD＝＝60°．
∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
17．解：如图，连接OE，
∵∠PEF＝90°﹣∠OEB＝90°﹣∠OBE＝∠OFB＝∠EFP，∴PF＝PE，
∵AB＝6，AB，CD是⊙O的直径，
∴OE＝OD＝OC＝OB＝OA＝3，
∵PE切⊙O于E，
∴∠PEO＝90°，
在Rt△OPE中，DP＝2，
OP＝3+2＝5，
由勾股定理可得OP2＝PE2+OE2，
∴52＝PE2+32，解得PE＝4，
∴PF＝PE＝4，OF＝OP﹣PF＝5﹣4＝1，
∵AB⊥CD，
∴∠BOF＝90°，
在Rt△OBF中，由勾定理可得BF2＝OB2+OF2，即BF2＝32+12＝10，
∴FB＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
18．证明：（1）连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC．
19．（1）证明：连接AC、BD，如图，∵∠CAE＝∠CDB，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE∽△BDE，
∴AE：DE＝CE：BE，
∴AE•EB＝CE•ED；
（2）∵OE+BE＝3，OE＝2BE，
∴OE＝2，BE＝1，
∴AE＝5，
∴CE•DE＝5×1＝5，
∵＝，
∴CE＝DE，
∴DE•DE＝5，解得DE＝，
∴CE＝3．
∵PB为切线，
∴PB2＝PD•PC，
而PB2＝PE2﹣BE2，
∴PD •PC ＝PE 2﹣BE 2，即（PE ﹣）（PE +3）＝PE 2﹣1，
∴PE ＝3
20．（1）证明：连接CA ，如图1，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AE ∥BC ，AB ∥CF ，
∴∠1＝∠2，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠BAE ＝∠E ，
∵AB ∥CF ，
∴∠4＝∠BAE ，
∵AF ∥CE ，
∴∠E ＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴FA ＝FD ；
（2）解：连接OA 、OC ，如图2，
∵∠F ＝40°，
∴∠FAD ＝∠FDA ＝70°，
∴∠E ＝∠FAD ＝70°，∠BAD ＝∠FDA ＝70°，
∵∠AOC ＝2∠E ＝140°，
而OC ＝OA ，
∴∠OAC ＝（180°﹣140°）＝20°，
∵AF 为切线，
∴OA ⊥AF ，
∴∠OAF＝90°，
∴∠CAB＝∠BAF﹣∠OAF﹣∠OAC＝140°﹣90°﹣20°＝30°．
21．证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠AC E
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD
∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：A C2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
22．（1）证明：如图1，连接AC，BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAO＝90°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ECA+∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠ECA＝∠B，
∵EF＝CE，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠ECF＝∠ECA+∠ACG，∠EFC＝∠GAF+∠G，
∵∠ECA＝∠B＝∠G，
∴∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，
∴；
（2）解：过点E作EN⊥DA，连接OC，OG，OG与AH交于点M，
∵，
∴OG⊥AH，AM＝MH＝，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
设CO＝x，
∵sin∠CDO＝＝，
∴DO＝3x，
∴CD＝＝＝2，
∵E为DC的中点，
∴CE＝DE＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴，
∵∠EAN＝∠OAM，∠ENA＝∠OMA，
∴△AEN∽△AOM，
∴，
∴，
∴OM＝，
在Rt△AOM中，OA＝．
∴⊙O的半径为3．
23．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
24．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(4)
一．选择题
1．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
2．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（）
A．B．
C．D．
3．已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．
A．42 B．48 C．46 D．50
5．今年寒假期间，小明参观了中国扇博物馆，如图是她看到的纸扇和团扇．已知纸扇的骨柄长为30cm，扇面有纸部分的宽度为18cm，折扇张开的角度为150°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（）
A．B．C．D．
6．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（）
A．4B．C．D．
7．如图，AB是圆O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与圆O相切于点D，弦DF⊥AB
于点E，连接BD，CD＝BD＝4，则OE的长度为（）
A．B．2 C．2D．4
8．如图，四边形ABCD是菱形，点B，C在扇形AEF的弧EF上，若扇形ABC的面积为，则菱形ABCD的边长为（）
A．1 B．1.5 C．D．2
9．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（）
A．105°B．115°C．125°D．85°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心的圆与边AB相切于点D．交边BC 于点E，若BC＝4，AC＝3，则BE的长为（）
A．0.6 B．1.6 C．2.4 D．5
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以A、B为圆心，AD、BC为半径画
弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分图形的周长之和为（）
A．2+πB．4+πC．4+2πD．4+4π
12．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD
交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（）
A．B．4C．D．
二．填空题
13．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是．
14．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为．
15．一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．
16．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为．
17．如图点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径
MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为．
三．解答题
18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC 于点F，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点D在以AB为直径的QO上．
（1）若直线CD是⊙O的切线，求∠BAD的度数；
（2）在（1）的条件下，若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的周长．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣8，0），B（0，6），∠ABO的角平分线交△ABO
的外接圆⊙M于点D，连接OD，C为x正半轴上一点．
（1）求⊙M的半径；
（2）若OC＝，求证：∠OBC＝∠ODB；
（3）若I为△ABO的内心，求点D到点I的距离．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；
22．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D 作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．
23．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；
故选：C．
3．解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴OP＜2．
故选：A．
4．解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝48°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；
故选：A．
5．解：纸扇的扇面面积＝﹣＝315π，
则团扇的半径＝＝3（cm），
故选：D．
6．解：∵正六边形的边心距为2，
∴OB＝2，∠OAB＝60°，
∴AB＝＝＝2，
∴AC＝2AB＝4．
故选：A．
7．解：连结OD，如图，
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵CD＝BD＝4，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠DOE＝∠B+∠ODB＝2∠B，
∴∠DOE＝2∠C，
在Rt△OCD中，∠DOE＝2∠C，则∠DOE＝60°，∠C＝30°，
∴OD＝cot∠EOD•CD＝×4＝4，
∵DF⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△ODE中，OE＝cos∠EOD•OD＝×4＝2，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∵＝，
∴AB＝1.5，
故选：B．
9．解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ADC＝90°+25°＝115°．
故选：B．
10．解：在Rt△ACB中，AB＝＝5，∵以点C为圆心的圆与边AB相切于点D
∴CD⊥AB，
∵CD•AB＝AC•BC，
∴CD＝＝2.4，
∵CE＝CD＝2.4，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣2.4＝1.6．
故选：B．
11．解：设∠A＝n°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣n°，BC＝AD＝2，
由题意得，AE＝AD＝2，BE＝BC＝2，
∴图中阴影部分图形的周长之和＝
的长+的长+CD ＝+4+＝
4+2π，
故选：C ． 12．解：连接AD ，CF ，作CH ⊥BD 于H ，如图所示：
∵AB 是直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠ADF +∠BDF ＝90°，∠DAB +∠DBA ＝90°，
∵∠BDF +∠BDC ＝90°，∠CBD +∠DBA ＝90°，
∴∠ADF ＝∠BDC ，∠DAB ＝∠CBD ，
∴△ADF ∽△BDC ，
∴＝＝，
∵∠DAE +∠DAB ＝90°，∠E +∠DAE ＝90°，
∴∠E ＝∠DAB ，
∴△ADE ∽△BDA ，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB ＝BC ，
∴AE ＝AF ，
∵AE ＝2BF ，
∴BC ＝AB ＝3BF ，
设BF ＝x ，则AE ＝2x ，AB ＝BC ＝3x ，
∴BE ＝＝x ，CF ＝＝，
由切割线定理得：AE 2＝ED ×BE ，
∴ED ＝＝＝x ，
∴BD ＝BE ﹣ED ＝
，
∵CH ⊥BD ， ∴∠BHC ＝90°，∠CBH +∠BCH ＝∠CBH +∠ABE ，
∴∠CBH＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°＝∠BHC，
∴△BCH∽△EBA，
∴＝＝，即＝＝，
解得：B H＝x，CH＝x，
∴DH＝BD﹣BH＝x，
∴CD2＝CH2+DH2＝x2，
∵DF⊥CD，
∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，
解得：x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．故答案为21π．
14．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°．
故答案为：130°．
15．解：如图，连接OA、OB．
弦AB将⊙O分为1：2两部分，
则∠AOB＝×360°＝120°；
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∠ADB＝180°﹣∠60＝120°；
故这条弦所对的圆周角的度数为60°或120°．故答案是：60°或120°
16．解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴∠OCE＝30°
∵AO＝OC＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴CE＝＝2，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为：4．
17．解：作B点关于MN的对称点B′，连结OA、OB′、AB′，AB′交MN于P′，如图，∵P′B＝P′B′，
∴P′A+P′B＝P′A+P′B′＝AB′，
∴此时P′A+P′B的值最小，
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON＝60°，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BPN＝∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，
∴△AOB′为等腰直角三角形，
∴AB′＝OA＝3，
∴AP+BP的最小值为3．
故答案为3．
三．解答题（共8小题）
18．（1）证明：连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠OAD，
即AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，∠CAD＝25°，
∴∠FAE＝2∠CAD＝50°，
∵AE＝2，
∴OE＝1，
∴的长为．
19．解：（1）∵直线CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠BAD＝45°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，∠C＝∠A＝45°，
过B作BE⊥CD于E，
∴BE＝OD＝CE＝1，
∴CB＝，
∵的长＝＝，
∴图中阴影部分的周长＝1+2++＝3+．
20．（1）解：∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∴⊙M的半径OA＝5；
（2）证明：∵∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴tan∠OBC＝＝＝，tan∠OAB＝＝＝，
∴∠OBC＝∠OAB，
∵∠ODB＝∠OAB，
∴∠OBC＝∠ODB；
（3）解：作∠BOE的平分线交BD于I，作IM⊥OB于M，如图所示：
则IM∥OA，I为△ABO的内心，IM为△ABO的内切圆半径，OM＝IM＝（6+8﹣10）＝2，
∴BM＝4，∴BI＝＝2，
∵IM∥OA，
∴△BIM∽△BEO，
∴＝，即＝，
解得：EO＝3，
∴AE＝OA﹣EO＝5，BE＝＝＝3，
∴IE＝BE﹣BI＝，
由相交弦定理得：BE×DE＝AE×EO，
即3DE＝5×3，
解得：DE＝，
∴DI＝DE+IE＝2；
即点D到点I的距离为2．
21．解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44（m2），
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
22．证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AB＝12，AD＝6，
∴sin B＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BOD＝60°，
＝＝6π．∴S
扇形BOD
23．（1）证明：连结AD，
∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连结OE，
∵AB＝4，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，
∴S
阴＝S
△BOE
+S
扇形OAE
＝4+2π．
24．（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．
25．证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连结DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠H FE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴，即，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，
∴，
∴OA＝，
∴AF＝．
人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试题（含答案）
一、选择题(每题4分，共32分)
1．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( )
A．点在圆内B．点在圆上
C．点在圆心上D．点在圆上或圆内
2．如图1，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
图1
A．35°B．45°
C．55°D．65°
3．已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是( )
A．18π cm2B．27π cm2
C．18 cm2D．27 cm2
4．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )
A．12 mm B．12 3 mm
C．6 mm D．6 3 mm
5．如图2，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是( )
图2
A．2＋πB．2＋2π C．4＋πD．2＋4π
6．如图3，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD
的延长线上，则∠CDE 的度数为( )
图3
A ．56°
B ．62°
C ．68°
D ．78°
7．如图4，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )
图4
A ．6
B ．8
C ．5 2
D ．5 3
8．如图5，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC ︵＝CD ︵＝DB ︵
，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，有下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝1
2∠DOB ；③DM ⊥CE ；
④CM ＋DM 的最小值是10.上述结论中正确的个数是( )
图5
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题(每题5分，共35分)
9．已知正方形ABCD 的边长为1，以点A 为圆心，2为半径作⊙A ，则点C 在________(填“圆内”“圆外”或“圆上”)．
10．如图6所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．
图6
11.如图7，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，C 是AB ︵
上的一点，∠P ＝40°，则∠ACB 的度数为________．
图7
12．如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD 交BE 于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________．
图8
13．如图9，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A ，B ，C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长为________．
图9
14．如图10，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，BC ＝2，O ，H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为________．
图10
15．如图11，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
图11
(1)当d＝3时，m＝________；
(2)当m＝2时，d的取值范围是________．
三、解答题(共33分)
16．(10分)如图12，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.
(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；
(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
图12
17．(10分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，连接CE交并延长⊙O于点D.
(1)如图13①，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图13②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图13
18．(13分)如图14，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC ＝6 3，DE＝3.求：
(1)⊙O的半径；
(2)弦AC的长；
(3)阴影部分的面积．
图14
1．D 2.C 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C 9．圆上
10.13
4 11．110°
12．8 13．4π 14．π [
15．(1)1 (2)1＜d ＜3
16．解：(1)∵A(0，6)，N(0，2)，∴AN ＝4. ∵∠ABN ＝30°，∠ANB ＝90°， ∴AB ＝2AN ＝8，
∴由勾股定理，得NB ＝AB 2
－AN 2
＝4 3，∴B(4 3，2)．
(2)证明：连接MC ，NC ，如图． ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN ＝90°， ∴∠NCB ＝90°.
在Rt △NCB 中，∵D 为NB 的中点， ∴CD ＝1
2NB ＝ND ，∴∠CND ＝∠NCD.
∵MC ＝MN ，∴∠MCN ＝∠MNC. 又∵∠MNC ＋∠CND ＝90°， ∴∠MCN ＋∠NCD ＝90°， 即MC ⊥CD.
∴直线CD 是⊙M 的切线．。