(全优试卷)黑龙江省哈尔滨市高三数学上学期期末考试试题 文

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试
高三数学试题（文史类）
满分：150分时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．若复数,
2
1
5
i
i
z
-
=则z的共轭复数对应的点所在的象限为（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限
2．如果命题" ()"
p q
⌝∨为假命题，则（）
A．,p q均为真命题 B．,p q均为假命题
C．,p q中至少有一个为真命题 D．,p q中至多有一个真命题
3．设1.05.0
=
a,1.0
log
4
=
b，1.04.0
=
c,则( )
A.a c b
>> B．a
c
b>
> C．c
a
b>
> D. c a b
>>
4．已知向量(,),
a x y
=
r
若实数,x y满足
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≥
+
≥
+
-
3
5
x
y
x
y
x
,
则a
r
的最大值是( ) A．73 B．
52
C．43 D.32
5．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是
直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
6．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区
快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的
信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（）
A. 82万盒
B. 83万盒
C. 84万盒
D. 85万盒
7．函数()()
2sin
f x x
ωϕ
=+(0,
2
π
ωϕπ
>≤≤)的部分图象如上图所示，其中,A B两点之间的
距离为5， 则=)1(f ( )
A ．3
B ．3-
C ．1
D ．1-
8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )
A ．2
1
B ．1
C ．1-
D ．2
9．数列}{},{n n b a 满足111==b a ，*1
1,2N n b b a a n
n n
n ∈==-++, 则数列}{n a b 的前10项的和为（ ）
A ．
)14(349- B ．)14(3110- C ．)14(31
9- D ．)14(3410-
10．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C
相交于A 、B 两点,则22
OA OB +（O 为坐标原点）的最小值为( )
A ．4
B ．8
C ．10
D . 12
11．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，
则不等式()x
f x e >的解是（ ）
A ．1x >
B ．01x <<
C ．ln 2x >
D . 0ln 2x <<
12．若)(x f
零点（ ）
A ．)(--=x e x f y C ．)(-=x
e x
f y 二、填空题：（每小题513．正四棱锥O -ABCD O -14．向量,若a r
⊥15．若直线2-+by ax 则12a b
+16是 . 三、解答题：
17.（本小题满分12在ABC ∆，
10cos A =
25sin sin sin sin a A b B c C B +-=. （1）求B 的值；
（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S .
x
y
O O
N
M
18.（本小题满分12分）
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.
（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为35
4
, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差;
（2）在（1）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,
记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ， 且,SA SC SA BD =⊥．
（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；
（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，
且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，
直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线MN 与圆O :25
1
22=+y x 相切， 证明：MON ∠为定值；
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．
（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()a
h x f x x
+=+
，求函数()h x 的单调区间；
（3）若1()a
g x x
+=-
，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，
求a 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
如图所示，AB 是圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，AC AB =，CO 交圆O 于点P ， CO 的延长线交圆O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E ．
（1）求证：
AP FA
PC AB
=
； （2）若圆O 的直径1AB =，求tan CPE ∠的值．
(23)（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；
曲线C 的方程是)4
sin(22π
θρ-=，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，
πα<≤0）
， 设(2,1)P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围．
（24）（本小题满分10）选修4一5：不等式选讲
已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈．
（1）当3a =时，解不等式()0f x >；
（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．
哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试
高三数学试题（文史类）答案
一、选择题：CCAAB DDABC CB
二、填空题： 13． π)74(- 14．3 15．223+ 16． 1->a 三、解答题：
17.解析：（1）Q sin sin sinC sin 5
a A
b B
c a B +-=
，∴2225a b c ab +-=．
∴222cos 25a b c C ab +-==．又Q A B C 、、是ABC ∆的内角，
∴sin A C ==
Q ()cos cos cos sin sin 1051052
A C A C A C +=-=-=- 又Q A
B
C 、、是ABC ∆的内角，∴0A C π<+<，
∴34A C π+=．∴()4B A C π
π=-+=．
（2）Q sin sin c b C B =，∴sin sin b
c C B
=⨯=
∴ABC ∆的面积11sin 106022S bc A ==⨯⨯= 18．解析：（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）1
3
.
19.解析：（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥． 又,,BD SA SA AC A BD ⊥⋂=∴⊥Q 平面SAC ． 又,SO SAC BD SO ⊂⊥Q 平面 ,,SA SC AO OC SO AC ==∴⊥Q
又,AC BD O SO ⋂=∴⊥Q 平面ABCD ． （2）连接OP ，
∵SB P 平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC OP =，SB OP ∴P ． 又∵O 是BD 的中点，∴P 是SD 的中点．
由题意知ABD V 为正三角形．1OD ∴=．由（1）知SO ⊥平面ABCD ，∴SO OD ⊥．
又2SD =Q ，∴在Rt SOD V 中，SO =P 到面ABCD
111
22sin120322A PCD P ACD V V --⎛⎫∴==⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭
20．解析：（1）229161x y +=；（2）2
π
=
∠MON ;
21. 解析：（1）20x y +-=；（2）当1a >-时，单调递增区间为(1,)a ++∞时，单调递减区间为(0,1)a +；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞时，无单调递减区间；（3）
21
1
e a e +≥-或2a ≤﹣.
22. 解析：（1）见解析；（2
23. 解析：
(1)||AB =分 (2)2
2
||||(14,22]PA PB +∈——————————10分
24. 解析：解：（1）当3a =时，()0f x >即|2||23|0x x --->
等价于：3210x x ⎧≤⎪⎨⎪->⎩或3
2
2
350
x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩或210x x ≤⎧⎨-+>⎩ 解得312x <≤或35
23
x <<或x ∈∅
所以原不等式的解集为：5
{|1}3
x x <<
（2）()2|2|f x x x a =---
所以()0f x <可化为|2|2x a x ->- ① 即22x a x ->-或22x a x -<-
①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +< Q (,2)x ∈-∞， ∴a ∈∅或4a ≥ 4a ∴≥。