人教版高中数学课件：8.4双曲线的几何性质
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x a
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
离
心
率
渐
进
线
B1
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程：
x a
2 2
y b
2 2
1
双曲线性质： 1、 范围： x≥a或x≤-a 2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0） 4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
32
9x y
2
2
81
x y
2
2
4
x
2
y
2
1
49
25
8 2
2b
6
18
4
4 |y|≥2
10
14 |y|≥5 (0,±5)
4
范 围
|x|≥
4 2
2 ,0
|x|≥3 (±3,0)
顶
点
4
e 3
(0,±2)
焦 点
离 心 率 渐 近 线
6 ,0
2 2
3
e
x
10 , 0
0 , 2 2
e 2
0 ,
e
74
74 5
10
y
2 4
y=±3x
x y
x
7 5
y
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. Y 证明:(1)设已知双曲线的方程是:
A
B
C
D
二、填空题
二、填空题
二、填空题:
二、填空题:
小结（注意研究方法）：
1．范围
2．对称性 3．顶点，实轴 、虚轴 4．渐近线 5．离心率 作业 课本习题8.4第2（1）（2）（4），第4 题
1
双曲线性质：
a
F2 B2
1、范围： y≥a或y≤-a 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称 3、顶点: B （0，-a），B （0，a） 1 2 4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
x
A1
A2
X
o
B1
5、渐近线方程： a 6、离心率： e=c/a
y b
0
F2
例题1:求双曲线 9 x 16 y 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率，渐近线方程。
x
Y
B2
X
A1 A2
5、渐近线方程： a 6、离心率： e=
c a
y b
0
B1
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、范围： x≥a 或 x a
x a
2 2
y b
2 2
1
Y
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0） 4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
2 2
解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 4 3 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
2 2
y 4
2 2
x 3
2 2
1
离心率:
e
c a
5 4
渐近线方程:
x
3 4
y, 即 y
4 3
x
练习题1:填表
标准方程
2a
x Байду номын сангаас8y
2 2
双曲线的几何性质
高二数学第8章第4节
秦皇岛市职业技术学校 李天乐
椭圆的图形与几何性质
标 准 方 程
范 围
x a
2 2
y b
2 2
1
|x|a,|y|≤b
关于x,y轴, 原点对称
对称性
顶点 焦 点
对称轴
(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 e= x=
c a
a
2
离心率
x
X
A1 A2
5、渐近线方程： 6、离心率： e=
c a
y b
0
a
B1
双曲线图形(2)
Y F2 A2
y a
2 2
x b
2 2
1
标 准 方 程
范
围
对 称 性
顶
点
焦 点
对 称 轴
B1
O A1
B2
X
离 心 率
渐 进 线
F1
双曲线的图形与几何性质(2)
双曲线标准方程：
y
2 2
Y
x b
2 2
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
离
心
率
渐
进
线
B1
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程：
x a
2 2
y b
2 2
1
双曲线性质： 1、 范围： x≥a或x≤-a 2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0） 4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
32
9x y
2
2
81
x y
2
2
4
x
2
y
2
1
49
25
8 2
2b
6
18
4
4 |y|≥2
10
14 |y|≥5 (0,±5)
4
范 围
|x|≥
4 2
2 ,0
|x|≥3 (±3,0)
顶
点
4
e 3
(0,±2)
焦 点
离 心 率 渐 近 线
6 ,0
2 2
3
e
x
10 , 0
0 , 2 2
e 2
0 ,
e
74
74 5
10
y
2 4
y=±3x
x y
x
7 5
y
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. Y 证明:(1)设已知双曲线的方程是:
A
B
C
D
二、填空题
二、填空题
二、填空题:
二、填空题:
小结（注意研究方法）：
1．范围
2．对称性 3．顶点，实轴 、虚轴 4．渐近线 5．离心率 作业 课本习题8.4第2（1）（2）（4），第4 题
1
双曲线性质：
a
F2 B2
1、范围： y≥a或y≤-a 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称 3、顶点: B （0，-a），B （0，a） 1 2 4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
x
A1
A2
X
o
B1
5、渐近线方程： a 6、离心率： e=c/a
y b
0
F2
例题1:求双曲线 9 x 16 y 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率，渐近线方程。
x
Y
B2
X
A1 A2
5、渐近线方程： a 6、离心率： e=
c a
y b
0
B1
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、范围： x≥a 或 x a
x a
2 2
y b
2 2
1
Y
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0） 4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
2 2
解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 4 3 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
2 2
y 4
2 2
x 3
2 2
1
离心率:
e
c a
5 4
渐近线方程:
x
3 4
y, 即 y
4 3
x
练习题1:填表
标准方程
2a
x Байду номын сангаас8y
2 2
双曲线的几何性质
高二数学第8章第4节
秦皇岛市职业技术学校 李天乐
椭圆的图形与几何性质
标 准 方 程
范 围
x a
2 2
y b
2 2
1
|x|a,|y|≤b
关于x,y轴, 原点对称
对称性
顶点 焦 点
对称轴
(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 e= x=
c a
a
2
离心率
x
X
A1 A2
5、渐近线方程： 6、离心率： e=
c a
y b
0
a
B1
双曲线图形(2)
Y F2 A2
y a
2 2
x b
2 2
1
标 准 方 程
范
围
对 称 性
顶
点
焦 点
对 称 轴
B1
O A1
B2
X
离 心 率
渐 进 线
F1
双曲线的图形与几何性质(2)
双曲线标准方程：
y
2 2
Y
x b
2 2