《微积分基础》形成性考核作业(一)~(四)

微积分根底形成性考核作业〔一〕
————函数，极限和连续
一、填空题〔每题2分，共20分〕
1
．
函
数
)
2ln(1)(-=
x x f 的定义域是
．
2．函数x
x f -=
51)(的定义域是
．
3．函数2
4)
2ln(1
)(x x x f -++=的定义域是
．
4．函数72)1(2+-=-x x x f ，那么=)(x f
．
5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e
2)(2x x x x f x ，那么=)0(f 2 ．
6．函数x x x f 2)1(2-=-，那么=)(x f
． 7．函数1
3
22+--=x x x y 的间断点是
．
8．=∞
→x
x x 1
sin
lim 1 ． 9．假设2sin 4sin lim
0=→kx
x
x ，那么=k 2 ．
10．假设23sin lim
0=→kx
x
x ，那么=k ．
二、单项选择题〔每题2分，共24分〕
1．设函数2
e e x
x y +=-，那么该函数是〔B 〕．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，那么该函数是〔A 〕．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
3．函数2
22)(x x x x f -+=的图形是关于〔D 〕对称．
A ．x y =
B ．x 轴
C ．y 轴
D ．坐标原点 4．以下函数中为奇函数是〔
C 〕．
A ．x x sin
B ．x ln
C ．)1ln(2x x ++
D ．2
x x +
5．函数)5ln(4
1
+++=
x x y 的定义域为〔 D 〕． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x
6．函数)
1ln(1
)(-=
x x f 的定义域是〔 D 〕．
A ． ),1(+∞
B ．),1()1,0(+∞⋃
C ．),2()2,0(+∞⋃
D ．),2()2,1(+∞⋃
7．设1)1(2-=+x x f ，那么=)(x f 〔 C 〕
A ．)1(+x x
B ．2x
C ．)2(-x x
D ．)1)(2(-+x x
8．以下各函数对中，〔 D 〕中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)(
B ．2)(x x f =，
x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=
D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=
9．当0→x 时，以下变量中为无穷小量的是〔 C 〕. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x
x
10．当=k 〔 B 〕时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处
连续。

A ．0
B ．1
C ．2
D ．1-
11．当=k 〔 D 〕时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0
,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 12．函数2
33
)(2
+--=x x x x f 的间断点是〔 A 〕 A ．2,1==x x
B ．3=x
C ．3,2,1===x x x
D ．无间断点 三、解答题〔每题7分，共56分〕
⒈计算极限4
2
3lim 222-+-→x x x x ．
2．计算极限1
65lim 221--+→x x x x
3．3
29
lim 223---→x x x x
4．计算极限4
58
6lim 224+-+-→x x x x x
5．计算极限6
58
6lim 222+-+-→x x x x x ．
6．计算极限x
x x 1
1lim
--→． =
=
7．计算极限x
x x 4sin 1
1lim
--→
=
8．计算极限2
44sin lim
-+→x x x ．
微积分根底形成性考核作业〔二〕
————导数、微分及应用
一、填空题〔每题2分，共20分〕
1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是 ． 2．曲线
x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是
． 3．曲线2
1-=x y 在点)1,1(处的切线方程是
．
4．=')2(x
．
5．假设y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，那么y '(0) =
-6
．
6．x x x f 3)(3+=，那么)3(f '=
27+ ．
7．x x f ln )(=，那么)(x f ''= ． 8．假设x x x f -=e )(，那么='')0(f -2 ．
9．函数
y x =-312
()的单调增加区间是
．
10．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，那么a 应满足
．
二、单项选择题〔每题2分，共24分〕 1．函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是〔 D 〕 A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增
2．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的〔 C 〕.
A ．极值点
B ．最值点
C ．驻点
D ． 间断点 3．假设x x f x cos e )(-=，那么)0(f '=〔 C 〕． A . 2 B . 1 C . -1 D . -2
4．设y x =lg2，那么d y =〔 B 〕． A ．
12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1
d x
x 5．设)(x f y =是可微函数，那么=)2(cos d x f 〔 D 〕． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-
6．曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是〔 C 〕． A ．4e B ．2e C ．42e D ．2 7．假设x x x f cos )(=，那么='')(x f 〔 C 〕． A ．x x x sin cos + B ．x x x sin cos -
C ．x x x cos sin 2--
D ．x x x cos sin 2+ 8．假设3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，那么='')(x f 〔 C 〕． A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos
9．以下结论中〔 A 〕不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，那么一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，那么一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．假设)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，那么在[a ，b ]内函数是单调下降的.
10．假设函数f (x )在点x 0处可导，那么( B )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
C ．函数f (x )在点x 0处连续
D ．函数f (x )在点x 0处可微
11．以下函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是〔 B 〕． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12.以下结论正确的有〔 A 〕． A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，那么必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，那么x 0必是f (x )的驻点 C ．假设f '(x 0) = 0，那么x 0必是f (x )的极值点 D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点
三、解答题〔每题7分，共56分〕 ⒈设x
x y 1
2
e =，求y '．
2．设x x y 3cos 4sin +=，求y '.
3．设x
y x 1
e
1
+
=+，求y '.
4．设x x x y cos ln +=，求y '.
5．设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .
6．设)(x y y =是由方程1222=++xy y x 确定的隐函数，求y d .
7．设)(x y y =是由方程4e e 2=++x x y x 确定的隐函数，求y d .
8．设1e )cos(=++y y x ，求y d ．
微积分根底形成性考核作业〔三〕
———不定积分，极值应
用问题
一、填空题〔每题2分，共20分〕
1．假设)(x f 的一个原函数为2ln x ，那么=)(x f 。

2．假设)(x f 的一个原函数为x x 2e --，那么=')(x f。

3．假设⎰+=c x x x f x e d )(，那么=)(x f ． 4．假设⎰+=c x x x f 2sin d )(，那么)(x f
．
5．假设c x x x x f +=⎰ln d )(，那么=')(x f ． 6．假设⎰+=c x x x f 2cos d )(，那么=')(x f ．
7．=⎰-x x d e d 2
．
8．='⎰x x d )(sin ．
9．假设
⎰+=c x F x x f )(d )(，那么
⎰=-x x f d )32(
．
10．假设
⎰
+=c x F x x f )(d )(，那么
⎰
=-x x xf d )1(2
．
二、单项选择题〔每题2分，共16分〕 1．以下等式成立的是〔 A 〕． A ．
)(d )(d d
x f x x f x
=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 解：应选A
2．假设c x x x f x +=⎰22e d )(，那么=)(x f 〔 A 〕. A. )1(e 22x x x + B. x x 22e 2
C. x x 2e 2
D. x x 2e
3．假设)0()(>+=x x x x f ，那么='⎰x x f d )(〔 A 〕. A. c x x ++ B. c x x ++2
C. c x x ++23
2
23 D. c x x ++23
23
2
21
4．以下计算正确的选项是〔 A 〕
A ．3
ln 3d d 3x x
x = B ．)1(d 1d 2
2
x x x +=+ C ．
x x
x
d d = D ．)1
d(d ln x x x =
5．=''⎰x x f x d )(〔 A 〕
A. c x f x f x +-')()(
B. c x f x +')(
C.
c x f x +')(2
12
D. c x f x +'+)()1( 6．⎰-x a x d d 2=〔 C 〕．
A ．x a 2-
B ．x a a x d ln 22--
C ．x a x d 2-
D ．c x a x +-d 2 7．如果等式⎰+-=--C x x f x
x
11e d e )(，那么=)(x f 〔 B 〕
A.x 1-
B. 21x -
C. x 1
D. 21x
三、计算题〔每题7分，共35分〕
1．⎰
+-x x x
x x d sin 33 ⎰+-x x
x x x d sin 33⎰⎰
⎰+
-=xdx
dx x dx x sin 13
c x x x +--=cos 3
2ln 32
3
2．x x d )12(10⎰-
x x d )12(10
⎰
-c x x d x +-+⋅=--=+⎰1
1010)12(1
10121)12()12(21
c x +-=
11)12(22
1
3．x x x d 1sin 2
⎰
x x x d 1
sin
2
⎰
c x x
d x +=-=⎰1cos )1(1sin
4．⎰x x x d 2sin
⎰x x x d 2sin ⎰⎰--=-
=)2cos 2cos (2
1
2cos 21xdx x x x xd c x x x ++-=2sin 41
2cos 21
5．⎰-x xe x d
⎰
-x xe x
d c
e xe dx e xe xde x x x x x +--=--=-=-----⎰⎰)(
四、极值应用题〔每题12分，共24分〕
1． 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得
一圆柱体。

试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。

设矩形边长分别为 x 、60-x cm
V=
=
令
,x=0〔舍去〕或x=40
矩形边长为40cm 、20cm 有最大体积。

2． 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在
正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
设土地长x 米，宽
米。

令
,
，当x=18时y 有极小值。

矩形长18米，宽12米。

五、证明题〔此题5分〕
函数x e x x f -=)(在〔)0,∞-是单调增加的．
证明：
当
时，
，所以函数在
单调增加。

微积分根底形成性考核作业〔四〕
———定积分及应用、微分方程
一、填空题〔每题2分，共20分〕
1．
.____3
2
__d )2cos (sin 1
1
2-
=-⎰
-x x x x 2．.____2__d )cos 4(22
5=+-⎰-x x x x π
π
3．曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x ，且曲线过)5,4(，那么该曲线的方程是。

4．假设=+-⎰-dx x x )235(1
1
3 4 ．
5．由定积分的几何意义知，x x a a
d 0
22⎰
-= 。

6．=+⎰e
12d )1ln(d d x x x 0 .
7．x x d e 0
2⎰∞-= ．
8．微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 9．微分方程03=+'y y 的通解为
.
10．微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 4 ． 二、单项选择题〔每题2分，共20分〕
1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点〔1, 4〕的曲线为〔 A 〕．
A ．y = x 2 + 3
B ．y = x 2 + 4
C ．22+=x y
D ．12+=x y
2．假设⎰+1
0d )2(x k x = 2，那么k =〔 A 〕．
A ．1
B ．-1
C ．0
D ．21
3．以下定积分中积分值为0的是〔 A 〕．
A ．x x
x d 2
e e 1
1⎰--- B ．x x
x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππ
D ．x x x d )sin (2⎰-+π
π
4．设)(x f 是连续的奇函数，那么定积分=⎰a
a
x x f -d )(〔 D 〕
A ．⎰0-d )(2a
x x f B ．⎰0-d )(a
x x f C ．⎰a
x x f 0
d )( D ． 0
5．=⎰x x d sin 2-π
π〔 D 〕．
A ．0
B ．π
C ．2
π
D ．2 6．以下无穷积分收敛的是〔 B 〕．
A ．⎰+∞
d e x x
B ．⎰+∞
-0
d e x x
C ．⎰
∞
+1
d 1
x x D ．⎰∞+1d 1x x
7．以下无穷积分收敛的是〔B 〕． A ．⎰∞+0
d in x x s B ．⎰
∞
+-0
2d e x x
C ．⎰
∞
+1
d 1
x x D ．⎰∞+1d 1x x
8．以下微分方程中，〔 D 〕是线性微分方程．
A ．y y yx '=+ln 2
B ．x xy y y e 2=+'
C ．y y x y e ='+''
D ．x y y x y x ln e sin ='-''
9．微分方程0='y 的通解为〔 C 〕．
A ．Cx y =
B ．
C x y += C ．C y =
D ．0=y 10．以下微分方程中为可别离变量方程的是〔 B 〕
A.
y x x y +=d d ； B. y xy x y
+=d d ； C.
x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x x
y += 三、计算题〔每题7分，共56分〕 1．x x x d )e 1(e 22
ln 0
+⎰
x x x d )e 1(e 2
2
ln 0
+⎰
3
19389)1(3
1
)1()1(2
ln 0
3
2
2
ln 0
=-
=+=++=⎰
x x
x e e d e
2．x x
x
d ln 51e
1⎰
+
x x x d ln 51e
1
⎰
+⎰⎰++=+=e
e x d x x d x 1
1)ln 51()ln 51(51ln )ln 51(
21
)16(101)ln 51(215112=-=+⋅=e
x
3．x xe x d 1
0⎰
x xe x
d 10
⎰
1)1(10
10
1010=--=-=-==⎰⎰e e e e dx e xe xde x
x x x
4．⎰π
0d 2
sin x x
x
⎰
π0
d 2sin
x x x ⎰⎰-==ππ002
cos 2)2(2sin 2x
xd x d x x
dx x
dx x x x ⎰⎰=--=πππ
0002
cos 2)2cos 2cos (2
42sin 4)2(2cos 40
0===⎰π
π
x
x d x
5．⎰π20
d sin x x x
⎰
π20
d sin x x x )cos cos (cos 20
2020
⎰⎰--=-=π
π
πxdx x x x xd
1sin 20
==π
x
6．求微分方程12+=+
'x x y y 满足初始条件4
7
)1(=y 的特解． 原方程满足y'+P(x)y=Q(x)形式，使用通解公式。

⎰+⎰⎰=-])([)()(c dx e x q e y dx
x p dx x p
x x p 1)(=
，1)(2
+=x x q
)21
41(124c x x x y ++=
47
)1(=y 代入，
C=1
)12
141(12
4++=
x x x y
7．求微分方程x x x
y
y 2sin 2=-
'的通解。

原方程满足y'+P(x)y=Q(x)形式，使用通解公式。

⎰+⎰⎰=-])([)()(c dx e x q e y dx
x p dx x p
x
x p 1
)(-
=，x x x q 2sin 2)(= )2cos (c x x y +-=
四、证明题〔此题4分〕
证明等式⎰⎰+-=-a
a
a
x x f x f x x f 0
)]()([)(d d 。

证明：
⎰⎰⎰
+=--a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f 0
0)()()(
⎰
-0
)(a dx x f ，令t x -=，那么dt dx -=，
⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--=--=-a
a
a
a
a dx x f dt t f dt t f dt t f dx x f 0
)()()(])[()(
⎰⎰⎰
+=--a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f 0
0)()()(
⎰⎰⎰+-=+-=a
a a dx x f x f dx x f dx x f 0
)]()([)()(。