高考数学之不等式放缩常用技巧带答案

高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
奇巧积累: (1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2)
)
1(1)1(1)1()1(212
11
+--=-+=+n n n n n n n C C n n
(3))2(111)1(1!11)!(!!11
≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r
r r n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-+
+⨯+⨯++<+n n n
n
(5)
n
n n
n
2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n
n n (8)n
n n n n n n 2)32(1
2)12(12
13211221
⋅+-⋅+=
⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-+-
(9)
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10)!
)1(1!1!)1(+-
=+n n n n
(11)
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
(12))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211
12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (13)
1
11)1(1)1(1)1)(1(1112
3
--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
-=+-<
⋅=
n n n n n n n n n n n n 1
111211111
1
+--<-++⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n
(14)3
21213
2122)12(332)13(2221n
n n
n n n n n n <-⇒
>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+
(15)
!
)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-
+=+++++k k k k k k (16)
)2(1)1(1
≥--<+n n n n n (17) 1
1
1)
11)((1122222
222<++++=
++
+--=
-+-+j i j
i j i j i j i j i j i
一、裂项放缩 例1.(1)求∑
=-n
k k 12
142的值; (2)求证:3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-
<1211212144
4
11
1222
n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n
k
例2.(1)求证:)2()12(21
67)
12(15
13
112
2
2≥-->-+
+++n n n (2)求证:n
n
412
14136
116
14
12
-<++++
(3)求证:1122642)12(5316
425314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
(4) 求证：)112(213
12
11)11(2-+<++++<-+n n
n
解析:(1)因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)
12(12
n n n n n ,所以)
1
2131(211)12131(211)
12(1
1
2
--+>+-+>-∑=n n i n
i (2))111(4
1)12
11(4
14136
116
14
12
22n
n
n
-+<+++=++++
(3)先运用分式放缩法证明出1
212642)12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n ,再结合
n
n n -+<+22
1进行裂项,最
后就可以得到答案 (4)首先
n
n n n n
++=
-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到
n
n 13
12
11)11(2+
++
+
<-+
再证
2
1
2121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以)112(213
12
11-+<++++n n
例3.求证:
3
5
191411)12)(1(62<++++≤++n n n n
解析:一方面:因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<121121
2144
4
111
2
22
n n n n n ,
所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k 另一方面:1
111)1(14313
21119
14
112
+=
+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n
当3≥n 时,)
12)(1(61++>
+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,
当2=n 时,
21
91411)12)(1(6n n n n ++++<++ ,
所以综上有
3
5
191411)12)(1(62<++++≤++n n n n
例4、已知a n =n ，求证：∑n
k=1
k a 2
k
＜3．
证明：∑n
k=
1
k
∑n
k=
1
＜1＋∑n
k=2
1(k －1)k (k ＋1)
＜１＋∑n
k=2
2
(
k －1)(k ＋
1) ( k ＋1
＋k －1 ) =1n
k =+
=1＋∑n
k=2
(
1(
k －1)
－
1(
k ＋1)
)
=1＋1＋2
－1(n ＋1) ＜2＋2＜3．
例5、已知数列{}n a 满足2
111,0,2n n
a a a +=<≤求证：121
1
().32n
k k k k a a a ++=-<∑
证明:
22112131110,,,.2416
n n a a a a a a +<≤
=∴=≤≤231
1,0,16
k k a a +∴≥<≤≤
当时 12
1111
1111()()().161632
n
n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑ 例6.已知n n n a 24-=,n
n
n
a a a T +++=
212,求证:2
3321<++++n
T T T T .
解析:)21(2)14(3
421)21(241)41(4)222(444421321n n n
n n n n
T -+-=-----=+++-++++=
所以
123)2(222322342323
23422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅
=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n n
n n n n n n n n n n n n
n T
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=
+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2
3121
1217
13
13
11231321<⎪⎭⎫ ⎝
⎛---++-+-=+++++n n n
T T T T
二、函数放缩
例7.求证：)(6
6533
3ln 4
4ln 3
3ln 2
2ln *N n n n n
n
∈+-<++++ .
解析:先构造函数有x
x
x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)3
13121(133
3ln 44ln 33ln 22ln n n n
n
+++--<++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212
1
9181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6
6536
5133
3ln 4
4ln 3
3ln 2
2ln +-=--<++++n n n n n
n
例8.求证:(1))2()
1(212ln 33ln 22ln ,22
≥+--<+++≥n n n n n n α
αααααα
解析:构造函数x
x x f ln )(=,得到2
2
ln ln n
n n n
≤α
α
,再进行裂项)
1(1111ln 2
22
+-
<-≤n n n
n
n ,求和后可以得到
答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n 例9.求证:n
n n 12
11)1ln(1
13
12
1+++<+<++++
解析:提示:2ln 1
ln 1ln 121
1ln )1ln(+
+-++=⋅⋅-⋅+=+ n n n n n n n
n n
例10.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1
)1(
3
2]1)1(ln[++-
>++n n n n ,叠加之后就可以得到答案
例11. 已知1
12111,(1).2n n n
a
a a n n +==+
++证明2n a e <. 解析:
n
n n n n a n n a n n a )21)1(11(2
1))1(11(1+++<+++
=+, 然后两边取自然对数,可以得到
n
n n a n n a ln )2
1
)1(11ln(ln 1++++
<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒
+
++
≤+n n
n a n
n a )2
1
11(2
1⇒
++
++
≤+n n
n a n
n a ln )2
111ln(ln 2
1
n
n n n a 2
1
1ln 2
+++
≤。

于是n
n n n n a a
2
1
1ln ln 2
1
++≤
-+，
.
221122
11)21
(111ln ln )2
11()ln (ln 1
1211
11
1
<--=--+
-≤-⇒++≤---=+-=∑
∑
n n n i n i i i n i n n a a i i a a
即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-
注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩：
⇒-+
-+
≤+)
1(1))
1(11(1n n a n n a n n ⇒
+-+
≤++)1)()
1(1
1(11n n a n n a .)
1(1
))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+
≤+-++n n n n a a n n 11
1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21
2
11
2
<-<+-+⇒-<+-+⇒∑
∑-=+-=n
a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+
例12.已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立.
(I)求证：函数),0()()(+∞=
在x
x f x g 上是增函数；
(II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时；
(III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：
).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 21*22
222222N n n n n
n n ∈++>++++++
解析:(I)0)()(')('2
>-=
x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x
x f x g 上是增函数 (II)因为
),0()
()(+∞=
在x
x f x g 上是增函数,所以
)()()()(212
111212111x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<⇒++< )
()()()(212
122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<⇒++< 两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3)
)()()()(21211
1212111n n
n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++< )()()()(212122212122n n
n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++< …… )()()()(21212121n n
n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++< 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++
所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令
2
)1(1n x n +=
,
有
<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++22
22222)1(13121ln )1(1413121n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++<n n n )1(1231121ln )1(13121222 )2)(1(2212111++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<n n n n n 所以
).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 21*22
222222N n n n n n n ∈++>++++++
(方法二)⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++2111
4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22
2
n n n n n n n n n 所以
)
2(24ln 2121
4ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n
又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n
n n ∈++>++++++ 三、分式放缩
姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m
a m
b a
b 和)0,0(>>>++<m b a m
a m
b a
b
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例13. 姐妹不等式:12)121
1()5
11)(3
11)(11(+>-+
+++n n 和 1
21
)211()611)(411)(211(+<
+---n n
也可以表示成为
1
2)
12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n
和1
212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n
解析:利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m
a m
b a
b 可得
>-⋅⋅122563412n n
=+⋅⋅n
n 212674523 )
12(212654321+⋅-⋅⋅n n
n ⇒12)1
225
63412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1
21
1()5
11)(311)(11(+>-+
+++n n
例14.证明:.13)2
31
1()711)(411)(11(3+>-++++n n
解析: 运用两次次分式放缩:
1
338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)
n
n n n 31391067.342313784512+⋅
⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)
相乘,可以得到:
)13(1323875421131381057.2423137
845122
+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅
⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2
311()7
11)(4
11)(11(3+>-++++n n
四、分类放缩 例15.求证:2
1213
12
11n
n
>-+
+++ 解析: +++++++++>-+
+++ )2
1
212121()4141(211121312
113333n
2)211(221)212121(
n n n
n n n n >
-+=-+++
例16、求证：
2
22211117123
4
n ++++
< 证明：
21111(1)1n n n n n
<=-
-- 222
22111
1111115117
1()().123223
1424
n n n n ∴
++++
<++-++
-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

五、借助数列递推关系
例17.求证:1
222642)12(5316
425314
2312
1-+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
解析: 设n
n a
n
2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=
则 n n n n n a na a n a n n a +=+⇒++=
++2)1(2)
1(21
211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到
1
2
21)22(13
21)1(22)1(21121-+⋅
+<-+⋅
+<-+=++++n n n n a a n a a a n n
所以1222642)
12(5316
425
314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
例18. 求证:1122642)
12(5316
425
314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
解析: 设n
n a n
2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则
111)12(]1)1(2[)
1(212+++++=++⇒++=
n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到
1122
3
1
21)12(3)12(1121-+<-
+⋅
+<-+=++++n n n a a n a a a n n
例19. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(21
11
21
-+≥+++
n a a a n
解析:n
n n n n n n a a a a a n a a
-=⇒
+⋅=+=⋅+++++21
112
112 所以就有21221
111
211211
21
-+=-≥--++=+++
++n a a a a a a a a a a a n n n n n
六、均值不等式放缩
例20.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2
)1(2
)
1(2
+<
<+n S
n n n
解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=
2121)1(+=++<
+<k k k k k k ，)
21(1
1∑∑==+<<∴n
k n n k k S k ， 即.2
)1(22)1(2
)1(2+<++<
<+n n n n S
n n n
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
2
b
a a
b +≤
，若放成
1)1(+<+k k k 则得2)
1(2)3)(1()1(2
1
+>++=+<∑=n n n k S n
k n
，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n
a a n
a a a a a a n n
n
n n n
2
211111
1++≤++≤
≤++
其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例21.已知函数bx
a x f 211)(⋅+=
，若5
4)1(=
f ，且
)(x f 在[0，1]上的最小值为
2
1，求证：.2
12
1)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f 解析:)2211()()1()0(2
2114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=
n f f x x f x
x x x .21
2
1)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-
++-n n n
n n
例22、已知54n
a n =-1
>对任何正整数m
n ，都成立.
1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =
--=-++， 故只要证 5(54)12520()16mn mn m n -
>+-+++ 即只要证 202037
m n +->因为558m n a a m n ≤+=+-558(151529)m n m n <+-++-202037
m n =+-， 所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由m n a a +放大即可. 七、经典题目方法探究
探究.已知函数x x x f -+=)1ln()(.若)(x f 在区间*)](,0[N n n ∈上的最小值为n b , 令n n b n a -+=)1ln(.求证:1122642125314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+-n
n
n a a a a a a a a a a a a a a a .
证明:首先:可以得到n n n a =.先证明1
212642)12(531+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯n n
n
(方法一)1
211
21)
2()12)(12(4
532312642)12(5312222
+<+⨯+-⨯⨯⨯⨯⨯=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯n n n n n n n
所以1
212642)12(531+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯n n
n
(方法二)因为1
221
2112212,,5
41
4134
3,321
2112
1+=
++-<-=++<=++<n n n n n
n ,相乘得:
1212642)12(5312
+<⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯n n n , 从而1
212642)12(531+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯n n n
.
(方法三)设A =n
n 2642)12(531⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ,B =
)
12(7532642+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯n n ,因为A <B ,所以A 2<AB ,
所以1212642)12(5312
+<
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯n n n ,从而1
212642)12(531+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯n n n
. 下面介绍几种方法证明1122642125314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+-n
n
n a a a a a a a a a a a a a a a
(方法一)因为
2121212-++>
+n n n ,所以1
2121
21--+<+n n n ,所以有 112122642)12(5314231211
-+<+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+∑=n k n n n
k (方法二)n
n n n ++=
-+222,因为
n
n n ++<+22
21
,所以
n n n -+<+22
1
令12-=n n ,可以得到
1
2121
21--+<+n n n ,所以有
112122642)
12(5314231211
-+<+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+∑=n k n n n k (方法三)设n
n n a n n a n
n a 2
212,2642)12(5311++=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=+ 所以111)12()1(2+++++=++n n n n a a n a a n , 从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,从而1)12()12(---+=n n n a n a n a
2
3
)12(35)32()12()12()12(12211321-
+=-++---+--+=++++---n n n n n n a n a a a n a n a n a n a a a a 又1
21+n a
n
,所以1122312321-+<-+<++++n n a a a a n
(方法四)运用数学归纳法证明:1
121
211
-+<+∑
=n k n
k
(i)当1=n 时,左边=
3
1,右边=
2
1
311
3213+=
+=
-显然不等式成立;
(ii)假
设
)
1(≥=k k n 时,
1
121
211
-+<+∑
=k i k
i ,则
1
+=k n 时,
3
211123
211
215
131++
-+<++
++
++
k k k k ,
所以要证明1
321
211
1
-+<+∑
+=k i k i ,
只要证明
2
1
232112323
21323
21
12+++=
+-+<+⇒
+<++
+k k k k k k k k ,这是成立的.
这就是说当1+=k n 时,不等式也成立,所以,综上有11226421
253142312
1
-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+
-n n
n a a a a a a a a a a a a a a a。