《全等三角形》相关定理辨析

《全等三角形》相关定理辨析
一、 判定两个三角形全等的方法共有（41+）种方法，分别是()S A S ⋅⋅⋅、()A S A ⋅⋅⋅、()A A S ⋅⋅⋅、
()S S S ⋅⋅⋅这四种方法适合于判定所有形状的三角形全等，()H L ⋅⋅只适合于判定两个直角三角形全等。

1.“边角边”公理，简称：()S A S ⋅⋅⋅
文字表述：两边和夹角分别对应相等的两个三角形全等 改写成：“如果……，那么……”的形式
如果 ， 那么 。

几何语言表述： 在A B C 和D E F 中 ⎧⎪
⎨⎪⎩
∴()S A S ⋅⋅⋅
典型例题：已知：BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 求证：△ABD ≌△ACD
证明：在ABD 和△ACD 中
2.“角边角”公理，简称：()A S A ⋅⋅⋅
文字表述：两角和夹边分别对应相等的两个三角形全等。

改写成：“如果……，那么……”的形式
如果 ， 那么 。

几何语言表述： 在A B C 和D E F 中 ⎧⎪
⎨⎪⎩
∴( )
典型例题：已知：AB 与CD 相交于O ，∠C ＝∠B ， CO ＝BO ，
求证： △AOC ≌△DOB ． 证明：
(第1题)
（第2题）
文字表述：两角和一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。

改写成：“如果……，那么……”的形式
如果 ， 那么 。

几何语言表述： 在A B C 和D E F 中 ⎧⎪
⎨⎪⎩
∴( )
典型例题：已知：如图∠1＝∠2，∠A ＝∠B
求证： △AOP ≌△BOP ． 证明：
4.“边边边”公理，简称：()S S S ⋅⋅⋅
文字表述：三边分别对应相等的两个三角形全等。

改写成：“如果……，那么……”的形式
如果 ， 那么 。

几何语言表述：
在A B C 和D E F 中 ⎧⎪
⎨⎪⎩
∴( )
典型例题：已知：AB ＝DC ， AC ＝DB ，
求证： △ABC ≌△DCB ．
（第1题）
文字表述：一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等。

改写成：“如果……，那么……”的形式 如果 ， 那么 。

几何语言表述：
在R t A B C 和Rt D EF 中
⎧⎨
⎩
∴()H L ⋅⋅
典型例题：已知：AC ＝BD ， ∠C ＝∠D ＝90°，
求证：Rt △ABC ≌Rt △BAD ．
证明：
二、 “三线合一”定理
文字表述：等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合。

解释：等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线是同一条线段。

也就是说，这条线段同时拥有三个属性：（如图：线段A D ）既是顶角的平分线，又是底边上的高，也是底边上的中线。

用几何语言表述它的三个属性为： （1）12∠=∠` （2）A D B C ⊥
（3）B D C D =
运用“三线合一”定理的前提是：在等腰三角形中，即：A B A C = 在运用“三线合一”定理时，必须先说出：A B A C =
“三线合一”定理的作用：证明角相等、证明垂直关系、证明中点（即线段相等）。

具体应用中分三种情况：（如图）
情况一：已知A B A C =，12∠=∠，可以得出：A D B C ⊥；B D C D = 用几何语言可表述为：
A B A C =，12∠=∠（已知）
∴（等腰三角形三线合一）
情况二：已知 ， ，可以得出：12∠=∠；B D C D = 用几何语言可表述为：
， （已知）
∴（等腰三角形三线合一）
图19.2.18
情况三：已知，，可以得出：12
⊥
∠=∠；A D B C
用几何语言可表述为：
，（已知）
∴（等腰三角形三线合一）
三、以下我们来辨析一下三组互逆定理
1.“等边对等角”与“等角对等边”
“等边对等角”是等腰三角形的性质定理，其作用是证明两个角相等。

“等角对等边”是等腰三角形的判定定理，其作用是证明一个三角形是否是等腰三角形。

（证明两条线段相等）
（1）等边对等角
如果，
那么。

几何语言表述：
=（已知）
A B A C
∴（等边对等角）
典型例题：已知：AB＝AC，∠B＝0
70
求证：∠C＝0
70
证明：
（2）等角对等边
如果，
那么。

几何语言表述：
∠=∠（已知）
B C
∴（等角对等边）
典型例题：已知：∠B＝∠C，AB＝2cm
求证：AC＝2cm
证明：
2.“角平分线定理”与“角平分线定理的逆定理” 角平分线定理：
“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”， 它是角平分线的性质定理，其作用是证明两条线段相等。

角平分线定理的逆定理：
“到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上” 它是角平分线的判定定理，其作用是证明一个点在角平分线上（或两个角相等）。

（1）角平分线定理
如果 ， 那么 。

几何语言表述：
() ()
()
P AO B ⎧⎪
⎨⎪
∠⎩ 已知已知点在的平分线上 已知 ∴
P D P E =（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
（2）角平分线定理的逆定理
如果 ， 那么 。

几何语言表述：
() () ()M E M D =⎧⎪
⎨⎪⎩
已知已知已知 ∴点M 在A O B ∠的平分线上（到一个角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）
3.“线段垂直平分线定理”与“线段垂直平分线定理的逆定理” 线段垂直平分线定理：
“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等” 它是线段垂直平分线的性质
定理，其作用是证明两条线段相等。

线段垂直平分线定理的逆定理：
“到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上” 它是线段垂直平
分线的判定定理，其作用是证明一个点在线段的垂直平分线上。

（1）线段垂直平分线定理
如果 ， 那么 。

几何语言表述：
() () ()
P M N ⎧⎪
⎨⎪
⎩ 已知已知点在上 已知 ∴
PA PB =（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）
典型例题：如图，034O ∠=,B D 垂直平分A O ，
求A ∠的度数
解：
（2）线段垂直平分线定理的逆定理
如果 ， 那么 。

几何语言表述： () 已知
∴点P 在线段A B 的垂直平分线上（到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
典型例题：已知：如图，在A B C 中，028B ∠=，其外角0
56DAC ∠=
求证：点A 在B C 的垂直平分线上。

证明：。