江苏省南通市通州区2019届高三第二学期四月质量调研检测数学试题(word版)

江苏省南通市通州区2019届高三第二学期四月质量调研检测
数学试题
2019．4
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}23x x -<<，B ＝{}
2Z x x n n =∈，，则A
B ＝ ．
2．已知复数112i z =+，21i z =-，其中i 为虚数单位，则复数12z z 的实部为 ．
3．右图是一个算法的伪代码，若输入x 的值为3时，则输出的y 的值 为 ． 4．某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，则这组数据的方差为 ． 5．设不等式2log 1x <的解集为D ，在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x ，则x ∈D 的概率为 ．
6．已知圆锥的底面面积为2π，侧面积为，则该圆锥的体积为 ．
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a ＝0，34S S +＝6，则56a a +的值为 ． 8．已知α∈(0，
2
π)，tan2α＝34，则sin cos sin cos αα
αα+-的值为 ．
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F 2，左
顶点为A ，过点F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则双曲线的离心率为 ．
10．已知函数()f x 满足3
()1f x a x -=+，且对任意实数x 都有()(2)2f x f x +-=，则
(0)f 的值为 ．
11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，AD ＝3，2DM MC =，若AM BD ⋅＝
3，则AD BC ⋅的值为 ．
12．若a ，b ∈R ，且22231a ab b +-=，则22
a b +的最小值为 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的外接圆方程为2
2
4x y +=，∠ACB ＝
3
π
，AB 边
的中点M 关于直线2y x =+的对称点为N ，则线段ON 长度的取值范围是 ． 14．已知函数()ln f x x x =，2
()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
已知函数2()sin cos 2
f x x x x =-
． （1）若x ∈[0，
2
π
]，求函数()f x 的值域； （2）在△ABC 中，已知C 为锐角，C 1
()2
2f =-
，AB ＝3，A ＝4
π，求边BC 的长．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝60°，平面PCD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 上一点．
（1）若PA//平面MBD ，求证：点M 为PC 中点； （2）求证：平面MBD ⊥平面PCD ．
17．（本小题满分14分）
某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x 元/件，其中10≤x ≤30，且x N *
∈．根据市场调查，当10≤x ≤15，且x N
*
∈时，每月的销售量h （万件）与(18﹣x )2成正比；当15≤x ≤30，且x N *
∈时，每月的销售量h （万件）与10
1x
-
成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件． （1）求该公司的月利润()f x （万件）与每件产品的售价x （元）的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润()f x 最大？并求出最大值．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，椭圆
C 上的点到右焦点距离的最大值为2．过点P(m ，0)作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（m ＞0，k ＞0），
D 是线段AB 的中点，直线OD 交椭圆C 于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若m ＝1，OM 3OD 0+=，求k 的值；
（3）若存在直线l ，使得四边形OANB 为平行四边形，求m 的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知函数()ln 1f x x ax =-+，()()x
g x x e x =-．
（1）若直线2y x =与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值；
（2）若存在1x ∈(0，+∞)，2x ∈(-∞，+∞)，使1()f x ＝2()g x ＝0，且121x x ->，求实数a 的取值范围；
（3）当a ＝﹣1时，求证：2()()f x g x x ≤+． 20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，首项为2．若2
21
(1)(12
m n m S a ++=+
21
)2
n S 对任意的正整数m ，n 恒成立． （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：{}n a 是等比数列；
（3）设数列{}n b 满足(1)n
n n b a =--，若数列1n b ，2n b ，…，t n b （1n ＜2n ＜…＜t n ，
N t *∈）为等差数列，求t 的最大值．
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝ 1 2a b ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
的两个特征值为12λ=，23λ=．求直线l ：20x y -+=在矩
阵M 对应变换作用下的直线l '的方程．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 的方程为=2sin ρθ，直线l 的方程为sin()3
a π
ρθ+=．若
直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．
C ．选修4—5：不等式选讲
设函数()14f x x x a =+---． （1）求函数()f x 的最大值；
（2）若存在x ∈R ，使4
()1f x a
≥
+成立，求实数a 的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
已知动圆过点S(2，0)，且在y 轴上截得的弦长为4． （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；
（2）过点S 的直线l 与曲线C 交于点A ，B ，与y 轴交于点T ，设TA SA λ=，
TB SB μ=，求证：λμ+是定值．
23．（本小题满分10分）
设2020
220200122020(1)
(R)mx a a x a x a x m +=++++∈．
（1）若2m =，求12202022020a a a +++的值；
（2）若1m =-，求2020
01
i i
S a ==∑的值．。