2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案(12)

2021年普通高等学校招生全国统一测试 数
学〔理科〕
考前须知：
L 答焦前,先将自己的姓名、准考证号、用场多准确的填写在做题R 上,并认真核准条形码上 的姓
名、准为证号、老场号、座位号及科目,在规定位置贴上条形码.
2 .选择题的作骞：由小题逃出答案后.请用用2B 铅靶把做题卡上对应题目的答案称号濠黑.如 果
需曼改动.用橡皮热擦干净后,再选涂箕他答案标号,写在本被卷上无效电
3 .中途择题的作答：用黑色处字笆直接答在落黑LL 对应的做题区域内,写在本试卷L 无效立
4 .本式时卷共23翅,全总总分值150分,用法时间为120分仲.
5 .测试结束后,将本试卷和省题K 一并收回.
、选择题〔此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.〕
2 2
1 .双曲线xr 与1 〔a 0,b 0〕的左,右焦点分别为F i, F 2,点A 为双曲线右支上 a b
1
2 .函数f 〔x 〕 x 1 2 ax 的图象在x -处的切线与直线x 2y 0垂直.执行如图所小的程 2
序框图,假设输出的k 的值为15,那么判断框中t 的值可以为〔〕
1 .......................... 、,
BF 2,且BF 1 1|AF 2| ,那么该双曲线的离心率为〔〕
3
点,线段AF i 交左支于点B .假设AF 2 A. .2
c 35
C. ------
D. 3
5
r r
A.直线a /b,b /6,那么a /类推出：向量vpb,b Pv,那么v/ / v
B.同一平面内,直线a,b,c ,假设a c, b c ,那么a/ b.类推出：空间中,直线a,b,c ,假设 a c, b c ,贝U a /b
C.实数a,b,假设方程x 2 ax b 0有实数根,那么a 2 4b.类推出：复数a,b,假设方程
x 2 ax b 0有实数根,那么a 2 4b
半径的球的方程为x 2 y 2 z 2 r 2
4.数据1, 2, 3, 4, x(0 x 5)的平均数与中位数相等,从这 5个数中任取2个,那么 这2个数字之积大于5的概率
为()
1,又复数z 对应的点为Z , A( 1,0)与B(0,1)为定点,那么
函数f(z) (z 1)(z i)取最大值时在复平面上以 彳,A, B 三点为顶点的图形是()
A.等边三角形
B.直角三角形 C 等腰直角三角形
D.等腰三角形
2
6.一个三棱锥的三视图如以下图所小,其中俯视图是顶角为
X 的等腰三角形,那么该三棱 3
锥外接球的外表积为()
D. 16 17
D.以点0,0为圆心,r 为半径的圆的方程为x 2
y 2 r 2.类推出：以点0,0,0为球心,「为
A.
B. C.
D. 7_
10
5.设复数z 的共腕复数是Z ,且z
3.下面使用类比推理正确的选项是(
角,的顶点都为坐标原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合,且都为第一象限的角,
1 ,一一 ,,一
B 〔2,b 〕,且 2 ,那么一b 的最小值为〔〕 a
A. B . C. .3 D. 2
C.
D. 17
()
B. 4ab 2( a b) 3ab
C. 2ab 3(a b)
4ab
D. 2ab 3(a b) 4ab
8. 某数列的前n 项和S n 3 〔a 为非零实数〕,那么此数列为〔〕
A. 等比数列
B.从第二项起成等比数列
C. 当a 1时为等比数列
D.从第二项起的等比数列或等差数列
9. 终边上分别有点A 〔1,a 〕, 10.设函数f Inx
x 0,y 0 使得f
y 0
yc 那么a 的取值范围是〔〕
4ab 2(a b) 3ab A. 那
2e x 3
a R ,假设曲线y
〔e 是自然对数的底数〕上存在点
e 1
r
1〕,那么当max c a,c b 取最小值时,c 〔〕
8. 2_1
3
3 ,1 D. 0, e
A. ,0
B.
0,e C. 11 .记 max a, b
a,a b, a 1,
12.假
设
定义=
/我八门叼
A.
C
.
1 3
-2刁口〔.,11
r L c a b(,
C. 1
二、填空题〔此题共4小题,每题5分,共20分.〕
2
13 .点A、B为椭圆C:土y2 1的左、右顶点,点M为x轴上一点,过M作x轴的垂
4
S BMN
线交椭圆C于P、Q两点,过M作AP的垂线交BQ于点N ,那么^—_____________________ .
S BMQ
14 .三棱锥P ABC, AB BC,AB 3,BC 2 ,且PB 272, PA /1, PC 4, Q 为底面
ABC内部及边界上的动点,那么PQ与底面ABC所成角正切俏白^取值范围是 .
r . r 1 …
15 .设数列a n的首项a1 1且刖n项和为S n.向量a 15,b a n 1,-,酒足
r r ,•-
a bi n im S n .
16 .如图,正方形小戊'.的边长为1, E在CD延长线上,且= 动点口从点小出发沿正
方形/BCD的边按逆时针方向运动一周回到4点,其中丽=疝? +山市,那么以下命题正确的
①no,.；
②当点尸为何.中点时,4+川=1;
③假设大十^ = 2,那么点?有且只有一个；
④I + »的最大值为W；
⑤乔,注:的最大值为|1.
三、解做题〔共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个考题考上都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.〕
〔一〕必考题：共60分.
17 .如图,圆O： x2 y2 4和点A 6,8 ,由圆O外一点P向圆O引切线PQ , Q为切点,且有PQ| |PA.
(1)求点P的轨迹方程,并说明点P的轨迹是什么样的几何图形？
(2)求PQ的最小值；
(3)以P为圆心作圆,使它与圆.有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.
18 .在直三棱柱ABC ABC中,AA BC 2 , AB AC 242 ,过BC的截面与面AB1C1
交于EF .
(1)求证：EF// BC .
(2)假设截面过点A ,求证：面AEF .
(3)在(2)的条件下,求V A i EFA .
2
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 2.
3
【解析】
【分析】
(1)由三棱柱ABC AB1C1结构特征,证得BC//面ABC/再由线面平行的性质定理,即可得到BC//EF ;
(2)取EF的中点O ,连接AO和AO ,得到AO EF ,再由勾股定理,证得A1O AO ,利用线面垂直的判定定理,即可得到A1O 面AEF ,进而得到面AEF .
(3)由V A EFA V E A1AO V F A1AO 2V E A1AO , 即可求得三棱锥的体积.
【详解】
(1)由题意,在直三棱柱ABC AB1C1中,可得BC〃B1g,所以BC//面ABG,
又二BC 面,I 面ABC EF ,
由线面平行的性质定理,可得 BC//EF .
(2)取EF 的中点O ,连接AO 和AO ,
;截面过点A ,,截面即为面A i BC ,
E 、
F 分别为RA, AC i 中点,即AE AF,
又丁.为EF 中点,AO EF , 在 RtzXAOE 中,AE 73, EO
「• zXAi OA 为直角三角形,即AO
i i - - - AO AO EO
3 2
212
2 2
1 3
【点睛】
面位置关系的判定定理和性质定理,以及合理利用体积转换求解是解答的关键,着重考查了 转化思想,以及推理与计算水平,主要中档试题.
19.
抛物线x 2 4y ,过原点作斜率为i 的直线交抛物线于第一象限内一点P i ,又过点P i 作斜 一,1 ...................................................... , ,i ................................................ . ,
率为1的直线交抛物线于点P 2,再过P 2作斜率为」的直线交抛物线于点E, L ,如此继
2 4
的直线交抛物线于点P n 1 ,设点PnU.y n ) .
(2)令b n X 2ni X 2ni,求证：数列｛b n ｝是等比数歹I 」；
(3)记P 奇(X 奇,丫奇)为点列PH 尸2〃,的极限点,求点 &的坐标.
20.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园 .为到达社会和经济效益双丰收. 园林公司进行如下设
同理,AO J2,在^A i OA 中,
_ 2
_ 2
2 AO AO AA
i
4,
又; A i O
EF ,「• AO 面 AEF , 面 AEF . (3)由(2)可得AO 面 AEF ,所以 A i O AO ,
又由AO EO,且AO
EO ,可得 EO 面 AA i O ,
i _ _
且 E EO -B i C i i ,
又由 V A EFA
V
E A i AO
V F
2V 2
A i AO
Z1V E A i AO
乙
此题主要考查了线面位置关系的判定与证实,
以及三棱锥的体积的计算,其中解答中熟记线
计,安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中ABD区域种植花木后出售, BCD区域种植草皮后出售,草皮每平方米售价为a
元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍 .假设BC 6km, AD CD 4km
(1)假设BD 2「7km,求绿化区域的面积；
(2)设BCD ,当取何值时,园林公司的总销售金额最大.
21 .f (x) =-^__7是定义在［—1, 1］上的奇函数,试判断它的单调性(说明理x - bx— 1
由).
(二)选考题：共10分,请考生在22、23题中任选一道题作答.如果多做,那么按所做的第
一题计分. 2 2
22 .A, B分别是椭圆—L 1的右端点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求ABC 36 9
的重心G的轨迹的普通方程.
23 .［选彳4-1 :几何证实选讲］
如图,AB是圆O的直径,弦BD , CA的延长线相交于点E, EF垂直BA的延长线于点F.
求证：AB2BE BD AE AC .
【参考答案】
、选择题(此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.)
1. B
解析：B 【解析】 【分析】
、一
1
............ ,一一 ,,…一、一.
设BE| §|AF 2|二m,由定义得BF 2 m 2a,AB 2m 2a,在二角形AB F 2中由勾股定理,求得
2a
m=_a 在B F 1F 2中运用余弦定理即可求解. 3
【详解】
、一
1
............ ........... 一
设BF i - AF 2 =m,,由双曲线定义得BF 2 m 2a,又A F , AF ? 3
_ 2
2
_2
一
BF 2, A AB BF 2 AF 2,即 2m 2a
2 2
2a 8a 2
三 了
i 曰 65
—3 3 解得 e=
c 2a 8a , 5
2 ———
3 3
应选:
B.
此题考查双曲线定义,简单几何性质,熟记双曲线定义,熟练解三角形正确运算是关键,是 难题.
2. B
解析：B 【解析】 【分析】
1
先由函数f(x) x 2 ax 的图象在x -处的切线与直线x 2y 0垂直求出a 1 ,然后可得
【详解】
1
. 、 1
f (x) 2x a,那么y f(x)的图象在x -处的切线斜率k f (2) 1 a,
2a,所以
AB=2m+2a Q AF 2
2
2 5
m 2a 3m ,解
2 BF 2 4 m
= a, cos ABF 2
-
cos F 1BF 2
3
AB
5
1 - f(k) k
1 1
即得 S (1 -)(- 3)L
1
1 ,,
(
k 1),然后可得出t
1
由于切线与直线X 2y 0垂直,那么有(-)(1 a) 1,那么a 1,
~ ,
1 1 1
所以 S (1 1) (1 1) L
2 2 3
故总共循环了 15次, 一 1
1 1 此时 S (1 1)
(1 1) L 2
2 3
应选：B
【点睛】 此题考查的知识点有：导数的几何意义、两直线的位置关系、数列的求和及程序框图,属于 综合题.
3. D
解析：D 【解析】
试题分析：依据类比推理的思维模式可知答案 D 是使用类比推理所得正确结论的,所以应选
D.
考点：推理及类比推理的运用.
4. B
解析：B 【解析】
分析：由题意首先求得实数x 的值,然后列出所有可能的结果,从中挑选满足题意的结果结 合古典概型计算公式即可求得最终结果.
1 2 3 4 x x
详解：由数据1, 2, 3, 4, x (0<x<5)的平均数 ----------------------- 2 - 2,3 ,
5 5
可得2+x =x,所以x=5,从这5个数中任取2个,结果有: 5
2
所以f (x) x 2
1
X x(x 1),所以府
1 1
(11八由于输出的k 的值为15 ,
(--)-,故t 的值可以为-.
15 16
16 15
5 5 一
2,3 , 2,4 , —,3 , —,4 , 3,4 ,共5 种, 2 2
一一一 ,,一、 , 5 1
所以所求概率为p --.
10 2
此题选择B选项.
点睛：有关古典概型的概率问题,关键是正确求出根本领件总数和所求事件包含的根本领件
数.〔1〕根本领件总数较少时,用列举法把所有根本领件一一列出时,要做到不重复、不遗
漏,可借助“树状图〞列举.〔2〕注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.
5. D
解析：D
【解析】
【分析】
假设z cos isin ,根据模长公式构造关于f z的函数,从而可确定当f z取最大值时, 的取值,从而求得z ；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长,从而可确
定三角形形状.
【详解】
Q|z 1
z 1
2 cos
cos
可设z cos i sin
i sin sin
cos
cos
1 i sin cos i sin
icos cos i sin i
cos sin 1
・・・2 ,
isin cos sin sin
f z 当sin 即当此时z
—2
ZA AB2cos sin 2
1 cos sin
2 1 . 2sin 一
4 1时,f z取最大值
—2k , k 2 Z,即—2k
4
,k Z 时,f z 取最大值
ZB
'ZA ZB ,且ZA2 'ZB 2 | AB 2
该图形为等腰三角形
此题正确选项：D
【点睛】
此题考查复数模长的应用和求解、复数的几何意义 .关键在于能够根据z的模长将z假设为
z cos isin ,从而可利用三角函数的知识确定f z的最大值,根据复数几何意义可确定z对应的点的坐标,进而可求得三角形的各个边长.
6. A
解析：A
【解析】
由三视图可知,该三棱锥是以俯视图为底面,一条长为2的侧棱为局,将其补成三棱柱,三
棱柱的外接球即是三棱锥的外接球,设球心为 .,底面三角形外接圆圆心为O',那么
2巧4
OO' 1 ,再根据正弦定理可得底面三角形外接圆直径是73 ,外接圆半径O'A 2,球半
2
径OA忑―4 75,球的外表积4 店 20 ,应选
A.
【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象水平和抽象思维水平,
属于难题.三视图问题是考查学生空间想象水平最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将
其“译〞成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相
等〞,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响^
7. B
解析：B
【解析】
【分析】
.............. .......................... 11 3
由对数的换底公式可以得出---,2,通分再结合不等式的性质ab<0,求出a b的不等a b 2
关系.
【详解】
由于a log o.i2 , b log-o2 ,
…、, 1 1 , ~ , 八 3 c
所以ab 0, ——log 2 0-1 log230 log 23 - ,2
a b 2
3 1 1
所以3—— 2,所以4ab 2ab 3ab ,所以选
2 a b
8.
【点睛】
此题考查了对数的换底公式和不等式的性质,解题的关键在于得出ab<0,属于中档题.
8. D
解析：D
【解析】
【分析】
设数列a n的前n项和为运用数列的递推式：当n 1时,& S ,当n 2时,
a n & S n1,结合等差数列和等比数列的定义和通项公式,即可得到所求结论.
【详解】
设数列a n的前n项和为S n,对任意的n N , S n a n 3 〔a为非零实数〕.
当n 1 时,a〔S a 3；
当n 2 时,a n S n S n1 a n 3 a n 1 3 a n a n 1 a 1 a n 1.
2,n 1 .
假设a 1,那么a n , ,此时,该数列是从第二项起的等差数列；
0,n 2
n 1 a … a 1 a n
右a 1 且a 0, a〔a 3不满足a n a 1 a ,当n 2 时, --------------------- n-1 a ,
a n a 1 a
此时,该数列是从第二项起的等比数列.
综上所述,此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.
应选：
D.
【点睛】
此题考查数列的递推式的运用,等差数列和等比数列的定义和通项公式,考查分类讨论思想
和运算水平,属于中档题.
9. C
解析：C 【解析】 【分析】
2 ,得到tan tan 2
,代入坐标可得a 」b»,所以4 b
4 b 5
a
等式可求出最小值 【详解】 由得,tan
当且仅当工3b, b 2后时,取等号. b 4 3
【点睛】
10. C
解析：C
lnx
x 得f x x 在0,e 上有斛,即a —, x 0,e ,由于 x
【解析】由于 V .
x 1
2e x 0
e 2x 0 e
2e x .1 2e%
e, y 0
x 1 2e
x 0
e 2x 0 e
0,所以f f x x 在0,e 上有解
由于f 1 lnx x 2-
x
1 x
2 2 x
7 4
一 0,〔易证x lnx 1〕,所以函数f x 在
13b 一 ..
-史,利用根本不
b 4
2 ,所以 tan tan 2
所以a
4b b 2 b 2
4b
此题考查三角函数正切的应用,根本不等式的应用,
考查转化水平和计算水平,属于中档题
0,
上单调递增,因此由
3b
1 3b 2
b 4
V 3,
r r j
,c b a b b 4
4(1 ),由于
点睛：此题设置的目的旨在考查向量的乘法运算法那么、向量模的概念及求法、向量的数量积 公式等根底知识和根本方法的综合运用,同时也检查函数思想、建模思想及数形结合与化归
r
转化的数学思想.求解时先算出得c a a 2 a b
4
,
,4(1 )
{“. 、
5
,然后再求其最小值,最后求向 4(1 )
4
,
5
一 r 4 r 1 r 〞 量c —a —b 及模.
5
5
12. B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意 一 121fl 2 2
1
1 Q L 1
3
所以乂 uE
-54工 <5 2 {x|0 < x<l} = yT|--<x<^ ；,
1 3
Ac 8 =3x -- <x < — }n [r I 0 <
1] = [r I 0 < x< 1]
所以八8 =国,€百口30咫八询」一5川八1/) 考点：新定义及集合的根本运算. 【名师点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系 时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,此题实质求
\Axlt = (x\X EAU B _QxeAnB}即是集合A 或B 的元素,但不是集合A,集合B 共有的元素,
r max c
b,c
4
4
4
4- 4 '
5
4 ,4(1 ) {4(1 )
5,由于 0W W1,所以当 0 1时,
5
一 r r r r
4 ,
1,故max c b,c b 的取小值为一,此时
5
1 r 4 r 1 r 一 r
一,贝ij c -a —b ,故 c 5 5 5
8
ab
25
1
b 2 25
管,应选答案A.
r 由题设可得c a
a 2
a b
r r r r r 2 ,c b a b b
4 4(1 ),
r / r .r 再译建立函数max c b,c b
般要在数轴上表示出来,形象直观,一定要注意端点值,看是否包括,是易错点.
二、填空题〔此题共4小题,每题5分,共20分.〕
13.【解析】【分析】设点那么写出直线和的方程联立这两条直线的方程求出点的坐标即可得出的值【详解】如以下图所示设那么由题设知且直线的斜率直线斜率直线的方程为直线的方程为联立解得又点在椭圆上得又故答案为：【点睛】
-―一4
解析：4
5
【解析】
【分析】
设点P m,n ,那么M m,0 , Q m, n ,写出直线MN和BQ的方程,联立这两条直线的方
S BMN
程,求出点N的坐标,即可得出--的值.
S BMQ
【详解】
如以下图所示,设P m,n ,那么M m,0 , Q m,
由题设知m 2且n 0 ,直线AP的斜率k AP六,直线MN斜率不
直线MN的方程为m ,直线BQ的方程为y
y 联立
y
m 2
------ x
n
n
x 2
2 m
解得Y
N
又点P在椭圆C上,得4n2, Y N
又S BMN -BM
2 Y N
S BMN
S BMQ
【点睛】
此题考查椭圆中三角形的面积比的计算,解题的关键就是要求出点的坐标,同时也要注意点 的坐标满足椭圆方程,结合等式进行计算,考查运算求解水平,属于中等题
.
14.【解析】【分析】利用空间向量确定 P 的坐标再利用法向量求解线面角【详解】以所在 直线分别为轴建立
空间直角坐标系那么设由得解得故设那么且满足底面的一个法向量可设为 设直线与底面所成的角为那么结合的范围可得所以 解析：［」5,-6］ 5 【解析】
【分析】 利用空间向量确定P 的坐标,再利用法向量求解线面角
【详解】 以BA,BC 所在直线分别为x,y 轴,建立空间直角坐标系,那么 B(0,0,0) A(3,0,0), C(0,2,0),设
2 2
2
x y z 8
2
2
2
P(x,y,z),由得(x 3)
y z 11 2
_ 2
2
x
(y 2)
z
16
解得 x 1,y
1,z 而,故 P(1, 1,76).设 Q(x,y,0),那么 Puv (x 1,y 1,J6),且 x,y 满足
2x 3y 6 0
x 0 ,底面ABC 的一个法向量可设为n (0,0,1),设直线PQ 与底面ABC 所成的角 y 0
、6 __ —
/ ° ,结合x, y 的氾围可得
,(x 1)2 (y 1)2 6
sin ［至吗,所以正切值为号而 7 4
5
【点睛】
此题主要考查线面角的求解.利用运动的观点求解线面角的变化,法向量是一种有效的工具
15.【解析】【分析】利用向量的垂直关系可知其数量积为 0进而可得出数列是以首项公比
为的等比数列由于公比的绝对值小于 1即可求出【详解】解：由题意•・・・・・・・・即数列是以首项 公比为的等比数列.•・故答案为：【点睛】此题的 一一 2 解析：一.
3
【解析】
为,贝^ sin
uuv
PQ n
uuuv
PQ n
【分析】
1
利用向量的垂直关系,可知其数量积为 0,进而可得出数列a n 是以首项a i 1,公比为 万 的等比数列,由于公比的绝对值小于 1,即可求出. 【详解】 r r r r
解：由题思,- a b , • . a b 0 ,
1 • • a n 1
— a n . 2
1
即数列a n 是以首项a 1 1,公比为 的等比数列,
•. nim S n
故答案为:
【点睛】 此题的考点是数列的极限,主要考查无穷等比数列的求和问题,关键是利用向量的垂直关系 得出数列是无穷等比数列,进而再求和.
16.①②④⑤【解析】试题分析：不妨设正方形的边长为
1建立如下图的坐标系(1)那么B
(10) E (-11 )故 AB= (10) AE== (-11 ) AP=X AB+仙 AE=(入-小小)由图像可知 X >0^ >0
故①正确； 解析：①②④⑤
【解析】 试题分析：不妨设正方形的边长为1,建立如下图的坐标系,
(1)贝U B (1, 0) , E (-1 , 1),故 AB= (1, 0) , AE== (-1 , 1),
Q=痴丽=工-在同,由图像可知故①正确；(2)当点P 为八B 中点时,
1 1 _1 1
丽二(°5), "d + "前=5-"/),所以®5)=(A -H M,解得'贝用+/=1,故②正确;
(3)当人=1,仙=1时,AP= (1, 1),此时点P 与D 重合,满足 入+仙=2,
故满足入+仙=2的点不唯一,故③错误;
,此时点P 为BC 的中点,满足
入+ [1 =2,
(4)当 PC AB 时,有 0W X - ^<1,
==0,可得00入0 1,故有00入+叱< 1,
当PC BC 时,有人-仙=1, 0< < 1,所以
00入-101,故10入0 2,故10入+仙<3,
1 1
尸£时,AP= (1, 2)
当PC CD 时,有00入-N&1, = =1,所以00入-101,故10入02,故20入+仙<3, 当PC AD 时,有 人-仙=0, 0< < 1,所以00入0 1,故00入+仙<2, 综上可得00入+仙<3,故④正确,
(5) AP AL = AAH AE + M 产刊诟卜 |石］ + 川前产=_ A + 2^,
当PC AB 时,有0W 人-/1, = =0,可得0W-入W1,故有-10-2+2口00,
当 PC BC 时,有 人-仙=1, 0< < 1, 0< 2^<2,所以 00入-101,故 10 入0 2, -2<- 入0 -1
故-2W-入+2仙< 1,
当PC CD 时,有00入-仙&1, = =1,所以00入-101,故10入0 2, -2W -人0-1 ,故-
K 2+ 2口00,
当PC AD 时,有 人-仙=0, 0< < 1,所以00入0 1, -10 -入0 0,故00 -入+2仙< 1, 综上可得-2W-入+2仙< 1,故⑤正确.
考点：向量加减的几何意义,向量的线性运算性质及几何意义.
三、解做题(共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 17-21题为必考 题,每个考题考上都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题：共60分
3 13 24
17. (1) 3x 4y 26 0,轨迹是斜率为 3 ,在y 轴上的截距为13的直线,(2)今
4
2
5
【解析】 【分析】
(1)设点P x,y ,根据PQ | |PA ,列式化简即可得解
(2)由|PQ | |PA 可知,|PQ 的最小值即为点A 到直线3x 4y 26 0的距离；
⑶结合圆的性质可知,OP 与直线3x 4y 26 0垂直,且圆P 与圆O 相切时,半径最小,据此 求解即可. 【详解】
⑴设点P 的坐标为x,y ,
2
2
T — 2
— 2 . 2 2
PA V x 6 y8,PQ OP 4 x y 4,
由题意有x 6 2 y 8 2 x 2 y 2 4,整理为：3x 4y 26 0,
(3)
78 25
104 2 256 25 25
故点P的轨迹方程为3x 4y 26 0,
点P的轨迹是斜率为 6 7 8,在y轴上的截距为—的直线；
4 2
(2)由|PQ |PA和⑴ 可知,
PQ的最小值即为点A到直线3x 4y 26 0的距离,
故其最小值为18 32：6 24 -
.32 42
(3)由圆的性质可知,当直线OP与直线3x 4y 26 0垂直时,
以此时的点P为圆心,且与圆O相外切的圆即为所求,
4
此时OP的方程为y -x,
3
78
【点睛】
定的分析和计算水平,属于中档题.
18 .无
4 8 16
19 . (1) -1; (2) bn /；(3)
4 3 9
【解析】
【分析】
1 .....................
(1)根据,可得P I(4,4),直线P2P1的万程为y 4 3 x 4 ,联立抛物线可得
1
⑷2,1),直线P2P3的万程为y 1 — x 2 ,
4
1 2、x3 X I 3 4 1； (2)由于P n(x n,—x n ),
4
6 2
1 X n 1 X n 1 4
到T ------------------------ 4 X n 1 x n . , { X n
8 X n 1 X n 2 2
_ 0
联立抛物线方程可得月.吁),故
1 2................. .... 人一 ,_ P^1(X n1,2X n12),由抛物线的方程和斜率公式得
4
联立方程y 3x ,解得
3x 4y 26 1254,即P(78 104
25' 25
), 25
又点O到直线3x 4y 26
0的距离为空,可得所求圆的半径为 " 2 5 516
故所求圆的标准方程为
2
78 104 256 25 25 25
此题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,综合运用了直线与圆的各项性质,需要学生有一
8 ……… 4 . 2n ,两式相减得X n 1 X n 1 1,所以b n
8
所以x 奇 lim x 2n 1 一
是等比数列,通项公式为b n
4 4n ,
.一 ,、一 一. 8
4 一
〔3〕由累加法容易得到X 2n 1 83,故 3 3 4
8 1 2 19
场水仁以 8 16 X 奇lim X 2n 1 - , y 奇 7X 奇
d ,故坐标为-,--
3 4 9
3 9
【详解】 试题解析: 1〕直线OR 的方程为y
x 2 4y./n
x
,由｛
"解彳导p (4,4),
y x
1
一 1
直线P 2P 1的方程为y4— x4,即y -x 2 2 2
x 2 4y 由｛ 1 得弘2,1), y x 2 2 .................. .... 1 1 3 直线P 2P 3的万程为y 1 — x 2 ,即y —x — 4 4 2 x 2
4y 由｛ 1 y 4x 所以 x 3 x 1 3 4 1 . P n 1(
x 由抛物线的方程和斜率公式得到 2 2
1 x n 1 x n 1 v
n x n 1 4 x n 1 x n 2
4 x n — 2n 一, 8 .. ........... . 所以x n x n 1 2n ,两式相减得A 1 x n 4 2n 4 用 2n 代换 n 得 b n x 2n 1 x 2n 1 —, 4n 由〔
1〕知,当n 1时,上式成立, 所以b n 是等比数列,通项公式为b n (3)由 x 2n 1 x
2n 1 4 /曰 厂寸,
4
x 3 x
1
4,
x
5
x
3
x
2n 1
以上各式相加得x 2n 1
8 4
- ---------- . 3 3 4n
19
n 3
即点p 奇的坐标为3,196
2
......... ............................
20. (1)绿化区域的面积为8阴km 2； (2)当 一时,园林公司的销售金额最大,最大
3
为36®a 百万元. 【解析】 【分析】
(1)假设BD 21km,可得C,进而求出AB ,即可求绿化区域的面积(2)设 BCD ,求 出园林公司的总销售金额,
利用导数可得结论 【详解】
(1)在 BCD 中,BD 2",BC 6,CD 4,
由于 BCD 0 ,180 ,所以 BCD 60, 又由于A 、B 、C 、D 共圆,所以 BAD 120 .
在 ABD 中,由余弦定理得 BD 2 AB 2 AD 2 2AB?ADcos BAD , 将AD 4, BD 2"代入化简得AB 2 4AB 12 0, 解得
AB 2 (AB 6舍去).
1
1
所以 S ABCD S VABD S VBCD - 2 4s in 120 - 4 6s in 60
8.3
2
2
即绿化空间的面积为8.3 km 2
(2)在 BCD 、 ABD 中分别利用余弦定理得 BD 2 62 42 2 6 4cos ①
2
_ 2
2
—
—
BD AB 4
2 4ABcos -②
联立①②消去BD 得AB 2 8cos 供B 48cos 36 0,得
AB 6 AB 8cos 6 0,解得 AB 6 8cos 由于AB 0,所以6 8cos 0,即cos
a 元,那么花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元.
由余弦定理得,
cos BCD
BC 2 CD 2 BD 2
62
42
2 /7 2
2BC?CD
AB 6舍去)
C 1 ..
S ACD AB ADsin 2 1 - c
6 8cos 2 4sin 12sin 16sin cos
c 1 〞…. S BCD - BC CD sin
2
- 6 4sin 12sin 2
由于草皮每平方米售价为
y f 3a 12sin 16sin cos 12asin 48a sin sin cos
c
2
.
2
c
c 2
)
48a cos cos sin 48a 2cos cos 1
1
3 3 令y 0 ,斛得 一 cos 1 ,又cos 不妨设cos 0 -,
2 4
4
— _ , . , 2 ......... ..... ..
那么函数f 在0,— 上为增函数；
/
- 1 . .. .2
令y 0,斛得cos -,那么函数f 在工, 上为减函数, 2
3
所以当 “时,f max 36信.
3
max
答：〔1〕绿化区域的面积为873 km 2; 〔2〕当 为3673a 百万元. 【点睛】
此题主要考查了利用数学知识解决实际问题,利用导数求最值,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.
21. /［幻为［-1』上的增函数.
【解析】
试题分析：根据奇函数的定义
〔工〕可求得白方的值.也可用特殊值法如
".〕=.1〔-1〕 = -〃1〕|求得$方的值.在定义区间上任取再也,并规定大小如内?吃.再用作 差法比拟西］JIM 〕的大小.根据单调性的定义即可判断此函数的单调性.
X + 口
试题解析：解;于二/+乐」1是定义在［-U ］上的奇函数, -Aa I I
「♦ 4» = 0', Z
9 Y| =；TT7. ・•・函数在|［-L 〕上为增函数 任取可4与Ml,
9 一闲通 >0|.
48a 2cos 1 cos 1 时,园林公司的销售金额最大,最大
Q+d
0J
+0+l
=0, 又/7-1) = 一/(1) •.
■ / -11
所占［当一揖〕+西一七 〔西一%〕〔1-jq 均〕
〔x,10 + l 〕〔^ + l 〕—-区+叭天+1〕
苞一与vQTCl 占<1,
• ・ 1一的与 >0.
「• ABC 的重心G 的轨迹的普通方程为(x 2) (y 1)2 1 (x 2且x 4). 4 【点睛】
此题考查椭圆参数方程的应用,参数方程与普通方程的互化
.
23.见解析.
【解析】
试题分析：先由圆的割
/㈤C/㈤,
・•.〃毛〕为［-1』上的增函数. 考点：1函数的奇偶性；2单调性的定义.
【方法点睛】此题主要考查奇函数的定义和单调性的定义,属容易题.奇函数均满足 〃一6=-八* 且0在其定义域内那么必有/⑼=0.用单调性的定义证实单调性的步骤一般 为:1取值并规定大小；2作差/〔再〕T3l 变形,3讨论定号,得,〔再〕/三〕|的大小,4结 论.
〔二〕选考题：共10分,请考生在22、23题中任选一道题作答.如果多做,那么按所做的第 -题计分.
2
22. 〔x ―〕- 〔y 1〕2 1 〔x 2且 x 4〕 4
【解析】 【分析】
先求参数方程,再化为普通方程. 【详解】
由动点C 在椭圆上运动,可设点C 的坐标为〔6cos ,3sin 〕, 设点G 的坐标为〔x,y 〕,由题意可知点A 〔6,0〕 ,
B 〔0,3〕.
6 0 6cos x ---
3 0 3 3sin
2
由此消去得一〔
y 1〕
2 1.
又点C 与A, B 不重合,x 2且x 4,
4 的通+玉一瓯〞画一巧
一_〔V+i 〕〔^+i 〕
由重心坐标公式可知
2 2cos
1 sin
线定理得到BD BE BA BF ,再由相似三角形得到
AB AF AE AC ,进而得到结果.
解析：
连结AD ,由于AB为圆的直径,所以AD BD,又EF AB ,那么A, D,E,F四点共圆,所以BD BE BA BF .
又4 ABCsz\ AEF ,所以胆殷即AB AF AE AC , AE AF ' '
「• BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB2.
1,2,1,5,1,3,1,4,
5
2,2,2,3,2,4,
5,3,2,4, 3,4
共10种,这2个数字之积大于5的结果有:。