信号与线性系统实验报告

连续信号与系统的复频域分析及MATLAB实现
一、实验目的
1、掌握MATLAB 实现连续时间信号拉普拉斯变换及逆变换的方法。

2、掌握MATLAB 绘制拉普拉斯变换的三维曲面图，并分析复频域特性和时移特性。

二、实验原理及知识要点
1、连续时间非周期信号的拉普拉斯变换及逆变换（laplace( )及ilaplace( )函数）；
2、拉普拉斯变换的数值算法；
3、绘制拉普拉斯变换的三维曲面图（meshgrid()及mesh()函数）
三、实验软件： MATLAB软件
四、实验内容及实验记录
12.1 利用MATLAB的laplace函数，求下列信号的拉普拉斯变换。

（1）
syms t;
F=(1-exp(-0.5*t))*Heaviside(t);
L=laplace(F)
运行的结果为：
L =
1/s-1/(s+1/2)
12.2 利用MATLAB的ilaplace函数，求下列像函数F(s)的拉普拉斯逆变换。

（1）syms s;
L=(s+1)/(s*(s+2)*(s+3));
F=ilaplace(L)
运行的结果：
F =
1/6+1/2*exp(-2*t)-2/3*exp(-3*t)
12.3 利用MATLAB的residue函数求12.2题中（1）小题的拉普拉斯逆变换，并与ilaplace函数的计算结果进行比较。

（1）a=[1 1];
b=[1 5 6 0];
[k,p,c]=residue(a,b)
运行的结果为：
k =
-0.6667
0.5000
0.1667
p =
-3.0000
-2.0000
c =
[]
由上述程序的运行结果知，F(s)有三个单实极点，
部分分式展开结果：
F(s)=(-2/3)/(s+3)+0.5/(s+2)+(1/6)/s
则拉普拉斯逆变换：
f(t)=(-2/3e^(-3t)+0.5e^(-2t)+1/6)u(t)
用residue函数求出的结果与用ilaplace函数求出的结果是一样的。

只是后者简单点。

12.4 试用MATLAB绘出下列信号拉普拉斯变换的三维曲面图，并通过三维曲面图观察分析信号的幅频特性。

（4）f(t)=exp(-t)*cos(pi*t/2)*u(t)
其对应的拉氏变换为：
（1）
syms t;
F=exp(-t)*cos(pi/2*t);
L=laplace(F)
L =
(s + 1)/((s + 1)^2 + pi^2/4)
曲面图及代码为：
x=-1:0.08:0.2;
y=-2:0.08:2;
[x,y]=meshgrid(x,y);
s=x+i*y;
F=abs(4./pi.^2.*(s+1)./(4.*(s+1).^2./pi.^2+1));
mesh(x,y,F);
surf(x,y,F)
colormap(hsv);
title('单边指数信号拉普拉斯变换幅度曲面图');
xlabel('实轴')
ylabel('虚轴')
由该曲面可直观看出，曲面图中有两个峰点位置P1,2=-1±pi/2,这正是单边余弦信号cos(t)*u(t)的拉普拉斯变换曲面图沿S平面实轴方向平移-1的结果。

12.6 试用MATLAB分别绘出单位阶跃信号u（t）及其时间平移信号u(t-t0)的时域波形和拉普拉斯变换三维曲面图，交互式地改变t0的大小，观察分析拉普拉斯变换的时移特性。

t0=0;
t=-2:0.001:60;
y=Heaviside(t);
subplot(2,3,1);
plot(t,y,'b');
set(gca,'color',[1 1 1]);
set(gca,'XColor',[0 0 0]);
set(gca,'YColor',[0 0 0]);
set(gca,'ZColor',[0 0 0]);
title('u(t)的时域波形','Color',[0 0 0]);
axis([-2,60,-0.2,2]);
b=[0 1];
a=[1 0];
subplot(2,3,2);
lapulas1(b,a,t0);
title('拉氏变换幅度曲面图','Color',[0 0 0]);
subplot(2,3,3);
lapulas2(b,a,t0);
title('u(t)拉氏变换相位曲面图','Color',[0 0
0]); hold on
t0=input('请输入信号尺度变换因子t0:')
subplot(2,3,4);
t=-8:0.001:60;
y=Heaviside(t-t0);
plot(t,y,'b');
axis([-8,60,-0.2,2]);
title(' u(t-t0)的时域波形','color',[0 0 0]);
hold on
subplot(2,3,5);
lapulas1(b,a,t0); title('u(t-t0)的拉氏变换曲面图','Color',[0 0
0]);
hold on
subplot(2,3,6);
lapulas2(b,a,t0); title('u(t-t0)拉氏变换相位曲面图','Color',[0 0 0]); 当输入t0=6时，由上述的波形图知信号在时间轴的平移后，其幅度曲面图按指数规律改变，，
而相位曲面图则发生线性改变。

12.7 已知连续时间信号f(t)=exp(-2*t)*u(t).
(1)求f （t ）的拉普拉斯变换F （s ）及傅里叶变换F(jw):
syms t w;
f=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)');
L=laplace(f)
F=fourier(f)
L =
1/(s + 2)
F =
1/(w*i + 2)
（1） 用MATLAB 分别绘出上述信号的拉普拉斯变换幅度曲面图|F(s)|和振幅频谱曲线
|F(jw)|；
其波形和代码如下：
w=-20:0.1:20;
Fw=1./(w*i + 2);
plot(w,abs(Fw))
title('傅里叶变换（幅度频谱曲线）')
xlabel('频率')
pause
clf; -20-15-10-50
510152000.05
0.1
0.15
0.20.250.30.350.40.450.5傅里叶变换（幅度频谱曲线）
频率 024-20-100102000.10.20.30.40.5拉普拉斯变换幅度曲面图
a=-0:0.1:5;
b=-20:0.1:20;
[a,b]=meshgrid(a,b);
c=a+i*b;
c=1./(c + 2);
c=abs(c);
mesh(a,b,c);
surf(a,b,c); view(-60,20) axis([-0,5,-20,20,0,0.5]); title('拉普拉斯变换幅度曲面图'); colormap(hsv); （3）观察比较信号振幅频谱曲线与拉普拉斯变换幅度曲面图在虚轴上的剖面曲线的关系，分析
频域与复频域的对应关系与规律。

通过上述两图的拉氏变换的虚轴剖面与幅度频谱曲线的对比分析知，幅度频谱曲线是在拉氏变换F(s)的曲面图
中当令s=jw 所得，即F(jw)=F(s)|s=jw 12.8 已知连续时间系统的系统函数H （s ）分别如下：
（4）H(s)=(s^2-4)/(s^2+4)
(1)利用MATLAB 绘出系统的零、极点分布图，判断系统的稳定性；
num=[1 0 -4];
den=[1 0 4];
H=tf(num,den);
pzmap(H)
[p,z]=pzmap(H)
运行结果为：
p =
0 + 2.0000i
0 - 2.0000i z =
2.0000
-2.0000
由分布图观察知，系统有位于虚轴上的一
对共轭虚极点，故该系统不满足系统稳定
的复频域条件，是不稳定系统。

(1) 求出系统的冲击响应h(t)并绘出其时
域波形。

系统的冲击响应为：
syms s;
H(s)=(s^2-4)/(s^2+4);
f=ifourier(H(s)
运行结果为：
f =
-(4*pi*heaviside(-x)*exp(2*x) - 2*pi*exp(-2*x)*dirac(x) - 2*pi*exp(2*x)*dirac(x) + (pi*exp(-2*x)*dirac(x, 1))/2 - (pi*exp(2*x)*dirac(x, 1))/2 + 4*pi*exp(-2*x)*heaviside(x))/(2*pi) -2-1.5-1-0.500.51 1.52-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5P ole-Zero M ap Real Axis (seconds -1)
I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1
)050100150200250-5-4
-3
-2
-1
12345Impulse Response Time (seconds)A m p l i t u d e
其对应的时域波形及代码如下：
num=[1 0 -4];
den=[1 0 4];
impulse(num,den);
五、实验分析及实验小结
1.编程时遇到函数源代码不存在导致无法显示结果。

解决办法：从书上找到源代码手动输入保存为脚本文件。

2.编程时还有图形参数设置不当，导致图形显示有问题。

解决办法：不断调试范围，直到显示正常。

2、实验参数对显示图形结果有重要影响，若参数不合适，图形结果不能表达出函特点，甚至不正确。

3.实验结果与理论计算值相吻合。