2018-2019学年重庆市渝东六校高二下学期期中联考数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年重庆市渝东六校高二下学期期中联考
数学试题
一、单选题
1．复数(23)i i -=（ ） A ．32i - B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -+
【答案】B
【解析】根据复数的运算的基本概念和性质，即可求出结果． 【详解】
由题意可知,(23)32i i i -=+ ，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了复数的基本性质，属于基础题．
2．把直角坐标(1,1)-化为极坐标，则极坐标可以为（ ）
A ．31,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．34
π⎫⎪⎭
D ．4π⎫
-
⎪⎭
【答案】C
【解析】利用直角坐标和极坐标互换公式，将直角坐标转化为极坐标． 【详解】
对于点(1,1)-，1
tan 11
ρθ=
==
=--，且(1,1)-在第二象限，则3
4π
θ=
， 则点(1,1)-的极坐标为34π⎫⎪⎭
； 故选：C. 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．
3．设有一个回归方程为ˆ34y
x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加3个单位 B ．y 平均减少4个单位 C ．y 平均增加4个单位 D ．y 平均减少3个单位
【答案】B
【解析】根据所给的线性回归方程，写出自变量加1以后的结果，把结果同原来的自变量为x 的结果相减，得到结论．
【详解】
因为回归方程为ˆ34y
x =- ①， 所以变量x 增加一个单位时，()1341y x =-+ ② ②-①得1 4y y -=-$，即y 平均减小4个单位， 故选：B ． 【点睛】
本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述时一定要加上平均两个字，这是容易出错的知识点． 4．将极坐标22,3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
化为直角坐标为（ ） A
．(1, B
．(-
C
．(
D
．1)-
【答案】B
【解析】利用cos sin x y ρθ
ρθ⎧⎨⎩
＝＝可将极坐标化为直角坐标，即可得出结果．
【详解】
由题意可知，22cos 13
22sin 3x y ππ⎧==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
∴
直角坐标为(-． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题． 5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S =2
⨯底高
，可推知扇形面积公式S 扇等于（ ）
A ．2
2
r
B ．22
l
C ．12
lr
D ．不可类比
【答案】C
【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，高类比为扇形的半径，问题得解． 【详解】
将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r ，所以S 扇＝1
2
lr ．故选C ． 【点睛】
本题主要考查了类比推理知识，对比图形的特征即可解答，属于基础题． 6．直线121x t
y t
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）的斜率等于（ ）
A ．
B C ．
12
D ．2
【答案】C
【解析】首先把直线的参数式转换为直角坐标的形式，进而求出直线的斜率． 【详解】
直线121x t y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：1122y x =+， 故直线的斜率
为
1
2
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了将参数方程化直角坐标方程的基本方法，以及直线的方程的应用，属于基础题．
7．已知变量x 与变量y 的取值如下表所示，且2.5 6.5m n <<<，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ．ˆ0.8 2.3y
x =+ B ．ˆ20.4y
x =+ C ．ˆ 1.58y
x =-+
D ．ˆ 1.610y
x =-+ 【答案】A
【解析】由回归方程必过样本中心()
,x y ，且
()()13.5 6.5 2.5 3.55.54
x y m n ==⨯+++∈，，，以及正负相关性，代入选项即可得到
结果． 【详解】
由回归方程必过样本中心()
,x y ，()1
3.5 6.5 2.54
x y m n ==⨯+++，
， 又2.5 6.5m n <<<，所以 3.55.5y ∈（，）
，由表格，可得为正相关，排除C ，D ；代入
选项A ，B ，可知A 满足． 故选：A ． 【点睛】
本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题． 8．复数1a bi ++(),a b ∈R 为纯虚数是1a =-的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于复数1a bi ++(),a b ∈R 为纯虚数，故10a +=且0b ≠，然后再根据充分条件、必要条件的判断方法，即可得到结果． 【详解】
依题意， 复数1a bi ++(),a b ∈R 为纯虚数，则10a +=且0b ≠， ∴ “复数
1a bi ++(),a b ∈R 为纯虚数” 是“1a =-”的充分不必要条件， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查复数的基本概念，以及充分条件、必要条件的判断，是一道比较基础的题目．
9．在极坐标系中，直线1
cos 2sin ρθθ
=-与直线l 关于极轴所在的直线对称，则直线
l 的方程为（ ）
A ．1
cos 2sin ρθθ
=+
B ．1
2sin cos ρθθ
=
-
C ．1
2cos sin ρθθ
=+
D ．1
2cos sin ρθθ
=
- 【答案】A
【解析】利用直角坐标与极坐标间的关系：222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，进行代换求出直角坐标方程，然后求出关于x 轴对称后的曲线方程，再将直角坐标方程化成极坐标方程． 【详解】
在极坐标系中，直线1
cos 2sin ρθθ
=
-， 则其对应的直角坐标方程为：21x y -=
又l 与直线21x y -=关于x 轴对称，根据对称性可得21l x y +=： ∴直线l 极坐标方程为1
cos 2sin ρθθ
=+；故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角方程的互化和对称变换，属于基础题． 10．复数21i
z i
-=
-，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z ，进而求出复数z ，进而求出复数
z 的坐标，即可得到答案．
【详解】 复数()()()()212311122i i i i z i i i -+-=
==+--+，所以复数z 的共轭复数为322
z i
=-，故复数z 在复平面内对应的点的坐标31,22⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，在第四象限；故选：D ． 【点睛】
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，共轭复数以及复数的几何意义的应用，属于基础题．
11
．设直线12
:2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 与
曲线C 的交于A ，B 两点，则||AB =（ ）
A ．
25
B
．
5
C ．
85
D
【答案】D
【解析】利用22cos sin 1θθ+=可把曲线2cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）化为普通方程，
将直线1:x l y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）化为普通方程，然后再将直线l 的普通方程代入曲
线1C 的普通方程，化简，再根据弦长公式即可求出结果． 【详解】
曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程：2
214x y +=，
将直线12
:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）化为普通方程:1l y x =-，联立方程组2
2141
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，可得2
5204x x -=，
解方程可得10x =或28
5
x =
，设()()1122,,A B x y x y ，
，所以||0AB =-=
故选：D ． 【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用以及直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．
12．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，
在以O 为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，
3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值
为（ ） A
B ．2
C ．1
D
．【答案】B
【解析】首先将曲线1cos :sin x t C y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐
标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C
得
)
A
αα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，
结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】 曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨
=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，
因此得到A
的极坐标为
)
αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以
3cos sin 2sin 3==AB πααα⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ ， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值
为2．故选：B ． 【点睛】
本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题
13．复数2z i =-的虚部为________. 【答案】-1
【解析】根据复数的基本概念，即可得到结果. 【详解】
由题意可知，复数2z i =-的虚部为1-;故答案为：1-. 【点睛】
本题主要考查复数的基本概念，属于基础题.
14．下图的程序计算，若开始输入的值为5，则最后输出的结果是________.
【答案】120
【解析】根据程序框图流程，即可得到结果. 【详解】
()15,15,151002x x x +=∴
=<Q Q ，∴当15x =时，()11201002
x x +=>，故输出的结果是120．故答案为：120． 【点睛】
本题主要考查了程序图，属于基础题．
15．在一次活动中，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物在我这儿”，乙说：“礼物不在丙处”，丙说：“礼物不在我这儿”，如果三人中只有一人说的是假话请问________获得了礼物.（填“甲”或“乙”或“丙”）. 【答案】乙
【解析】根据题意，根据合情推理，即可求出结果．
【详解】
假设甲获得了礼物，则甲、乙、丙，都说了真话，与题设矛盾，故假设不成立； 假设乙获得了礼物，则甲说了假话，丙说了真话，与题设相符，故假设成立； 假设丙获得了礼物，则甲、乙说了假话，与题设相符，故假设不成立；综上乙获得了礼物．
故答案为：乙． 【点睛】
本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属于基础题．
16．设()11,A x y 为椭圆2
2
3412x y +=上一点，过点A 作一条斜率为1
1
34x y -
的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，1,r 2r 分别为A 点到椭圆两焦点的距离.
则
=________.
【答案】【解析】通过椭圆方程22
143
x y +=可知两焦点()()121,01,0F F -、，利用点斜式可知
直线l 方程为22
111134340x x y y x y +--=
，利用点到直线的距离公式可知
d =，利用两点间距离公式计算可知22111291612
x y r r +⋅=，进而计算可
得结论． 【详解】
将椭圆化成标准方程22
143
x y +=，可得椭圆的两焦点()()121,01,0F F -、，
由点斜式可知直线()1
111
3:4x l y y x x y -=-
-，化简可得22111134:340x x y y x l y +--=，
所以d =
=
；
又
12rr =
=
又2211143x y +=，得22
11413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，代入（）
，化简可得
2112+33y r r =
所以2212222
111111291612=+=+=
343412
34y y x y r r x y ++
=
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
三、解答题
17> 【答案】见解析
【解析】平方化简，即可比较出大小，证明结果. 【详解】
证明：因为2
11=+(2
11=+
又((2
2
=120,=96，所以>，
所以
(2
2
>
>【点睛】
本题主要考查了综合法证明，属于基础题.
18．已知i 为虚数单位，复数1z a i =-，22z i =+. （1）若3a =，求12z z ；
（2）若1224z z mi +≥+，求实数a 和m 的值或取值范围. 【答案】（1）127z z i =+；（2）3m =-，0a ≥.
【解析】（1）将3a =代入1z a i =-，再利用复数乘法即可求出结果；
（2）先求出12243z z a i +=+-，再根据1224z z mi +≥+，化简()30a m i -+≥，根据复数的性质即可求出结果. 【详解】
（1）因为3a =，所以13z i =- 所以()()12327i i z i z =-+=+；
（2）因为22z i =-，所以12243z z a i +=+-
又1224z z mi +≥+，所以434a i mi +-≥+，即()30a m i -+≥ 所以0
3
a m ≥⎧⎨
=-⎩.
【点睛】
本题主要考查了复数的基本概念和运算法则，属于基础题.
19．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）.
将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”. （
1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；
（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
参考公式：22
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
临界值表
【答案】（1）见解析（2）能，计算见解析
【解析】（1）根据题中所给的数据，即可列出列联表；
（2）将（1）中列出列联表数据，代入公式计算得出2
K，与临界值比较即可得出结论. 【详解】
（1）
（2）
2
2
300(904050120)200
4.082 3.841
1401602109049
k
⨯-⨯
==≈>
⨯⨯⨯
，
所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
【点睛】
本题考查独立性检验的运用，属于基础题．
20．某公司为了提高利润，从2014年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；
（2）如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？
参考公式：1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =- 参考数据：5
1
281i i
i x y
==∑，
5
21
182.5i
i x
==∑
【答案】（1）2 2.8y x ∧
=-.（2）13.2.
【解析】（1）根据最小二乘法公式即可求出结果； （2）将8x =代入（1）中的回归方程即可求出结果. 【详解】
（1）由题意可知，6,9.2x y ==，
所以1
22
1
281569.2281276
ˆ=
2.0182.5536182.5180
n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==--⨯⨯-===-⨯--∑∑，
所以ˆ9.226= 2.8a
=-⨯-，所以2 2.8y x ∧
=-； （2）由（1）可知，令8x =，所以该公司在2020年的年利润增长为28 2.8=13.2y ∧
=⨯-. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法以及应用，属于基础题
21．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的直角坐标方程
为22
(5)(4)25x y -+-=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）求曲线1C 的极坐标方程
（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标（002ρθπ≥≤<，
） 【答案】（1）2
-10cos 8sin 160ρρθρθ-+= （2
）4π⎫⎪⎭，(2,0). 【解析】（1）利用cos sin x y ρθ
θ=⎧⎨
=⎩
对原方程进行化简，即可求出结果；
（2）联立1C ，2C 的直角坐标方程解得交点的直角坐标，在将直角坐标化为极坐标即
可. 【详解】
（1）1C 的极坐标方程为：2
-10cos 8sin 160ρρθρθ-+=. （2）2C 的直角坐标方程为：22
2x y x +=.
联立1C ，2C 的直角坐标方程解得交点的直角坐标为(1,1)和(2,0)，
化为极坐标为4π⎫
⎪⎭
，(2,0). 【点睛】
本题主要考查了直角坐标和极坐标的转换，属于基础题.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）以坐标原点为
极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
()221sin (0)m m ρθ+=>.
（1）求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于AB
两点，且||7
AB =
m 的值. 【答案】（1）
l
0y +=，C 的直角坐标方程：2
2
2x y m +=. （2）2m =
【解析】（1）消参数t ，可以得到直线l 的普通方程，利用公式2
2
2
sin x y y ρρθ=+=，可以将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）将直线l 和曲线C 的方程联立，整理出关于t 的方程，再利用韦达定理和公式
12t t -=
【详解】
（1
）l
0y +，曲线C 的直角坐标方程为：22
2x y m +=.
（
2）把直线的参数方程1122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）带入22
:2C x y m +=，
整理得：274440t t m -+-= 由根与系数的关系知：1247t t +=，12447
m t t -=，
所以12||AB t t =-=7==
， 解得2m =. 【点睛】
本题重点考查参数方程与普通方程的互相转化，属于中档题．。