【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：3.2.1 一元二次不等式的解法 Word版含解析

3.2一元二次不等式
第1课时一元二次不等式的解法
1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解法．(重点)
2．掌握分式不等式的解法．(重点)
3．能借助“三个二次”的关系解决与一元二次不等式有关的解集问题．)
(难点
[基础·初探]
教材整理一元二次不等式
阅读教材P75～P77练习以上的有关内容，完成下列问题．
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系
1．下列不等式中是一元二次不等式的是________．(填序号)
①(m＋1)x2－3x＋1<0；②2x2－x>2；③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)<0
【解析】③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；②是指数不等式．
【答案】③④
2．不等式x2＋x－2<0的解集为________．
【解析】令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，画出函数图象可知，当－2<x<1时，f(x)<0，从而不等式x2＋x－2<0的解集为{x|－2<x<1}．
【答案】{x|－2<x<1}
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
解下列不等式．
(1)2x 2＋5x －3<0；(2)－3x 2＋6x ≤2； (3)－x 2＋6x －10>0.
【精彩点拨】 →
【自主解答】 (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝1
2，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．用阴影描出原不等式的解，由图
可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－3<x <12.
(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0，Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋3
3，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x |x ≤
3－3
3或x ≥3＋33.
(3)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，
∵Δ＝－4<0，∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， 又∵二次项系数大于0，∴x 2－6x ＋10>0恒成立． ∴原不等式的解集为∅.
解一元二次不等式的步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
[再练一题]
1．求下列一元二次不等式的解集．
(1)x 2－5x >6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)(5－x )(x ＋1)≥0. 【解】 (1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0， ∴(x －6)(x ＋1)>0， ∴x >6或x <－1.
∴不等式的解集为{x |x >6或x <－1}． (2)∵4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2≥0，
∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
x ＝12.
(3)由(5－x )(x ＋1)≥0， 得(x －5)(x ＋1)≤0， ∴－1≤x ≤5，
∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}.
若不等式ax 2
＋5x －2>0
的解集是⎩
⎪⎨⎪⎭
⎪⎬⎪
x ⎪⎪⎪1
2<x <2
，求不等式ax 2－5x
＋a 2－1>0的解集.
【导学号：91730053】
【精彩点拨】 利用不等式解集的端点值为对应方程的根，求出a 的值，再解不等式即可．
【自主解答】 由已知条件可知a <0，且1
2，2是相应方程ax 2＋5x －2＝0的两个根，由根与系数关系得，
⎩⎪⎨⎪⎧
－5a ＝52，
－2a ＝1，
解得a ＝－2.
∴ax 2－5x ＋a 2－1>0化为2x 2＋5x －3<0， 化为(2x －1)(x ＋3)<0，
解得－3<x <1
2.
所以不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－3<x <1
2
.
“三个二次”之间的内在联系
[再练一题]
2．若不等式ax 2
＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－1
3≤x ≤2
，求不等式cx 2＋bx ＋
a <0的解集．
【解】 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1
3≤x ≤2
知a <0，
又⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13×2＝c a <0，则c >0. 又－1
3，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53， ∴b a ＝－53. 又c a ＝－23
， ∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，
∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－53a x ＋a <0，
即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，
∴2x 2＋5x －3<0，
所求不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－3<x <1
2
. [探究共研型]
探究1 “
2x －1
3x ＋1
≥0”与“(2x －1)(3x ＋1)≥0”是同解不等式吗？为什么？ 【提示】 不是．因为前者3x ＋1≠0，而后者3x ＋1可以为0. 探究2 不等式“x ＋1
x －5
>1”与不等式“x ＋1>x －5”是同解不等式吗？为什么？
【提示】 不是．因为“
x －5”的符号不定，故x ＋1
x －5>1不等价于x ＋1>x －
5.
解下列不等式． (1)x －3
x ＋2
<0； (2)
x ＋12x －3≤1；(3)2x ＋1
1－x
<0.
【精彩点拨】
【自主解答】 (1)∵
x －3
x ＋2
<0， ∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}． (2)∵
x ＋12x －3≤1，∴x ＋1
2x －3
－1≤0， ∴－x ＋42x －3
≤0，即x －4x －32
≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －32≥0且x －32≠0，
解得x <3
2或x ≥4.
∴原不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <3
2，或x ≥4
. (3)由2x ＋1
1－x <0，得x ＋12
x －1>0，
此不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12(x －1)>0，
解得x <－1
2或x >1，
∴原不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x <－1
2，或x >1
.
分式不等式的解题策略
解分式不等式要先通过移项、通分转化为以下类型再进行求解： (1)f (x )g (x )>0型，f (x )
g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； (2)
f (x )
g (x )<0型，f (x )
g (x )
<0⇔f (x )g (x )<0； (3)f (x )g (x )≥0型，f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )
g (x )≥0，g (x )≠0； (4)f (x )g (x )≤0型，f (x )g (x )≤0⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )
g (x )≤0，g (x )≠0.
[再练一题] 3．解下列不等式． (1)
x ＋21－x <0；(2)2x －1
x ＋3
≥1.
【解】 (1)由
x ＋21－x <0，得x ＋2
x －1
>0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．
(2)移项得2x －1
x ＋3
－1≥0， 整理得
x －4
x ＋3
≥0， 它的同解不等式为⎩⎨⎧
(x －4)(x ＋3)≥0，
x ＋3≠0，
∴x ≥4或x <－3.
∴原不等式的解集为{x |x <－3或x ≥4}．
[构建·体系]
1．不等式2x 2－x －1>0的解集是__________． 【解析】 ∵(2x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1
2或x >1. 【答案】 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集为__________．
【解析】 －6x 2－x ＋2≤0⇔6x 2＋x －2≥0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≥0⇔x ≤－2
3或x ≥12.
【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞
3．不等式
x ＋1
x －1
≥0的解集是__________． 【解析】 ∵⎩⎨⎧
(x ＋1)(x －1)≥0，
x －1≠0，∴x >1或x ≤－1.
【答案】 (－∞，－1]∪(1，＋∞)
4．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________.
【导学号：91730054】
【解析】 由题意可知，－7，－1是方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根， ∴(－7)×(－1)＝21
a ，∴a ＝3. 【答案】 3
5．求函数f (x )＝2x 2＋x －3＋lg(3＋2x －x 2)的定义域． 【解】 要使函数f (x )有意义，则x 满足不等式组
⎩⎨⎧
2x 2
＋x －3≥0， ①3＋2x －x 2
>0， ②
由①得x ≥1或x ≤－3
2， 由②得－1<x <3， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥1，或x ≤－32，－1<x <3，
∴1≤x <3，
∴函数f (x )的定义域为[1,3)．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为________．
【解析】 由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，
又∵a <0，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线， ∴不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}． 【答案】 {x |－1≤x ≤2}
2．不等式组⎩⎨⎧
x 2
－1<0，
x 2－3x <0
的解集为________．
【解析】 ∵x 2－1<0的解集为{x |－1<x <1}， x 2－3x <0的解集为{x |0<x <3}，
∴⎩⎨⎧
x 2
－1<0，x 2－3x <0
的解集为{x |0<x <1}． 【答案】 {x |0<x <1}
3．不等式3x －1
x －2
≤0的解集为________．
【解析】 不等式3x －1
x －2≤0等价于⎩⎨⎧
(3x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，
解得1
3≤x <2. 【答案】
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
3
≤x <2 4．下列不等式中解集为实数集R 的是__________．(填序号) ①x 2＋4x ＋4>0；②x 2>0；③x 2－x ＋1≥0；
④1x －1<1x .
【解析】 ①不等式可化为(x ＋2)2>0，∴解集为{x |x ≠－2}；②不等式解集为{x |x ≠0}；③由Δ＝1－4<0，∴不等式解集为R ；④由定义域要求x ≠0，∴解集为{x |x ≠0}．
【答案】 ③
5．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．
【解析】 由题意知，－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两实根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，
解得a ＝－6，b ＝5， ∴x 2－bx －a <0⇔x 2－5x ＋6<0⇔2<x <3.
【答案】 (2,3)
6．不等式ax x －1
<1的解集为{x |x <1或x >2}，那么a 的值为________. 【导学号：91730055】
【解析】
ax x －1<1化为ax x －1－1<0， 即(a －1)x ＋1x －1
<0， 等价于[(a －1)x ＋1](x －1)<0，
∴(a －1)x 2－(a －2)x －1<0，
∴1,2是方程(a －1)x 2－(a －2)x －1＝0的两个根．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝a －2a －1，1×2＝－1a －1，解得a ＝12.
【答案】 12
7．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于__________．
【解析】 由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，则(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2，又x 2－x 1＝15，
可得36a 2＝152
，又a >0，则a ＝52. 【答案】 52
8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是__________．
【解析】 f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为
f (x )>3.
①当x ≥0时，不等式即为
⎩⎨⎧
x 2－4x ＋6>3，x ≥0， 解得⎩
⎨⎧ x >3或x <1，x ≥0， 即x >3或0≤x <1；
②当x <0时， 不等式即为⎩
⎨⎧
x ＋6>3，x <0， 解得－3<x <0.
综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
【答案】 (－3,1)∪(3，＋∞)
二、解答题
9．解不等式x 2－3|x |＋2≤0.
【解】 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0⇔
(|x |－1)·(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2.
当x ≥0时，1≤x ≤2；
当x <0时，－2≤x ≤－1.
∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}．
10．已知函数f (x ) ＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，求实数c 的值．
【解】 由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，可知对于x 2
＋ax ＋b ＝0，有Δ＝a 2
－4b ＝0，即b ＝a 24，所以f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22，由f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c －a 2<x <c －a 2. 又不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9. [能力提升]
1．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1，或x >12，则f (10x )>0的解集为________．
【解析】 由题知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，即－1<10x <12⇒x <－lg 2.
【答案】 {x |x <－lg 2}
2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________.
【导学号：91730056】
【解析】 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )]＝－x 2
－4x ，又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0，当x ≥0时，由x 2－4x >x ，解得x >5；当x <0时，由－x 2－4x >x ，解得－5<x <0，故f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).
【答案】 (－5,0)∪(5，＋∞)
3．若不等式ax 2
＋bx ＋1>0的解集是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则ax ＋b x ≥0的解集为__________．
【解析】 由题知－13，12是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根．
∴－13×12＝1a ，－13＋12＝－b a ，∴a ＝－6，b ＝1.
把a ＝－6，b ＝1代入ax ＋b x ≥0得
－6x ＋1x ≥0，∴解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，16. 【答案】 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，16 4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
【解】 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，
(1)∵A ∩B ＝[0,3]，
∴⎩
⎨⎧ m －2＝0，m ＋2≥3， ∴⎩⎨⎧ m ＝2，m ≥1，
∴m ＝2.
(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．
∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，
∴m >5或m <－3.
故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．。