1995年全国高中数学联赛第一试题

1995 年全国高中数学联赛
第一
一、 ( 每小 6 分，共 36 分 )
1． 等差数列 { a } 足 3a = 5a 且 a >0， S 其前 之和，
S
中最大的是 (
)
n
813
1
n
n
(A)S 10 (B) S 11 (C)S 20 (D) S 21
2． 复平面上 位 内接正
20 形的 20 个 点所 的复数挨次
1995
，
Z 1，Z 2，⋯，Z 20， 复数 Z 1
1995
1995
()
Z 2 ，⋯， Z 20 所 的不一样的点的个数是
(A)4
(B)5 (C)10
(D)20
3． 假如甲的身高数或体重数起码有一 比乙大， 称甲不 于乙，在 100 个小伙子中，假如某人不 于其余 99 人，就称他 棒小伙子，那么， 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
(A)1 个
(B)2 个
(C)50 个
(D )100 个
4． 已知方程 |x － 2n|=k x (n ∈ N*) 在区 (2n － 1， 2n+1] 上有两个不相等的 根，
k 的取 范 是
(
)
(A)k>0
1
(B)0<k ≤
2n+1
(C)
1
<k ≤
1
(D )以上都不是
2n+1 2n+1
5． log sin1cos1， log sin1tan1，log cos1sin1， log cos1tan1 的大小关系是
(A) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1
(C) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1 cos1 (D ) log tan1< log sin1 tan1< log cos1< log sin1
cos1
sin1
cos1
6．O 是正三棱 P — ABC 底面三角形 ABC 的中心， O 的 平面与 PC 交于 S ，与 PA ， PB 的延
分 交于
Q ， R ， 和式
1
1
1
PQ +
PR +
PS
(A)有最大 而无最小
(B 有最小 而无最大
(C)既有最大 又有最小 ，二者不等
(D )是一个与面 QPS 没关的常数
二、填空 (每小 9 分，共 54
分)
1．α， β 一 共 复数，若
|α－β|= 2 3，且
α
2 数， |α|=
．
β
2． 一个球的内接 的最大概 与 个球的体 之比 ．
3． 用 [x]表示不大于 数
x 的最大整数，
方程 lg 2x － [lg x] － 2= 0 的 根个数是
．
y ≤3x ， 4． 直角坐 平面上， 足不等式
y ≥
x
， 的整点个数是
．
3
x+y ≤ 100
5． 将一个四棱 的每个 点染上一种 色，
并使同一条棱的两头点异色，
假如只有 5 种 色可使用，
那么不一样的染色方法的 数是
．
6．M= {1 ，2， 3，⋯， 1995} ， A 是 M 的子集且 足条件：当
x ∈ A ， 15x A ， A 中元素的个
数最多是 ．
1995 年全国高中数学联赛第一试
参照答案
一、 ( 每小 6 分，共 36 分 )
1． 等差数列 { a } 足 3a = 5a 13
且 a >0， S 其前 之和，
S 中最大的是 (
)
n
8
1
n
n
(A)S 10 (B) S 11 (C)S 20
(D) S 21
解： 3(a+7d)= 5(a+12d)， d= －39a ，令 a =a －
39a (n － 1)≥ 0， a
n+1 = a －39a n<0，得 n= 20． C ．
2 n 2
2
2． 复平面上 位 内接正
20 形的
20 个 点所 的复数挨次
1995
，
Z 1，Z 2，⋯，Z 20， 复数 Z 1
1995 1995
)
Z 2 ，⋯， Z 20
所 的不一样的点的个数是 (
(A)4
(B)5
(C)10
(D)20
1
k
k －
1
π
π
20
15
10
5
1
，此中 ε= cos
． ε
= 1． ε = － i ， ε =－ 1， ε=i ．
解： z =cos θ+isin θ， z =z
ε
10+isin 10
∴ z k 1995
1995(k －
1)
= (cos1995θ+isin1995θ)(－ i) k －
1
∴ 共有 4 个 ． A ．
= (cos1995θ+isin1995θ) ε ．
3． 假如甲的身高数或体重数起码有一 比乙大， 称甲不 于乙，在
100 个小伙子中，假如某人不
于其余
99 人，就称他 棒小伙子，那么，
100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有(
)
(A)1 个 (B)2 个
(C)50 个
(D )100 个
解：把身高按从高到矮排 1~100 号，而 定二人比 ，身高 高者体重 小， 每一个人都是棒小伙子．故 D ．
4． 已知方程 |x － 2n|=k
x(n ∈ N*) 在区 (2n － 1，2n+1] 上有两个不相等的 根，k 的取 范 是 () 1 1 1
(A)k>0(B)0<k ≤ 2n+1
(C)2n+1<k ≤ 2n+1 (D )以上都不是 解：由 |x － 2n|≥ 0，故 k ≥ 0，若 k= 0，可知在所 区 上只有 1 解．故 k>0．
由 象可得， x=2n+1 ， k 1 ．故 B ．
x ≤ 1．即 k ≤
2n+1 又解： y= (x － 2n)2 与 段
y=k 2x(2n － 1< x ≤ 2n+1) 有两个公共点． x 2－ (4n+k 2)x+4n 2= 0 有 (2n － 1， 2n+1]
上有两个根．故△ =(4n+k 2)2－ 16n 2>0 ．且 (2n － 1)2－ (4n+k 2)(2n － 1)+4 n 2>0 ， (2n+1) 2－ (4n+k 2)(2n+1)+4 n 2
≥ 0， 2n － 1<2n+1
k 2<2n+1． k ≤ 1 ．
2 2n+1
5． log sin1cos1， log sin1tan1，log cos1sin1， log cos1tan1 的大小关系是
(A) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1
(C) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1 cos1 (D ) log tan1< log sin1
tan1< log cos1< log sin1
y= (sin1)x
cos1
sin1
cos1
y
y= (cos1)x
解：
<1< ，故 0<cos1<sin1<1<tan1 ． log sin1tan1<0 ，
4 2
tan1
log tan1<0， log cos1>0， log sin1>0，
sin1 1
cos1
cos1
log sin1cos1=a ， 得 (sin1) a = cos1<sin1，a>1；log cos1sin1=b ，
(1,sin1)
(cos1)b = sin1>cos1，0<b<1 ；即 log cos1sin1< log sin1cos1．
O
log sin1
cos1 c =(cos1) d
=tan1，
c
d b
tan1=c
， log tan1=d ， 得 (sin1)
(指数函数 象 行比
) ，c<d ．即 log sin1tan1<log cos1tan1 故 C ．
6．O 是正三棱 P — ABC 底面三角形 ABC 的中心， O
的 平面与 PC 交于 S ，与 PA ， PB 的延 分 交于 Q ，R ， 和式
1
1 1
PQ +PR +
PS
(1,cos1)
a
x
1
(A)有最大 而无最小 (B)有最小 而无最大
(C)既有最大 又有最小 ，二者不等 (D )是一个与面 QPS 没关的常数解： O 到面 PAB 、 PBC 、PCA 的距离相等． ∠ APB= α，
1
V PQRS = 6d(PQ ·PR+PR ·PS+PS ·PQ )sin α． (此中 d
O 与各 面的距离 )．
1
V PQRS = 6PQ ·PR ·PSsin αsin θ． (此中 θ PS 与面 PQR 的 角 )
1
1 1 sin θ
∴ d(PQ ·PR+PR ·PS+PS ·PQ)=PQ ·PR ·PSsin θ．
∴
PQ +PR +PS
=
d 定 ．故 D ．
二、填空 (每小 9 分，共 54 分)
1．α， β 一 共 复数，若
|α－β|= 2 3，且
α
2 数， |α|=
．
β
解： α=x +yi ， (x ， y ∈ R)， |α－ β|= 2|y|．∴ y= ± 3． arg α=θ， 可取 θ+2 θ= 2π， (因 只需
求 |α|，故不用写出全部可能的角 )． θ=
2
3π，于是 x= ± 1． |α|= 2．
2． 一个球的内接 的最大概 与 个球的体 之比 ．
解： 球半径 R ，其内接 的底半径
r ，高 h ，作 截面，
r 2=h (2R － h)．
h
1 2 π 2
π
π4R 3 8 4 3
r
V
=
πr
h ·h(4R － 2h)≤
=
πR．∴ 所求比 8∶ 27．
锥
3
3
6
6 3
27 3
3． 用 [x]表示不大于 数
x 的最大整数，
方程 lg 2x － [lg x] － 2= 0 的 根个数是 ．
解：令 lg x=t ， 得 t 2－ 2= [t]．作 象，知
t= － 1， t= 2，及 1<t<2 内有一解．
1
3
当 1< t<2 ， [t]= 1，t=
3．故得： x= 10， x=100， x= 10
，即共有 3 个 根．
y ≤ 3x ，
x
4． 直角坐 平面上， 足不等式
y ≥ 3，
的整点个数是 ．
x+y ≤100
解：如 ，即△
OAB 内部及 界上的整点．由两 及
x+y= 100 成区
域 (包含 界 )内的整点数 = 1+2+3+ ⋯ +101 = 5151 个．
1 1 由 x 、 y= x ， x+y= 100
成地区 (不包含 y= x 上 )内的整点数 (x= 1，2，3
3
3
各有 1 个整点， x=4， 5，6 各有 2 个整点，⋯， x= 73，74， 75 有 25 个整点， x= 76，77，⋯， 100 挨次有 25，24，⋯，1 个整点． 共有 3× 1+3 ×2+⋯ +3× 25+25+24+ ⋯ +1= 4(1+2+ ⋯ +25)= 1300．由 称性， 由 y 、y= 3x 、x+y=100 成的地区内也有 1300 个整点．
∴所求地区内共有
5151 －2600= 2551 个整点．
5． 将一个四棱 的每个 点染上一种 色，
并使同一条棱的两头点异色，
那么不一样的染色方法的 数是
．
y
y=3x
100
B(25,75)
1 y= x
3
20 A(75,25)
O
20
100
x
假如只有 5 种 色可使用，
4
3 种 色， 1
解： 点染色，有 5 种方法，底面 4 个 点，用 4 种 色染， A 4= 24 种方法，用
点 C 1
1 ，余下
2 个 点，任 2 色染， A
2
1 1
2
2， 一 点用某种 色染
C 4 3种，共有
C 2C 4A 3= 48 种方法；用 2
种 色染：
2
5(24+48+12) = 420 种方法．
A 4= 12 种方法；∴共有
6．M= {1 ，2， 3，⋯， 1995} ， A 是 M 的子集且 足条件：当 x ∈ A ， 15x
A ， A 中元素的个
数最多是
．
解： 1995= 15×133．故拿出全部不是 15 的倍数的数，共 1862 个， 此数均切合要求．
在全部 15 的倍数的数中， 152 的倍数有 8 个， 此数又能够拿出， 共拿出了 1870 个．即 |A|≥ 1870 ．
又 { k ， 15k}( k=9， 10， 11，⋯， 133)中的两个元素不可以同 拿出，故
|A|≤ 1995 - 133+8= 1870．
1995 年全国高中数学联赛
第二
一、 (25 分 ) 定曲 族 2(2sin θ－ cos θ+3) x 2
－ (8sin θ+cos θ+1) y= 0， θ 参数，求 曲 在直
y=2x 上所截
得的弦 的最大 ．
二、 (25 分 ) 求全部 数 p ，使得三次方程 5x 3－ 5(p+1) x 2+(71 p －1)x+1= 66p 的三个根均 正整数． 三、 (35 分 ) 如 ，菱形 ABCD 的内切
O 与各 分 切于 E ， F ， G ， H ，在弧 EF 与 GH 上分 作 O
的切 交
AB 于 M ，交 BC 于 N ，交 CD 于 P ，交 DA 于 Q ，求 ：
MQ ∥ NP ．
A
E H
四、 (35 分 ) 将平面上的每个点都以 ， 两色之一着色。

明：存在 两个相
M
Q
似的三角形，它 的相像比 1995，而且每一个三角形的三个 点同色．
B
1995 年全国高中数学联赛第二试
N
P
F
G
参照答案
C
一、 (25 分 ) 定曲 族 2(2sin θ－ cos θ+3)x 2－(8sin θ+cos θ+1) y= 0， θ 参数，求
曲 在直 y=2x 上所截得的弦 的最大 ．
解：以 y= 2x 代入曲 方程得
x= 0， x= 8sin θ+cos θ+1 ．
2sin θ－ cos θ+3
8sin θ+cos θ+1
∴ 所求弦
l=
2sin θ－ cos θ+3 5．故只需求 |x|的最大 即可．
由 (2x － 8)sin θ－ (x+1)cos θ= 1－ 3x ． (2x － 8)2+(x+1) 2≥ (1－ 3x)2，即 x 2+16x －16≤ 0． 解之得，－ 8≤ x ≤ 2．即 |x|≤ 8(当 sin θ= ±
24
， cos θ= ? 7
即可获得最大 )．故得最大弦 8 5． 25
25
二、 (25 分 ) 求全部 数 p ，使得三次方程 5x 3－ 5(p+1) x 2+(71 p －1)x+1= 66p 的三个根均 正整数．
解： x= 1 是方程的一个根．于是只需考 二次方程
5x 2－ 5px+66p －1= 0 的两个根 正整数即可．
u+v=p
①
此二正整数根 u 、 v ． 由 达定理知，
1
uv= 5 (66p － 1)
②
消去 p ，得 5uv －66(u+v)= － 1．同乘以
5： 52uv － 5× 66u － 5× 66v= － 5．
∴ (5u －66)(5 v －66)= 662－ 5= 4351= 19× 229．因为 u 、v 均 整数，故 5u － 66、 5v －66 整数．
∴
5u － 66= 1， － 1， 19， － 19，
5v －66= 4351，－ 4351， 229， －229．
A
∴ 此中使 u 、 v 正整数的，只有 u= 17， v=59 一 ．此 p= 76．
E H
三、 (35 分 ) 如 ，菱形 ABCD 的内切 O 与各 分 切于 E ，F ，G ，H ，在
M
Q
弧 EF 与 GH 上分 作 O 的切 交 AB 于 M ，交 BC 于 N ，交 CD 于 P ，
2
交 DA 于 Q ，求 ： MQ ∥ NP ．
B
γ
2
O
α2
剖析 要 MQ ∥ NP ，因 AB ∥ DC ，故能够考 明∠ AMQ= ∠ CPN ．
β
P
N
∠ A= ∠C ，故可 AMQ ∽Δ CPN ．于是要 明 AM ∶ AQ=CP ∶CN ．
G
F
明 ∠ ABC= 2 ，∠ BNM= 2 ，∠ BMN= 2γ． 由 ON 均分∠ ONM ，
C
1
得∠ ONC= ∠ ONM=
(180 － 2 )= 90 － ；同理， ∠ OMN= ∠OMA= 90 － γ．而
2
D
D
∠ CON= 180 －∠ OCN －∠ ONC= + = 90 － γ，于是 CON ∽Δ AMO ，
∴ AM ∶ AO=CO ∶ CN ，即 AM ·CN=AO 2．同理， AQ ·CP=AO 2，∴ AM ·CN=AQ ·CP ．∴Δ AMQ ∽Δ CPN ，∴ ∠
AMQ= ∠ CPN ．∴ MQ ∥ NP ．
四、 (35 分) 将平面上的每个点都以 ， 两色之一着色． 明：存在 两个相像的三角形，它 的相像比
1995 ，而且每一个三角形的三个 点同色．
明：方法一 第一 明平面上必定存在三个 点同色的直角三角形．
任取平面上的一条直
l ， 直 l 上必有两点同色． 此两点 P 、Q ，不如 P 、 l
S
Q 同着 色． P 、Q 作 直 l 的垂 l 、 l ，若 l 或 l 2上有异于 P 、Q 的点着 色，
l 1
P R
1
2
1
存在 色直角三角形．若 l 1、l 2 上除 P 、 Q 外均无 色点， 在 l 1
上任取异于 P 的两
T
点 R 、S ， R 、S 必着 色， R 作 l 1 的垂 交 l 2 于 T ， T 必着 色．△ RST 即 三
l 2
Q
点同色的直角三角形．
直角三角形
ABC 三 点同色 (∠ B 直角 )．把△ ABC 成矩形 ABCD (如 )．把
矩形的每 都分红 n 均分 (n 正奇数， n>1，本 中取 n= 1995)． 相 分点，把矩形
ABCD 分红
n 2 个小矩形．
AB 上的分点共有 n+1 个，因为 n 奇数，故必存在此中两个相 的分点同色， (否 任两个相 分 点异色， 可得 A 、 B 异色 )，不如 相 分点 E 、F 同色．观察 E 、 F 所在的小矩形的另两个 点 E 、F ， 若 E 、 F 异色， △ EFE 或△ DFF 三个 点同色的小直角三角
形．若 E 、 F 同色，再观察以此二点 点而在其左 的小矩
D
A
形，⋯． 挨次观察 去，不如 一行小矩形的每条 的两
个 点都同色．
同 ， BC 上也存在两个相 的 点同色，
P 、Q ， 考
G M E' E
察 PQ 所在的小矩形，同理，若
P 、Q 所在小矩形的另一横 两个
H
N
F'
F
点异色， 存在三 点同色的小直角三角形．
否 ， PQ 所在列的
C
P
Q
B
小矩形的每条横 两个 点都同色．
观察 EF 所内行与 PQ 所在列订交的矩形
GHNM ，如上述， M 、H 都与 N 同色，△ MNH 点同色
的直角三角形．
由 n= 1995，故△ MNH ∽△ ABC ，且相像比 1995，且 两个直角三角形的 点分 同色．
方法二：第一 明：
a 随意正 数，存在距离
2a 的同色两点．任取一点 O( 色点 )，以 O
心， 2a 半径作 ，若 上有一个 点， 存在距离
2a 的两个 点，若
F E
上没有 点， 任一 内接六 形
ABCDEF 的六个 点均 色，但此六 形
2a ．故存在距离 2a 的两个 色点．
下边 明： 存在 a ， 3a ，2a 的直角三角形， 其三个 点同色． 如上 ，
A
B
存在距离 2a 的同色两点 A 、B( 点 )，以 AB 直径作 ，并取 内接六
形 ACDBEF ，若 C 、D 、E 、F 中有任一点 色， 存在 足要求的 色三角形．
若
C
D
C 、
D 、
E 、
F 色， 存在 足要求的 色三角形．
下边再 明本 ：由上 知，存在
a ， 3a ， 2a 及 1995a ， 1995
3a ， 1995 2a 的两个同色三角
形， 足要求．
方法三：以任一点 O 心， a 及 1995a 半径作两个齐心 ，在小 上任取
9 点，必有 5 点同色，
A 、
B 、
C 、
D 、
E ，作射 OA 、OB 、 OC 、OD 、 OE ，交大 于 A ，B ，C ， D ， E ， 此五点中必
存在三点同色，
A 、
B 、
C ． ABC 与 A B C 足要求的三角形．。