甘肃省武威市凉州区武威第一中学2021届高三数学上学期期中试题 文(含解析)

武威一中2021年秋季学期期中考试
高三年级数学（文）试卷
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1.设集合2
{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N ⋃=（ ）
A. [0,1]
B. (0,1]
C. [0,1)
D.
(,1]-∞
【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：{}
{}2
|0,1M x x x ===,{}{|lg 0}|01N x x x x =≤=<≤,所以
，故选A.
考点：集合的运算.
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2. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A. （￢p ）∨（￢q ） B. p∨（￢q ）
C. （￢p ）∧（￢q ）
D. p∨q
【答案】A 【解析】
试题分析：由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选A. 考点：复合命题的构成及运用.
【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”，因此将其已知两个命题的内容进行联系，从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.
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3.设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（ ） A. ac bc > B.
11a b
< C. 22a b > D. 33a b >
【答案】D 【解析】 当0c
时，选项A 错误；
当1,2a b ==-时，选项B 错误； 当2,2a b ==-时，选项C 错误； ∵函数3
y x =在R 上单调递增， ∴当a b >时，33a b >． 本题选择D 选项.
点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 【此处有视频，请去附件查看】
4.已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）
A.
2
B.
2
C. 2
-
D.
2
-
【答案】A 【解析】
(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为
2AB CD CD
⋅=
=，
故选A ．
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5.函数()1cos f x x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.
D.
【答案】D 【解析】
因为1
1()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是
奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 【此处有视频，请去附件查看】
6.若变量x ，y 满足约束条件22{04
x y x y x +≤+≥≤，则23z x y =+的最大值为（ ）
A. 10
B. 8
C. 5
D. 2
【答案】C 【解析】
作出可行域如图所示：
作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，
23z x y =+取得最大值，由22{
4
x y x +==得：4{
1
x y ==-，所以点A 的坐标为()4,1-，所以
()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．
考点：线性规划．
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7. 若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.
245
B.
285
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】 【
详
解
】
由
已
知
可
得
31155x y
+=，则
3194123131234(
)(34)555555555
y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C 。

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8.设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）
A. 既是奇函数又是减函数
B. 既是奇函数又是增函数
C. 是有零点的减函数
D. 是没有零点的奇函数
【答案】B 【解析】
试题分析：函数
的定义域为
，关于原点对称
，
，因此函数
是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，
故答案为B ．
考点：函数的奇偶性和单调性． 【
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9.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ） A. 1-，1 B. 2-，2
C. 3-，
3
2
D. 2-，32
【答案】C 【解析】 【分析】
利用二倍角公式可将()f x 整理为关于sin x 的二次函数形式，根据二次函数的性质可求得
最大值和最小值.
【详解】()2
2
13cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝
⎭ []sin 1,1x ∈- ∴当1
sin 2x =
时，()max 32
f x =；当sin 1x =-时，()min 3f x =- 故选：C
【点睛】本题考查与三角函数有关的二次函数最值的求解问题，关键是能够利用二倍角公式将函数化简整理为二次函数的形式，进而根据二次函数性质进行求解.
10.ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，1a =，2b =，则AD =（ )
A. 1133
a b -
B.
2233
a b - C.
33
55
a b - D.
44
55
a b - 【答案】D 【解析】
【
详解】
试题分析：由
a b ⋅=，
1a =，2
b =可知
BD =
()
144
555
BD BA AD AB a b ∴=∴==- 11.设函数()2x f x e x =+-，2
()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则
（ ）
A. ()0()g a f b <<
B. ()0()f b g a <<
C. 0()()g a f b <<
D. ()()0f b g a <<
【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：对函数()2x
f x e x =+-求导得()=1x
f x e '+，函数单调递增，
()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数2
()ln 3g x x x =+-求
导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，所以()0()g a f b <<. 考点：利用导数求函数的单调性.
【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数()2x
f x e x =+-求导得
()=10x f x e +>'，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，进一步求得函数()2x f x e x =+-的零点01a <<；同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单
调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知2
()ln 3g x x x =+-的零点1b >， 所以∴g （a ）＝lna +a 2﹣3＜g （1）＝ln 1+1﹣3＝﹣2＜0，
f （b ）＝e b +b ﹣2＞f （1）＝e +1﹣2＝e ﹣1＞0．
即()0()g a f b <<.
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12.设函数()()
2
1
ln 11f x x x
=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】
试题分析：()()
2
1
ln 11f x x x =+-+，定义域为，∵，∴函数为偶
函数，当
时，
函数单调递增，根据偶函数性质可知：得
()()21f x f x >-成立，∴
，∴
，∴的范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
故答案为
A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数
为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在
大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21f x f x >-可转化为，解绝对值不等式即可．
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二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．
13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+526c =-，则b = ． 【答案】1 【解析】
试题分析：由题意得，三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以
2(56)(56)1b ac ==+-=，解得1b =．
考点：等比中项．
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14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________
【答案】
【解析】
【详解】函数的导数为
，所以在
的切线斜率为
，所以切线方程为
，即
.
15.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21
,,36
BE BC DF DC =
=则AE AF ⋅的值为 ． 【答案】
29
18
【解析】 在等腰梯形
ABCD
中,由
AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得
12AD BC ⋅=
,1AB AD ⋅=,1
2
DC AB =,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.考点：平面向量的数量积. 【此处有视频，请去附件查看】
16.当[]
2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是____． 【答案】[6,2]-- 【解析】
试题分析：不等式32430ax x x -++≥变形为3243ax x x ≥--．当0x =时，03≥-，故
实数a 的取值范围是R ；当(0,1]x ∈时，2343x x x a x --≥，记23
43()x x x
f x x
--=，
244
89(9)(1)
()0x x x x f x x x -++--+==>'，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x x a x --≤，记23
43()x x x
f x x
--=，令()0f x '=，得1x =-或9x =（舍去），当(2,1)x ∈--时，()0f x '<；当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，故min ()(1)2f x f =-=-，则2a ≤-．综上所述，实数的取值范围是[6,2]--． 考点：利用导数求函数的极值和最值．
三、解答题：本题6小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知等差数列{}n a 的公差d =1，前n 项和为n S . (I)若131,,a a 成等比数列，求1a ； (II)若5191S a a a >，求的取值范围。

【答案】(I) 11a =-或12a =；(II)152a -<< 【解析】
【详解】（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2
111(2)a a =⨯+， 即
，解得11a =-或12a =．
（2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，
所以2
1115108a a a +>+；
即2
113100a a +-<，解得152a -<<
18.已知向量a )
3,cos x x =
，b ()cos ,cos x x =，()2f x =·a b 1-．
（1）求函数()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程； （2）当[
]
0,x π∈时，若()1f x =-，求x 的值． 【答案】（1）2[,],Z 6
3k k k π
πππ++
∈；26k x ππ=+（2）56
x π
= 【解析】
试题分析：（1）根据向量的数量积公式可得：()2f x =2cos cos )x x x +1-和并用
三角公式进行化简可得：()f x =
2cos 2x x +2sin(2)6
x π
=+
，联想到三角函数的图
象，并运用整体思想和数形结合的方法可求出它的单调递减区间：
2[,],Z 63k k k π
π
ππ+
+
∈，再根据图象对称轴的特征可求得：令
26226
k x k x πππππ+=+⇒=+即为函数()f x 的对称轴方程为；（2）对于前面所求的三角
函数由：()1f x =-，即为1
sin(2)62
x π+=-，又由题中所给范围
[]130,2[,]666
x x πππ
π∈⇒+∈；
72662x x πππ+=⇒=
1152666x x πππ+=⇒=
（注：Z k ∈漏写扣1分）
试题解析：（1）()2f x =2cos cos )x x x +1-2cos2x x +
2sin(2)6
x π
=+
3222262k x k ππ
πππ+
≤+
≤+
263
k x k ππππ⇒+≤≤+，
即函数()f x 的单调递减区间2[,],Z 63
k k k ππ
ππ++
∈ 令26226
k x k x ππππ
π+=+⇒=
+， 即函数()f x 的对称轴方程为,Z 26k x k ππ
=
+∈ （2）()1f x =-，即1
2sin(2)1sin(2)662
x x ππ+=-⇒+=-
[]130,2[,]666
x x πππ
π∈⇒+∈；
72662x x πππ+=⇒=
1152666x x πππ+=⇒=
（注：Z k ∈漏写扣1分）
19.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}
n a 通项公式；
（2）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
【答案】（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【解析】
（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
由已知得()()1114
{3615
a d a d a d +=+++=， 解得13{
1
a d ==．
所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n
n b n =+．
所以()()()()
2
3
10
12310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++
()
()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
(
)()10
2121101012
2
-+⨯=
+-
()
112255=-+ 112532101=+=．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 【此处有视频，请去附件查看】
20.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
,3m a b =与
()cos ,sin n =A B 平行．
（Ⅰ）求A
； （Ⅱ）若a =
2b =求C ∆AB 的面积．
【答案】（Ⅰ）3π
； 【解析】
【详解】试题分析：（1）根据平面向量//m n ，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.
试题解析：（1）因为向量()
,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行，
所以0asinB ＝，
由正弦定理得sinAsinB －0sinBcosA ＝，
又sin 0B ≠，从而tanA 0<A<π，所以A ＝
3
π
.
（2）由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bccosA ，而a ，b ＝2，A ＝3
π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为
12bcsinA ＝2
. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 【此处有视频，请去附件查看】
21.已知函数2
3
2()(0),3
f x x ax a x R =-
>∈ （1）求()f x 的单调区间和极值；
（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围
【答案】(1)()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a
+∞，当0x =时，()f x 取极小值0，当1x a
=
时，()f x 取极大值213a ， (2)33[,].42
【解析】
试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R ，再求导数
2()22(0).f x x ax a ->'=在定义域下求导函数的零点：0x =或1
x a
=
，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即()f x 的单调增区间是1(0,)a
，单调减
区间是(,0)-∞和1
(,)a +∞，当0x =时，()f x 取极小值0，当1x a
=
时，()f x 取极大值213a ，
(2)本题首先要正确转化：“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得
12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系.设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集
合1
{
|(1,),()0},()
B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于0B ∉，所以0A ∉,因此
322a ≤，又A B ⊆，所以(1)0f ≥，即33.42
a ≤≤ 解(1)由已知有2
()22(0).f x x ax a ->'=令()0f x '=，解得0x =或1x
=，列表如下：
所以()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a
+∞，当0x =时，()f x 取
极小值0，当1x a
=
时，()f x 取极大值213a ，(2)由3
(0)()02f f a ==及（1）知，当3(0,
)2x a ∈时，()0f x >，当3
(,)2x a
∈+∞时，()0.f x <设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1
{
|(1,),()0},()
B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉. 下面分三种情况讨论： 当
322a >即304a <<时，由3
()02f a
=可知0A ∈而0B ∉，所以A 不是B 的子集
当3122a ≤
≤即33
42
a ≤≤时，有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上
取值范围包含(,0)-∞，所以A B ⊆
当
312a <即3
2
a >时，有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减，故1
(
,0)(1)
B f =,(,(2))A f =-∞
,所以A 不是B 的子集 综上，a 的取值范围为33
[,].42
考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域 【此处有视频，请去附件查看】
22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{
sin ,
x t C y t αα==（t 为参数,且0t ≠）,其中0απ≤<
,在以O
为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin
,:.C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,
求AB 最大值. 【答案】（Ⅰ）()30,0,,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）4. 【解析】
（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为22
20x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为
220x y +-=．联立2
2
2220,{0,
x y y x y +-=+-=解得0,{0,x y ==或{3,
2
x y =
=所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)22
． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标
为(2sin ,)αα，B 的极坐标为
．所以
2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56
π
α=时，AB 取得最大值，最大值为4．
考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．。