2005年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷

2005 年上海市一般高等学校春天招生考试
数 学 试 卷
考生注意： 1. 答卷前，考生务势必姓名、高考座位号、校验码等填写清楚
2. 本试卷共有 22 道试题，满分 150 分 . 考试时间 120 分钟 .
.
得 分
评 卷 人
一 .
填空题（本大题满分填写结果，每题填对得
48 分）本大题共有
12 题，只需求直接
4 分，不然一律得零分
.
1. 方程 lg x 2
lg( x 2) 0 的解集是
.
2. lim
n 2
.
1 2
n
n
3. 若 cos
3 ，且 0, ，则 tg
2
.
5
2
4. 函数 f ( x)
x 2 (x ( , 2] ) 的反函数 f 1 ( x)
.
5. 在△ ABC 中，若
C 90，AC
BC 4 ，则 BA BC
.
6. 某班共有 40 名学生，此中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则
这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是
(结果用最简分数表示 ).
7. 双曲线 9x 2
16 y 2 1的焦距是
.
8. 若 x 2 n
x n
a x 3
b x 2
c x 2n
n N , 且 n 3 ，且 a :b
3 : 2 ，则 n
.
9. 设数列
a n 的前 n 项和为 S n （ n N ）. 对于数列
a n 有以下三个命题：
（ 1）若 a n 既是等差数列又是等比数列，则 a n
a
n 1 ( n N ) ；
（2）若 S n a n 2 b n a 、b R ，则 a 是等差数列；
n
（ 3）若 S n 1
1
n
，则 a n 是等比数列 .
这些命题中，真命题的序号是
.
10. 若会合 A x 3 cos2
x 3x , x R ， B
y y 2 1, y R ，则A
B =
.
11. 函数 y
sin x arcsin x 的值域是
.
12. 已知函数 f ( x)
2x log 2 x ，数列 { a n } 的通项公式是 a n 0.1n （ n N ），当
| f (a n )
20 0取5得最小值时， n .
二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出
得 分
评 卷 人
四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的
代号写在题后的圆括号内，选对得
4 分，不然一律得零分 .
13. 已知直线 l 、m 、n 及平面
，以下命题中的假命题是
（ A ）若l // m，m // n，则l // n .（ B）若l， n //，则 l n .
（ C）若l m ， m // n ，则 l n .（ D ）若l //， n //，则 l // n .
[答] ()
14. 在△ ABC
a b c
中，若
cosB
，则△ ABC 是cos A cosC
（ A ）直角三角形 .（ B）等边三角形 .
（ C）钝角三角形 .（D ）等腰直角三角形 .
[答] () 15. 若a、b、c是常数，则“a0 且 b2 4 a c 0 ”是“对随意x R ，有a x2 b x c0 ”
的
（ A ）充足不用要条件.（ B）必需不充足条件.
（ C）充要条件 .（D ）既不充足也不用要条件 .
[答] () 16.设函数 f ( x) 的定义域为R，有以下三个命题：
（ 1）若存在常数M ，使得对随意x R ，有 f ( x)M ，则M是函数 f (x) 的最大值；
（ 2）若存在x0R ，使得对随意x R ，且x x0，有 f ( x) f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 f ( x)的最大值；
（ 3）若存在x0R ，使得对随意x R ，有f ( x) f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的最大值.
这些命题中，真命题的个数是
（A）0 个.（B）1个.（C）2个.（D）3个.
[答]()
三．解答题（本大题满分86 分）本大题共有 6 题，解答以下各题一定写出必需的步骤.
17. (此题满分12 分)
得分评卷人
已知 z 是复数， z 2 i 、z
均为实数（i 为虚数单位），且复数( z a i ) 2在复平面上对应的点在第一2 i
象限，务实数 a 的取值范围.
[解 ]
18. (此题满分12 分)
得分评卷人
已知 tg是方程x2 2 x sec 1 0 的两个根中较小的根，求的值.
[解 ]
19. (此题满分14 分)此题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，
得分评卷人第 2小题满分 8分 .
已知正三棱锥P ABC 的体积为72 3 ，侧面与底面所成的二面角的大小为60 .
（1）证明： PA BC ；
（2）求底面中心 O 到侧面的距离 . [证明 ]（ 1）
[解]（2）
P
A C
O
B
20.( 此题满分14分 ) 此题共有2个小题，第1小题满分6分，
得分评卷人第 2 小题满分8 分.
某市 2004 年末有住宅面积1200 万平方米，计划从2005 年起，每年拆掉20 万平方米的旧住宅. 假设该市每年新建住宅面积是上年年末住宅面积的5%.
（ 1）分别求 2005 年末和2006 年末的住宅面积；
（ 2）求 2024 年末的住宅面积 .（计算结果以万平方米为单位，且精准到0.01）
[解]（1）
（2）
21.( 此题满分16分 ) 此题共有3个小题，第1小题满分3分，
得分评卷人第2小题满分6分，第 3小题满分7分.
已知函数 f ( x)x a
的定义域为 ( 0,) ，且 f (2) 2 x
点 P 分别作直线 y x 和 y 轴的垂线，垂足分别为M、N.
（1）求a的值；
（2）问：| PM | | PN |能否为定值？假如，则求出该定值，若不是，则说明原因；2
2
. 设点P是函数图象上的随意一点，过
（ 3）设 O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值 .
[解 ]（ 1）
（ 2）
（ 3）
22.( 此题满分18分) 此题共有 3
个小得题，分第 1 小评题卷满分人 5 分，
第 2小题满分 8分.第 3小题
满分 5分.
（ 1）求右焦点坐标是(2, 0) ，且经过点 ( 2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；
（）已知椭圆 C 的方程是x2
y 2
1( a b0) .设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B 两点，AB的
2 a 2 b 2
中点为 M .证明：当直线l 平行挪动时，动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）利用（ 2）所揭露的椭圆几何性质，用作图方法找出下边给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在
图中标出椭圆的中心 .
[解]（1）
[证明 ]（ 2）
[解 ]（ 3）
2005 年上海市一般高等学校春天招生考试
数学试卷
参照答案及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法 ,假如考生的解法与所列解法不一样 ,可参照解答中评分标准的精神进行
评分 .
2.评阅试卷 ,应坚持每题评阅究竟,不要由于考生的解答中出现错误而中止对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步此后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后边部分的给分,这时原则上不该超事后边部分应给分数之半,假如有较严重的观点性错误,就不给分 .
3.第 17 题至第 22 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.
4.给分或扣分均以 1 分为单位 .
答案及评分标准
一．（第 1 至 12 题）每一题正确的给 4 分，不然一律得零分.
1. {1, 2} .
2. 0.
3.1
. 4.x , x ( ,4] . 2
5.1
6. 6.
1
.7.
5
.8.11. 2606
9. （ 1）、（ 2）、（3） .10. 1 .
11.sin1, sin1.12.110
22
二．（第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，不然一律得零分.
号13141516
代号D B A C
三．（第 17 至 22 ）
17.[解]z x yi ( x、y R) ，
z2i x( y2)i ，由意得y 2 .⋯⋯ 2分
2z x2i
1
(x2i)( 2i)
i2i5
1
( 2x2)
1
( x4) i
55
由意得x 4 .⋯⋯ 6分
∴z 4 2i .
∵ ( z ai ) 2(124a a 2 )8( a2)i ，⋯⋯ 9分
依据条件，可知124a a 20
，解得 2 a 6 ，8(a2)0
∴数 a 的取范是 (2, 6).⋯⋯ 12分18. [ 解 ] ∵ tg是方程 x22xsec10 的小根，
∴方程的大根是 ctg .
∵ tg+ ctg= 2 sec，即
12
sin cos cos
∴ sin 1 .⋯⋯ 5分
2
解得2k7，或2k,k Z.⋯⋯ 8分
66
当2k7(k Z)，tg3， ctg 3 ；
3
6
当2k(k Z )，tg3， ctg 3 ，不合意.
3
6
∴2k
7,k Z .⋯⋯ 12分
6
19.[明 ]（ 1）取 BC 的中点D，接AD、PD，
AD BC ， PD BC ，故 BC平面APD.
∴PA BC.
[解 ] （ 2）如，由（1）可知平面PBC平面APD，点O作OE PD, E垂足，OE 就
面的距离 .⋯⋯9分
OE h ，由意可知点O 在AD上，
⋯⋯4分
⋯⋯6分
PDA是面与底面所成二面角的平面角
是点 O
.
到
∴PDO 60 ，OP 2 h .
OD
2h , BC
4h , ⋯⋯ 11分
3
∴ S ABC
3
( 4h) 2 4 3h 2
，
4
∵723
1 4 3h 2
2h 8 3
h 3 ，∴ h 3 .
3
3
即底面中心 O 到 面的距离 3.
⋯⋯ 14分
20. [ 解 ] （1） 2005 年末的住宅面
1200(1 5%) 20 1240（万平方米） ,
2006 年末的住宅面
1200(1
5%) 2 20(1 5%)
20 1282 （万平方米）
∴ 2005 年末的住宅面
1240 万平方米，2006 年末的住宅面
1282 万平方
米 .
⋯⋯ 6分
（ 2） 2024 年末的住宅面
1200(1 5%) 20 20(1 5%)19
20(1
5%)18
20(1 5%) 20 ⋯⋯ 10 分
1200(1
5%) 20
20 1.0520 1 2522.64 （万平方米）
0.05
∴ 2024 年末的住宅面 2522.64 万平方米 .
⋯⋯ 14分
21. [解 ]（1）∵
f (2)
2 a
2
2
，∴ a
2 .
⋯⋯ 3分
2
2
（ 2） 点 P 的坐 (x 0 ,
y 0 ) ， 有 y 0 x 0
2
， x 0
0 ，
x 0
由点到直 的距离公式可知：
|PM | | x 0 y 0 |
1 , |PN|
x 0 ，
2
x 0
故有|PM | |PN | 1，即 |PM | | PN | 定 ， 个
1.
⋯⋯ 9分
（ 3）由 意可 M (t ,
t ) ，可知 N (0,
y 0 ) .
∵ PM 与直 y
x 垂直，∴
k PM 1
1，即
y 0 t
x 0
1，解得
t 1
( x 0 y 0 ) ，又 y 0
x 0 2 t x
2
.
t
x 0 ，∴ 0
2
2x 0
∴S OPM
1 2
， S
OPN
1
x 02
2 ，
2x 02 2
2
2
∴ S
S
OPM S
OPN 1 ( x 2 1 ) 2 1
2 ，
OMPN
2
x 02
当且 当 x 0 1 ，等号建立 .
∴此四形 OMPN面有最小 1 2 .⋯⋯ 16分
x 2y2
1 ，a b0，
22. [ 解 ] （1）的准方程
b 2
a 2
∴ a 2 b 24，即的方程x 2
4y 21，
b 2 b 2
∵ 点（2, 2 ）在上，∴
42，b24 b 21
解得b24或 b2 2 （舍），
由此得 a28 ，即的准方程x2y 21.⋯⋯ 5分
（ 2）直 l 的方程y kx m ，84
⋯⋯ 6分
与 C 的交点 A (x1,y1)、B( x2 ,y2)，y kx m
有x 2y 2，
a 2
b 2
1
解得(222)22222220
a k x a kmx a m a
b ，
b
∵0 ，∴m2 b 2 a 2k 2，即b2a2 k 2m b 2a2 k 2.
x1 x2
2a2 km
, y1 y2kx1m kx2m
2b 2 m
，
2 2 22 2 2
b a k b a k
∴ AB 中点 M 的坐
a 2 km
,
b2 m
.⋯⋯ 11分b 2a2 k 2b2 a 2 k 2
∴段 AB 的中点 M 在原点的直 b 2 x a 2k y0 上.⋯⋯ 13分
（ 3）如，作两条平行直分交于 A 、 B 和C、 D，并分取AB、CD的中点M、 N，接直MN；又作两条平行直（与前两条直不平行）分交
于 A1、 B1和 C1、D1，并分取A1 B1、C1 D1的中点M1、N1，接直M 1N1，那么直MN和 M1N1的交点O 即中
心.⋯⋯18分。