2015年高考数学第一轮复习课件:12.3数学归纳法及其应用

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1 3



1 2n-1
>
n 2
(n∈N*),并用数
学归纳法证明.
第八页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
用数学归纳法证明不等式
【例 2】 由下列不等式:1>12,1+12+13>1,1+12+13+…+17>32, 1+12+13+…+115>2,…,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
(2)证明 ②假设当
①n=由k((1k)≥知3,,当k∈n=N*1)时,2,,3 时通,项通公项式公成式立成,立规.律方法审题路线
即由将a∴2k+于aaa1k+kk+==a12=k+122=2kkk2++S+k+k+1111--a3-k-+S1-22k=kk2--2ka=+k211+.代011,+,入即a上k1+n1式=-,ka2+k整-1理a1时k,“是综法问式然得通归合在题是不后项纳应解时先完经公用决起由全逻—式的探着合归辑猜成解 索 重 情纳 推想立题 性 要 推法 理—.模 问 作 理与 证证从确a的运法式 题 用 发数 明明3,特计严一用现学 结, 、 ,探”的算殊格般数结归 论这 存 它求入证模a关学论纳 的种 在 的1a手明式,n系归法 正方 性 模,与,.a,纳⇒正2,n
第十页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
归纳——猜想——证明
【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a2n+a1n-1,且 an>0,n∈N*. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.
(1)解 当 n=1 时, 由已知得 a1=a21+a11-1,a21+2a1-2=0. ∴a1= 3-1(a1>0). 当 n=2 时,由已知得 a1+a2=a22+a12-1, 将 a1= 3-1 代入并整理得 a22+2 3a2-2=0. ∴a2= 5- 3(a2>0). 同理可得 a3= 7- 5. 猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*).
(4)(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n-
3)条时,第一步检验 n 等于 3.( )
(5) 已 知
n
为正偶数,用数学归纳法证明
1-
1 2

13 - 14


-n1

2n+1 2+n+1 4+…+21n时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时命题
为真,则还需要用归纳假设再证 n=k+2 时等式成立.( ) (6)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n=k+
由①、②,可知对所有 n∈N*,
确性.
an= 2n+1- 2n-1都成立.
第十二页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
归纳——猜想——证明
【训练 3】已知函数 f(x)=13x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′(an +1).试比较1+1a1+1+1a2+1+1a3+…+1+1an与 1 的大小,并说明理由.
(1)解 由 a1=2,公差 d=3, ∴an=a1+(n-1)d=3n-1. 在等比数列{bn}中, 公比 q=2,首项 b1=2, ∴bn=2·2n-1=2n. (2)证明 ①当 n=1 时, T1+12=a1b1+12=16, -2a1+10b1=16,故等式成立; ②假设当 n=k 时等式成立,
第四页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
用数学归纳法证明等式
【例 1】 (2012·天津卷改编)已知等差数列{an}的公差为 3,其前 n 项和为 Sn,
等比数列{bn}的公比为 2,且 a1=b1=2. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明 Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).
第六页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
用数学归纳法证明等式
【训练 1】 求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*). 证明 (1)当 n=1 时,等式左边=2,右边=21·1=2, ∴等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,等式成立, 即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1). 当 n=k+1 时, 左边=(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)(2k+2) =2·(k+1)(k+2)(k+3)·…·(k+k)·(2k+1) =2·2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1) =2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1). 这就是说当 n=k+1 时,等式成立. 根据(1)、(2)知,对 n∈N*,原等式成立.
证明 (1)当 n=1 时,x1=2, f(x1)=-3,Q1(2,-3). ∴直线 PQ1 的方程为 y=4x-11, 令 y=0,得 x2=141,
因此,2≤x1<x2<3, 即 n=1 时结论成立.
(2)假设当 n=k 时,结论成立, 即 2≤xk<xk+1<3. ∴直线 PQk+1 的方程为 y-5=fxxkk++11--45(x-4). 又 f(xk+1)=x2k+1-2xk+1-3,
知识与方法回顾
知识梳理
辨析感悟
技能与规律探究
探究 一 用数学归纳法证 明等式
探究二 用数学归纳法证 明不等式
探究三 归纳—猜想—证明
例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
第一页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成
于是由 a1≥1,
由①、②知,对任意 n∈N*,
得 a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
都有 an≥2n-1.
进而得 a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1, 由此猜想:an≥2n-1.
即 1+an≥2n,因此1+1ana法1≥证21明-这1=个1猜,想结:论成立;∴1+1a1+1+1a2+1+1 a3+…+1+1an
② 即假ak设≥2nk=-k1(,k≥当1n且=kk∈+N1 *时)时,结论成立,≤12+212+213+…+21n=1-12n<1.
解 ∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1), 由 g(x)=(x+1)2-1 在区间
∴an+1≥(an+1)2-1.
[1,+∞)上单调递增知,
∵函数 g(x)=(x+1)2-1=x2+2x
ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,
在区间[1,+∞)上单调递增,
∴当 n=k+1 时,结论也成立.
代入上式,令 y=0, 得 xk+2=32++4xxkk++11=4-2+5xk+1, 由归纳假设,2<xk+1<3, xk+2=4-2+5xk+1<4-2+5 3=3; xk+2-xk+1=3-x2k++1x1k++1 xk+1>0, 即 xk+1<xk+2. 所以 2≤xk+1<xk+2<3, 即当 n=k+1 时,结论成立. 由(1)、(2)知对任意的正整数 n, 2≤xn<xn+1<3.
第七页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
用数学归纳法证明不等式
【例 2】 由下列不等式:1>12,1+12+13>1,1+12+13+…+17>32, 1+12+13+…+115>2,…,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
解 一般结论:1+12+13+…+2n-1 1>n2(n∈N*), 证明如下:(1)当 n=1 时,由题设条件知命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,猜想正确. 即 1+12+13+…+2k-1 1>k2.
1 时,项数都增加了一项.( )
第三页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
1
数学归纳法是一种重要 的数学思想方法,主要 用于解决与正整数有关 的数学问题.证明时步 骤(1)和(2)缺一不可, 步骤(1)是步骤(2)的基 础,步骤(2)是递推的依 据.
2
在用数学归纳法证明时,第(1) 步验算n=n0 的 n0 不一定为1, 而是根据题目要求选择合适的 起始值,如(4),检验n的值从n =3开始,因此(1)不正确.第 (2)步,证明n=k+1时命题也 成立的过程,一定要用到归纳 假设,否则就不是数学归纳法 ,如(3).
等比数列{bn}的公比为 2,且 a1=b1=2. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明 Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).
当 n=k+1 时, Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12, 即 Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1. 因此 n=k+1 时等式也成立. 由①②可知,对任意 n∈N*, Tn+12=-2an+10bn 成立.
规律方审法题路线
(要成1)“规用先律数看,学项等归”,式纳弄两法清边证(比式1等各)明求数代式有等列入a两多式n的等,边少问通差b的项n题;项、构,,(等公2)
初(2)始由值n=n0k是时多等少式.注是成意关立到于,所“推n证”出的结n=论命 k+1时等式成立,题一,要可找运出用等数式学
两边的变化(差异归),纳明法确证变明形.目 标;二要充分利用归纳假设,进 行合理变形,正确写出证明过程 .
立.
2.数学归纳法的框图表示
第二页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
1.数学归纳法原理
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n=1 时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
2.数学归纳法的应用
1 3 n 2
(n∈N*),并用数
学归纳法证明.
第九页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
用数学归纳法证明不等式
【训练 2】 若函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是 过点 P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线 PQn 与 x 轴的交点的横坐标,试运用数 学归纳法证明:2≤xn<xn+1<3.
当 n=k+1 时,1+12+13+…+2k-1 1+21k+…+2k+11-1
>k2+21k+2k+1 1+…+2k+11-1 >k2+2k1+1+2k1+1+…+2k1+1=k2+22k+k 1=k+2 1.
2k 项
审题路线
观察前 4 个式子,
左边的项数及分
母的变化⇒不难
发现一般的不等
式为
1

1 2
审题路线
从特殊入手,正 确计算 a1,a2, a3,探求 an 与 n 的一般关系⇒ 运用数学归纳 法严格证明.
第十一页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
归纳——猜想——证明
【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a2n+a1n-1,且 an>0,n∈N*. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.
∴当 n=k+1 时,不等式成立. 根据(1)、(2)可知, 对 n∈N*,1+12+13+…+2n-1 1>n2.
规律方法审题路线
观察前 4 个式子,
左边的项数及分
用数学归纳法证母明的不变等化式⇒的不关难
键是由n=k时命题发成现立一证般n=的k不+等1
时 可 放 本 巧命 运 缩 不 ,使题 用 法 等也 比 等 式问成 较 来、题立法加不得以以等,、证式在综简明的归合化式+纳法,.性…为假、充质+设分分等1使析应放2+n用法用缩-112后基、技1+>
审题路线
(1)代入等差、等 比数列的通项公 式求 an,bn;(2) 注意到所证结论 是 关 于 “n” 的 命 题,可运用数学 归纳法证明.
即 Tk+12=-2ak+10bk,
第五页,编辑于星期五:十一点 四十七分。
用数学归纳法证明等式
【例 1】 (2012·天津卷改编)已知等差数列{an}的公差为 3,其前 n 项和为 Sn,
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