2017秋人教A版高中数学必修四练习：学业质量标准检测2 含解析 精品

第二章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是导学号 14434912( D ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →
＝0 C ．0·AB →＝0
D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →
是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →
＝0.
2．已知点P ，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足P A →＋PC →＝0,2QA →＋QB →＋QC →
＝BC →，若|PQ →|＝λ|BC →
|，则正实数λ＝导学号 14434913( A )
A ．12
B ．13
C ．1
D ．14
[解析] 满足P A →＋PC →
＝0，∴点P 是线段AC 的中点． ∵2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，
∴2QA →＝QC →－QB →－QC →－QB →＝2BQ →， ∴点Q 是线段AB 的中点， ∵|PQ →|＝λ|BC →|， ∴λ＝12
.
3．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是导学号 14434914( D ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－b
D ．|a |＝|b |
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．
4．如右图，a －b 等于导学号 14434915( C ) A ．2e 1－4e 2 B ．－4e 1－2e 2 C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2
[解析] a －b ＝e 1－3e 2.
5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →
＝导学号 14434916( D )
A ．12A
B →＋12AD →
B ．－12AB →－12AD →
C ．－12AB →＋12
AD →
D ．12AB →－12
AD
[解析] EF →＝12DB →＝12
(AB →－AD →)．
6．(λ1a |a |＋λ1b |b |)·(λ2a |a |－λ2b
|b |)等于导学号 14434917( A )
A ．0
B ．λ1＋λ2
C ．λ1－λ2
D ．λ1λ2
[解析] ∵a
|a |
＝a 0.(a 0为a 的单位向量)．
∴原式即(λ1a 0＋λ1b 0)(λ2a 0－λ2b 0)＝λ1·λ2(a 20－b 2
0)＝0.
7．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →
方向上的投影为导学号 14434918( A )
A ．322
B ．3152
C ．－322
D ．－3152
[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →
＝10＋5＝15.
|CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →
方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →
〉＝AB →·CD →|CD →|
＝1552＝322，故选A ．
8．已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线应满足的条件是导学号 14434919( D )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
[解析] A ，B ，C 三点共线即存在实数k ，使得AB →＝kAC →
，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，所以有λa ＝k a ，b ＝kμb ，即λ＝k,1＝kμ，得λμ＝1.
9．设a 、b 是两个非零向量导学号 14434920( C ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb
D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb .如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．
10．(山东高考)已知非零向量m 、n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝1
3.若n ⊥(t m ＋n )，则
实数t 的值为导学号 14434921( B )
A ．4
B ．－4
C ．94
D ．－94
[解析] 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，则t m·n ＋n 2
＝0，所以t ＝－n 2
m·n ＝－
n 2
|m|·|n |cos 〈m ，n 〉
＝－
|n|2
|m|×|n|×
13
＝－3×|n||m|＝－3×4
3
＝－4.故选B ． 11．(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M 、N 满足BM →
＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝导学号 14434922( C )
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
[解析] 选择AB →，AD →为基向量．∵BM →＝3MC →，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →
，
又DN →＝2NC →，∴NM →＝NC →＋CM →＝13AB →－14AD →，于是AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝14(4AB
→
＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148
(16|AB →|2－9|AD →
|2)＝9，故选C ．
12．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →2，则点O 一定为△ABC 的导学号 14434923( D )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
[解析] ∵OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2， ∴OA →2－OB →2＝CA →2－BC →2，
∴(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝(CA →＋BC →)·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →)＝BA →·(CA →－BC →)， ∴BA →·(OA →＋OB →－CA →＋BC →)＝0， ∴BA →·(OA →＋AC →＋OC →)＝0， ∴BA →·OC →＝0， ∴BA →⊥OC →.
同理可得：CA →⊥OB →，CB →⊥OA →
. ∴O 为△ABC 的垂心． 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是__A 、B 、D __.导学号 14434924
[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →
.
14．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.导学号 14434925
[解析] 由于a ⊥b ，由此画出以a ，b 为邻边的矩形ABCD ，如图所示，其中，AD →
＝a ，AB →＝b ，∵a ＋b ＋c ＝0，∴CA →＝c ，BD →
＝a －b .
∵(a －b )⊥c ，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD 为正方形． ∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
15．若对n 个向量a 1，a 2，…，a n 存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1a 1
＋k 2a 2＋…＋k n a n ＝0成立，则称向量a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能说明a 1＝(1,2)，a 2＝(1，－1)，a 3＝(2,10)“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3依次可以取__－4,2,1__(写出一组数值即可，不必考虑所有情况).导学号 14434926
[解析] 由k 1a 1＋k 2a 2＋k 3a 3＝0得
⎩⎪⎨⎪
⎧
k 1＋k 2＋2k 3＝0，2k 1－k 2＋10k 3
＝0⇒k 1＝－4k 3，k 2＝2k 3， 令k 3＝c (c ≠0)，则k 1＝－4c ，k 2＝2c .
16．(2017天津理科)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为 311
.导学号 14434927
[解析] 由题意，知|AB →|＝3，|AC →
|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，
AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，
∴AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2
＝
λ－23×3－13×32＋2λ
3
×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311
. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1).导学号 14434928 (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．
[解析] (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向． a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2 当x ＝1
2时，a 、b 同向．
∴x >－2且x ≠1
2
(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝7
2
或x ＝－2.
18．(本题满分12分)如图，∠AOB ＝π
3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，
且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点.导学号 14434929
(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →
. (2)求向量MN →
的模．
[解析] (1)A 1A 2→＝A 1M →＋MN →＋NA 2→ ①，B 1B 2→＝B 1M →＋MN →＋NB 2→
② ①＋②将A 1A 2→＋B 1B 2→＝2MN →，所以MN →＝12
(A 1A 2→＋B 1B 2→
)；
(2)|MN →|2＝14(A 1A 2→2＋2A 1A 2→·B 1B 2→＋B 1B 2→
2)＝14(1＋2×1×2×cos π3＋4)＝74.
∴|MN →
|＝72
.
19．(本题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2).导学号 14434930
(1)若|b |＝25，且a ∥b ，求b 的坐标．
(2)若|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 的夹角θ. [解析] (1)设b ＝(x ，y )， 因为a ∥b ，所以y ＝2x ①
又因为|b |＝25，所以x 2＋y 2＝20 ② 由①②联立，
解得b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)． (2)由已知(2a ＋c )⊥(4a －3c )， (2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a·c ＝0， 又|a |＝5，|c |＝10，
解得a·c ＝5，
所以cos θ＝a·c |a||c|＝22，θ∈[0，π]，
所以a 与c 的夹角θ＝π
4
.
20．(本题满分12分)已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时.导学号 14434931
(1)求t 的值；
(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．
[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |
cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．
∴当t ＝－|a |
|b |cos θ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.
(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·2
2
－
22·|a ||b |
·|b |2
＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立． 21．(本题满分12分)在△ABC 中，设BC →·CA →＝CA →·AB →
.导学号 14434932 (1)求证：△ABC 为等腰三角形；
(2)若|BA →＋BC →|＝2，且B ∈[π3，2π3]，求BA →·BC →的取值范围．
[解析] (1)证明：∵BC →·CA →＝CA →·AB →
， ∴CA →·(BC →－AB →)＝0.
又AB →＋BC →＋CA →＝0则CA →＝－(AB →＋BC →)， ∴－(AB →＋BC →)·(BC →－AB →)＝0. ∴AB →2－BC →
2＝0， ∴|AB →|2＝|BC →|2.
∴|AB →|＝|BC →
|，即△ABC 为等腰三角形． (2)解：∵B ∈[π3，2π3]，∴cos B ∈[－12，1
2]．
设|AB →|＝|BC →
|＝a .
∵|BA →＋BC →|＝2，∴|BA →＋BC →
|2＝4，则有a 2＋a 2＋2a 2cos B ＝4.
∴a 2＝21＋cos B ，则BA →·BC →
＝a 2cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B .
又cos B ∈[－12，12]，
∴BA →·BC →
∈[－2，23
]．
22．(本题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0，k ∈R ).导学号 14434933
(1)求a·b 关于k 的解析式f (k )． (2)若a ∥b ，求实数k 的值． (3)求向量a 与b 夹角的最大值． [解析] (1)由已知|k a ＋b |＝3|a －k b |， 有|k a ＋b |2＝(3|a －k b |)2，
k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 又因为|a |＝|b |＝1， 得8k a·b ＝2k 2＋2， 所以a·b ＝k 2＋14k ，
即f (k )＝k 2＋1
4k (k >0)．
(2)因为a ∥b ，k >0， 所以a·b ＝k 2＋1
4k >0，
则a 与b 同向．
因为|a|＝|b |＝1，所以a·b ＝1， 即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，
所以k ＝2±3，
所以当k ＝2±3时，a ∥b .
(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b
|a||b|＝a·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )＝14[(k －1k )2＋2]．
当k ＝
1
k
，即k ＝1时， cos θ取最小值1
2.。