叶邦角-5-2

B
=
−
µ0 4π
m r3
+
µ0 4π
3(m ⋅ r )r r5
不一定是圆形电流，可以是任意形状的闭合电流
S = ∫∫ dS = 1 ∫ r '× dr '
S
2
θ aF
I
θ F
b a
B F
=
µ0 I 4a
B F
=
µ0 Ia 2b 2
B 0
=
?
3
[例]载流螺线管轴线上的磁场，单位长度上的匝数为n。
Bx
•
于是，穿过以Z为轴的任一环形管内任
意截面的磁通量为常量，与截面在管中的位
置以及取向无关。
对于任一封闭曲面S，上述环形管每穿过S一次， 均会在S上切出两个面元∆S1、∆S2，其磁通量
⋅ ⋅ B1 ∆S1 + B2 ∆S2 = −B∆S + B∆S = 0
对曲面S上，任一面元，都可作一个环形管，且 可找到S上的另一个面元与之对应。
L’为电流环路，Idl’为元电流，P’为源点 L为积分环路，dl为积分元，P为场点；
r为源点到场点的矢量，r’为场点到源点的矢量， 显然：
r = −r ,
∫ B ⋅ dl
=
µ0 4π
Idl '×r L' r3
⋅ dl
∵ (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅b
∫ ∫ ∴
[例]半径为a的圆形电流I，在轴线上距离 为x的P点的磁场。
磁场的方向
2
[解]由于对称性，x轴上P点处的磁感应强度只有x 分量，其余分量互相抵消，
Bx = ∫ dBcosθ x = r sinθ
dB =
µ0 4π
Idl r2
sin
φ
,
φ=π 2
∫ ∫ Bx
=
µ0 4π
Idl x2
sin
2
θ
cosθ
4π L'
4π
P点沿dl的移动与P不动，载流回路L’作一-dl平移 是等价的。ω为带状面对P点所张的立体角。
设Ω1，Ω2分别为平移前后L’闭曲面对P点所张 的立体角，则：
ω = Ω2 − Ω1 = dΩ
代入上式，有：
∴ B ⋅ dl = µ0I dΩ 4π
∫ ∫ B ⋅ dl = µ0I dΩ
L
4π L
L
S
∴ ∇× B = µ0 j
静电场： 有源无旋 稳恒磁场： 无源有旋
稳恒电流磁场的基本方程式
积分形式：
∫∫ B
S
∫B⋅
L
⋅ dS = 0 dl = µ0
∑
k
I
k
微分形式：
∇ ⋅ B = 0 ∇ × B = µ0 j
[例]一圆形的直导线，截面半径R，电流I均 匀地流过导体的截面，求导线内外的磁 场分布。
∫∫ B ⋅ dS = ∫∫(∑ Bi ) ⋅ dS = ∑ ∫∫ Bi ⋅ dS = 0
S
Si
iS
高斯定理表明磁场是无源场，或自然界不存 在磁荷。
∫∫ B ⋅ dS = 0
S
磁场处处无源。
∇⋅B =0
三.安培环路定理
安培环路定理：沿任何闭合曲线L磁感应强度的 环流等于穿过L的电流强度的代数和的µ0倍，即
多个电流回路，可用磁感应强度的叠加原理，即：
B = ∑ Bi
i
∫ B ⋅ dl = ∫ (∑ Bi ) ⋅ dl = ∑ ∫ Bi ⋅ dl = ∑ µ0 Ii
L
Li
iL
i
对电流求和仅对被L套连的电流强度。
微分形式：
∫ B ⋅ dl = µ0 ∫∫ j ⋅ dS
L
S
∵ ∫ B ⋅ dS = ∫∫(∇ × B) ⋅ dS
i
i
即 B = ∑ Bi 或 B = ∫ dB
i
L
I0dli
I0dl2 I0dl1
2.毕奥－萨伐尔定律
线电流中的一段电流元Idl
L
在I0dl0处产生的磁场为dB
dF = I0dl0 × dB
dB
I0dl0
R
Idl
由安培定律：
dF
= µ0 4π
I0dl0
×
Idl × R3
R
=
I 0 dl0
×
(
µ0 4π
=
µ0 2
(a2
a2I + x2)3/2
Z处圆电流Indz在Z1处 产生的磁感应强度
[ ] dB = µ0 2
Inr02dz r02 + (z1 − z)2 3/ 2
∵
r02 + (z1 − z)2
= R = r0 sin β
,
z1 − z = R cos β ,
∵ z1 − z = r0ctgβ ,
分三种情况讨论：
L 1
:
从A变至A'点：∫
dΩ
=
2π
−
( −2π
)
=
4π
L
L
2
: 从B'变至B点：∫ dΩ
L
=
(−2π ) −
2π
=
−4π
L
3
:
从C变至C点：
∫
L
dΩ
=
0
8
综上所述，有：
∫ B ⋅ dl
L
=
0−µ0µI0
, I， ，
(L与I同方向，右手法则确定） ( L与I反方向） （ L与L’不套连）
∫ B ⋅dl = ± µ0ΣI
L
物理意义：反映了磁场的“有旋性”。
I的正负根据回路L的绕行方向按右 手定则规定。在设定了L绕行方向 后，采用右手定则，四指沿L方向， 则电流方向与大姆指一致时取正， 反之取负。
[证明]因为任何磁场都是由一些稳恒闭合线电
流产生的，只要证明对其中任一稳恒线闭合电 流I和任一闭合回线L满足：
同上理，这两个面元的磁通量之和为零。
故，穿过S的总磁通：
∫∫ B⋅d S = 0
S
证毕。
讨论：
对任意的载流回路，磁力线管的截面一般是 不均匀的。
∫∫ B1 ⋅ dS1 =∫∫ B2 ⋅ dS2
S1
S2
B1∆S1 = B2∆S2
B1 = ∆S2 B2 ∆S1
6
磁场的高斯定理对线电流、面电流和体电流产 生的磁场均成立，因为磁场服从叠加原理。
[解]空管的存在使电流分布失 去对称性，采用“填补法” 将空管部分等效于同时存在 电流密度为j和-j的电流，因 二空间任一点的电场由二个 圆柱形长直导线的磁场叠加 而成。
B
=
B 1
+
B 2
a R Pb r d
I
10
由安培环路定理，有：
B 1
=
1 2
µ Rj, 0
B 2
=
1 2
µ rj, 0
注意到两者的方向，有
dz
=
r0
dβ sin2 β
∫ ∫ [ ] ∫ B =
dB =
l
µ0 2 2 −l2
Inr02dz r02 + (z1 − z)2
3/2
=
µ0nI 2
β2
sin βdβ
β1
=
µ0nI 2
(cos β1
− cos β2 )
若l>>r0, z1在不靠近边缘的很大区域内均有：
cos β1 = 1, cos β2 = −1
2. 磁通量
⋅ 定义： B ∆S ≡ ∆Φ B
称磁通量，或说是垂直通过的磁感应线 根数。进一步，可引入通过某曲面S的磁 通量：
ΦΒ = ∫∫ B ⋅d S
S
磁通量的单位为韦伯(Wb),1Wb=1T/m2磁通 量也和一样满足叠加原理。
5
二、高斯定理
高斯定理：通过任意闭合曲面S的磁 通量等于零，即:
∫∫ B ⋅d S = 0
∫ B⋅dl
0, =
L
µ0 I ,
( I 不穿过L） ( I 正向穿过L）
则按照叠加原理，安培环路定理便成立。
1.矢量及立体角：
C = A×B
数值等于以A和B为邻 边的平行四边形面积， 故可改写为：
S = A×B
立体角：
dΩ
=
dS r2
封闭曲面对曲面内任一点所张的立体角为4π， 对曲面外任一点所张的立体角为0。
§5-2 磁场与毕奥－萨伐尔定律
安培定律
一、 磁感应强度
电流之间的作用也不是超距作用，它也是通过 场来传递的。
电流
磁场
电流
稳恒磁场：稳恒电流产生的磁场，其空间变化 不随时间改变：
∂B ∂t
=
0
试探电流元： I0dl ，引入不改变空间的磁场分 布，类似于试探点电荷，但困难是并不存在这样 的电流元。
磁感应强度B：反映磁场本身的特性的物理量， 磁场是矢量场。本应称磁场强度，由于历史的原 理，被另一个物理量H长期占用。
Idl × R3
R
)
比较得到：
dB
=
µ0 4π
Idl
×
R R3
or
dB
=
µ 0
4π
Idl
×
e R
R2
1
同理可得到体电流分布和面电流分布 所产生的磁感应强度：
dB
=
µ0 4π
idS × R R3
dB = µ0 4π
jdV × R R3
由叠加原理，有：
∫ B = µ0
4π L
Idl × R R3
[例]无限长直线电流I，在 距 I 为 r0 处 一 点 P1 的 磁 场 。
=
µ0 4π
I sin2 θ cosθ x2
dl
∵ cosθ = a , sinθ = x , ∫ dl = 2πa
a2 + x2
a2 + x2
Bx
=
µ0 2
(a2
a2I + x2 )3/2
or
B x
=
µ0 2π
m r3
[讨论]
圆心处：x = 0,
B x
=
µ0 2
I a
无限远处，x >> a,
B=
µ0 Ia 2 2 x3
ddFF00
= =
I0dl qE,
×
B,
(试探电流元在磁场中） (试探点电荷在电场中）
B的单位：牛顿/（安培米），或特斯拉(T)， 1 T=104 Gauss
二、毕奥－萨伐尔定律
1.磁场叠加原理
L
dF
i 0
=
I dl 0
×
B i
,
(i= 1,2,3,⋯,n) I0d = I0dl × Bi = I0dl × B
[解]
∫ ∫ B =
A2
dB =
A1
µ0 4π
A2 Idl sin φ
A1
r2
l = −r0ctgφ,
dl
=
r0dφ sin2 φ
∫ B
=
µ0 4π
φ2 φ1
I sinφdφ r0
=
µ0I 4πr0
(cosφ1 − cosφ2 )
对无限长直导线，
φ1 = 0, φ2 = π
所以， 有：
B = µ0I 2πr0
Ω1 − Ω2 + ω = 0
ω = Ω2 − Ω1 = ∆Ω
7
2.当P点从曲面S的正面绕到反面时，立体角的变化。
3. 证明
当P点无限接近正面时，所张的立体角为-2π； 当P’点从反面无限接近曲面时，所张的立体角为2π；
故当P点从正面绕L一周变到反面P’点时，立体角 变化为：
Ω2 − Ω1 = 2π − (−2π ) = 4π
∴ B = µ0nI 为均匀磁场 在两个端点处，cos β1 = 1(or 0), cos β2 = 0(or 1)
B = µ0nI 2
磁场减半，半无限长
4
§5-3 磁场的高斯定理和 环路定理
一、磁感应线与磁通量
1. 磁感应线
定义：磁感应线即磁场空间中一些有方向的 曲线，其上每点的切线方向与该点的磁感应 强度方向一致。
[解]由于电流分布的对称性，两边等距离处的磁 感应强度大小相等，方向相反。作矩形环路， 如图，则
∫ B ⋅ dl =2B∆l = µ0i∆l
L
∆L
∴
B
=
1 2
µ
0
i
[例]求无限长螺线管内外的磁感应强度。设电流 强度为I，单位长度的匝数为n。
[解]作如图所示的积分回路，由对称性，管外B=0，管内B 为常数：
∫ B ⋅ dl = BL = µ0nIL
L
60°
B = µ0nI
I O
2l
ab
B 0
=
µ0
jl ln
b a
+ +
b2 + l2 a2 + l2
B = µ0nI
[例]在半径为a的圆柱形长直导线中挖有一个半径 为b的空管部分（a>2b），两轴线平行，相距为 d，当电流仍均匀分布在管的截面上且电流为I时， 求空管内的磁感应强度。
B ⋅ dl
=
µ0I 4π
L'
(dl
× dl r3
')⋅r
=
−
µ0I 4π
[dl
L'
'×(−dl r3
)]⋅ r '
令 dS = dl '×(−dl )
[ ] 则
dl
'×(−dl r3
)
⋅r'
=
dS ⋅ r ' r '3
=
dS0 r'2
=
dω
dS0为dS在垂直于r’平面上的投影。
∫ ∴ B ⋅ dl = − µ0I dω = − µ0I ω
[解]根据对称性，可以判定磁感应强度B的大小 只与观察点到园柱体轴线的距离有关，方向 沿圆周的切线。
∫ B ⋅ dl
L
= 2πrB =
µ0
I πr πR 2
2
当r<R时，有：
B
=
µ0 2π
I R2
r
当r>R时，有：
∫ B ⋅ dl
=
2πrB
=
µI 0
L
B
=
µ0 2π
I r
9
µ0i
0
µ0i
[例]电流均匀地通过无限长的平面导体薄板，求两 边的磁感应强度。
B2
=
B2 1
+
B2 2
−
2B B 12
cosα
=
µ R2 2 0
j2
+
µ r2 2 0
j2
−
2
µ2 0
Rrj
2
R2
+
r2
− d2
4
4
4
2Rr
B=
µ0d 2
j=
µ0 Id 2π (a2 − b2 )
方向与两轴线连线垂直，为一均匀场。
[例]一同轴电缆，中心是半径 为a的圆柱形导线，外部是由 内半径为b，外半径为c的圆
S
物理意义：反映了磁场的“无源性”， 即孤立磁荷不可能存在。