河南省正阳县第二高级中学2019届高三数学上学期周练(四)理

侧（左）视图
俯视图
河南省正阳县第二高级中学
2018-2019学年上期高三数学理科周练（四）
一.选择题
1.已知集合{|21},{|1}x
A x
B x x =>=<，则A
B （）
A ．{|01}x x <<
B ．{|0}x x >
C ．{|1}x x >
D ．{|1}x x < 2.若复数
31a i
i
++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． -3 B ． -2 C ． 4 D ．3 3. 3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( ) A ．f （x ）=x 2
B ．f （x ）=
1
x
C ．f （x ）=x e
D ．f （x ）=sinx 4. 已知正数x,y 满足20
350
x y x y -≤⎧⎨
-+≥⎩，则z=-2x-y 的最小值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．-2
D ．-4 5. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且
20162015
120162015
S S -=，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．2015 D ．2016
6. 已知|a |＝1，|b |2，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为
A. 30°
B.45°
C. 60°
D.120°
7. 已知10210
01210(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a 等于 A ．－5 B ．5 C ．90 D ．180
8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形，则此几何体的体积是( )
A ．203π
B ．6π
C ．103
π
D ．163
π
9. 已知M 是△ABC 内的一点，且.23AB AC =的面积分别为
1
,,2
x y ，则14x y +的最小值为（ ）
A. 20
B. 18
C. 16
D.9
10. 设直线x=t 与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为（ ）.
（A ）1 （B ）
1
2
（C ）D
11. 已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 角的平分线，I 为PC 上一点，满足()(0)AC AP BI BA AC
AP
λλ=++
>，4PA PB -=，10PA PB -=，则
B I B A BA
⋅的值为（ ）A.2
B. 3
C. 4
D. 5
12．已知函数1(0)
()ln (0)
x x f x x x -+≤⎧=⎨
>⎩，则函数y=f[f(x)]+1的零点个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二.填空题（4×5=20分）：
13. 已知函数f(x)满足f(x+6)+f(x)=0，函数y=f(x-1)关于(1,0)点对称，f(1)=-2，则f(2015)=_____.
14. 如果函数()2sin (0)f x x ωω=>在22[,]33
ππ
-
上单调递增，则ω的最大值为 15.设圆2
2
(1)1x y +-=的切线l 与x 轴正半轴，y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，当线段AB 的长度取最小值时，切线l 在y 轴上的截距为
16.设(),()22
x x x x
e e e e
f x
g x ---+==，给出如下结论：①对任意x R ∈，有22[()][()]1g x f x -=；②存在实数0x ，使得000(2)2()()f x f x g x >；③不存在实数0x ，使
得22
000(2)[()][()]g x g x f x <+；④对任意实数x ，有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0；其中所有正
确结论的序号是
三.解答题：
17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()cos 3cos .a B c b A =-
（Ⅰ）若sin a B =,求b ；（Ⅱ）若a =ABC ∆ABC ∆的周长。

18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的
111
,,236
，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II ）记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程和产业建设工程的人数，求X 的分布列及数学期望
19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=1
3
BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置． （1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．
20.已知直线Ax+By+C=0的方向向量为（B ，﹣A ），现有常数m ＞0，向量a =（0，1），向量b =（m ，0），经过点A （m ，0）以λa +b 为方向向量的直线与经过点B （﹣m ，0），以λb ﹣4a 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．
（Ⅰ）求点P 的轨迹E ；（Ⅱ）若F （4，0），问是否存在实数k 使得过点F 以k 为斜
率的直线与轨迹E 交于M ，N 两点，并且S △OMN =3
O 为坐标原点）？若存在，求出k 的值；若不存在，试说明理由．
21. 已知函数()ln(1)(,1)1
ax
f x x a R a x =+-
∈≥+． （Ⅰ）讨论f(x)零点的个数； （Ⅱ）证明：213
ln(1)()2131
n N n n n +<+<∈++．
22．已知曲线C：
2cos
22sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=+
⎩
（α为参数），直线l
：
3
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
（t为参数），以坐标
原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；
（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．
23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．
（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．
参考答案：
1-6 AAADBB 7-12 DCBBBA 13.2 14。

3
4
15.32+ 16.①③④
17.①3
②4+ 18.①
1
6
②分布列略，期望为2 19.①在左边的平面图形中，连接AE ，则易证AE BD ⊥，设AE 交BD 于F ，在立体图形中，可
得BD ⊥面PFE ，故PE ⊥BD
20.（1）易求直线AP 的方程为()y x m m
λ
=
-，直线BP 的方程为4
()y x m m λ
=-
+，二者相乘消去λ得轨迹E 的方程为22
214
x y m +
=（2）存在k=1 21.(1)a=1或a=2时，一个零点，a>2或1<a<2时，两个零点（2）令a=2,则f(x)在区间(1,)
-+∞上单调递增，则1()(0)0f f n >=知，12(1)21f n
n +>
+；取32a =，则f(x)在3
(,0)4
-上单调递减，取13(,0)14x n =-∈-+，由f(x)>f(0)知311(1)112()3
1
n f n n -
+->
+-++，化简可以得到13
ln(1)31
n n +<+，所给不等式得证
22.略 23.（1）[-1,1]（2）
17
6。