数字信号处理试卷

…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………23…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线……………………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………5…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………7…………装订线………………装订线内不要答题，不要填写信息………………装订线…………武汉理工大学考试试题答案（A卷）2010 ~2011 学年2 学期《数字信号处理》课程一、1.由于3142/2/73ππωπ==是有理数，所以()x n是周期的，周期为14。

（4分）2. 令输入为12()()()x n ax n bx n=+，系统的输出为121212 [][()][()()](31)(31)()() y n T x n T ax n bx n ax n bx n ay n by n ==+=+++=+故系统是线性系统。

假设输入为1()()x n x n m=-，则111[][()](31)(31)y n T x n x n x n m==+=+-又因为()(3()1)(313)y n m x n m x n m-=-+=+-很明显11()[()][()]()y n T x n T x n m y n m==-≠-，所以系统不是时不变系统.由系统的输入与输出关系可以看出，当0≥n时，()y n与将来时刻的输入)13(+nx有关，由因果系统的定义可知，该系统为非因果系统。

假设输入有界，即()xx n B≤<∞此时输出满足∞<≤+=xBnxny)13()(因此系统为稳定系统。

（6分）二、根据奈奎斯特定理可知，因为1()ax t的频谱中最高频率为，所以输出信号1()ay t无失真。

对于2()ax t，其频谱中最高频率为，则输出信号2()ay t失真。

（5分）三、(1) 对差分方程两端分别进行z变换可得121()0.6()0.16()()()Y z z Y z z Y z X z z X z---+-=+系统函数πππ42821=<=Ωaπππ42852=>=Ωa8112()1()()10.60.16(1)(0.2)(0.8)Y z z H z X z z z z z z z ---+==+-+=-+ （4分）()H z 有两个极点10.2z =，20.8z =-，因此收敛域有三种情况：0.2z <，0.20.8z <<，0.8z <极点都在单位圆内，此时，收敛域0.8z <对应的系统为因果稳定系统。

（2分）（2）当系统稳定时，频率响应存在，且j j j j j 1()()10.60.16z e e H e H z e eωωωωω---=+==+- （2分） 将()H z z展成部分分式，可得 ()(1) 1.20.2(0.2)(0.8)0.20.8H z z z z z z z +==--+-+ 因此111.20.2()10.210.8H z z z--=--+ 结合收敛域0.8z <，求逆变换，有() 1.2(0.2)0.2(0.8)()n nh n u n ⎡⎤=⋅-⋅-⎣⎦ （4分）四、由z 变换的定义，令1()3()nx n u n =-，则11011()()(3)()(3)(3)1311313nn n n n nnn nn n X z x n zu n z zz z z z ∞∞--=-∞=-∞∞--=-∞=--==-==-==--∑∑∑∑其收敛域为3z <。

令2()(1/5)(1)nx n u n =-，则2211111()()(1/5)(1)(1/5)(1/5)151511515nnnn n nnn n n n X z x n zu n zzz z z z ∞∞--=-∞=-∞∞∞-+--==--==-====--∑∑∑∑其收敛域为15z <。

][][][21n x n x n x +=，那么 11113/5()(13)1(1/5)z z X z z z ----=-+--， 135z << 其收敛域包含135z <<，由于没有零极点抵消，所以收敛域就是135z <<。

整理()X z 得1415()(113)(15)zX z z z =--- （4分）可见()X z 有一个零点00z =，有2个极点13z =，另一个极点是215z =，则零极点图（收敛域为阴影部分）如图2-4所示。

由于()X z 为有理函数，可以根据极点直接确定收敛域：()X z 有两个极点13z =，215z =，序列是双边序列，其收敛域为极点界定的圆环，由极点很容易确定收敛域为135z <<。

因为收敛域包括单位圆，所以傅里叶变换存在。

（2分）图 ()X z 的零极点图及收敛域Re[]z五、根据离散傅里叶变换的定义，[]111002j ()DFT ()()1122111111222,0111111222N nkN n n nN N nk k N N n n NNNk kN N N k k k N N N X k x n x n W W W W W k NW W e π-=--==-⋅==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===≤<---∑∑∑ （5分）六1、（3分）2、（3分）3、 （3分）4、圆周卷积等于线性卷积以N 为周期进行周期延拓，然后取主值序列的结果。

如果圆周卷积等同于线性卷积，N ≥5+5-1=9 （3分）七、1、采用DFT-FFT 算法，得X （k ）={4,-1+j,2,-1-j}，其蝶形图为（6分）2、振幅谱： 相位谱： 功率谱： 八、1、级联型：（5分）2、并联型：（5分）}2,2,2,4{)()(==k X k A }4/5,0,4/3,0{)(ππφ=k }2,4,2,16{)()(2==k A k s )1)(1()1)(1(21221)21121131321--------------+++=+-+++=z z z z z z z z z z z z H （21113132114616121221)-----------++--+=+-+++=z z z z z z z z z z H （九、因为N=4，所以把x(n)分为三段： x 1(n)={3,4,5,6} x 2(n)= {7,8,9,10}x 3(n)= {11,12,0,0} （3分） 计算x(n)中每一段同h(n)的线性卷积:y 1(n)=x 1(n)*h(n)={3,10,22,40,43,38,24} y 2(n)=x 2(n)*h(n)={7,22,46,80,79,66,40}y 1(n)=x 1(n)*h(n)={11,34,57,80,48,0,0} （3分）把临段的最后3项与开始的3项相加得到相应的各项，最后的y(n)为: y(n)={3,10,22,40,50,60,70,80,90,100,97,80,48} （2分） 十、1、由脉冲响应不变法，将)(a s H 展开成部分分式12a 211()32(2)(1)21A A H s s s s s s s ===+++++++ 其中：1|1121-=+=-=s s A 1|2112=+=-=s s A 因此 a 11()21H s s s -=+++ )(a s H 有2个实极点，映射到z 平面极点为T e z 21-=，T e z -=2，则数字滤波器的系统函数)(z H 为11211)(-----+--=ze Tz e T z H T T ，将T =0.5代入到表达式中，得到下面的表达式： 2-1-1125.0115.011115.015.0110.22310.974410.1840.3033)()(15.05.015.015.0)(z z z z z e e z e e z e z e z e z e z H +--=⨯++--=-+--=----------------（4分）2、由双线性变换法 1111--+-⋅=z z c s 及42==Tc 可得： 211431141|)()(11211114a 11+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅==∴----+-⋅=--z z z z s H z H z z s30286)1(1221+-+=---z z z （4分）十一、(1) 求各对应的数字频率通带截止频率为ππω342=ΩΩ=Ω=s psp p f 阻带起始频率为ππω42=ΩΩ=Ω=sst s st st f 阻带衰减相当于dB 502=δ （2分）(2) 设)(j d ωe H 为理想线性相位滤波器⎪⎩⎪⎨⎧≤=-其他,0,)(j j d c e e H ωωωτω首先由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率c Ω(由于c Ω为两个肩峰值处的频率的中点，而由p Ω到st Ω之间的过渡带宽并非两个肩峰值间的频率差，因而以下求出的c Ω有一定的近似。

)rad/s)(104)(213⨯=Ω+Ω=Ωπst p c 其对应的数字频率为ππω382=ΩΩ=Ω=s c s c c f 由此可得⎰⎰----==ccd e d e e n h n nωωτωππωωτωπωπ)(j j j d 2121)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=τπωττωτπn n n n c c ,)],(sin[)(1其中，τ为线性相位所必须的移位，我们已经知道应满足21-=N τ。

（4分） (3) 由阻带衰减2δ来确定窗形状，由过渡带宽确定N 。

由于dB 502=δ，查表可选汉明窗，其阻带最小衰减dB 53-满足要求。

所要求的过渡带宽（数字频域）ππω382=ΩΩ-Ω=∆spst由于汉明窗过渡带宽满足Nπω6.6=∆，所以 475.26.6=∆=ωπN N=3 121=-=N τ （3分） (4) 由汉明窗表达式)(n w 确定FIR 滤波器的)(n h 。

汉明窗 )(12c o s46.054.0)(n R N n n w N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=π⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2121sin )(d N n N n n h c πω 所以 )(16cos 46.054.0)1()]1(38sin[)()()(d n R n n n n w n h n h N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--=⋅=πππ (5) 由)(n h 求)(j ωe H 检验各项指标是否满足要求，如不满足要求改变N ，或改变窗形状（或两者都改变）来重新计算。