人教版2019学年高中数学第1章计数原理1.1基本计数原理学案新人教B版选修2_3

基本计数原理
目 1. 通例，理解掌握分加法数原理与分步乘法数原理.2. 会利用两个原理解决一些的．
1．分加法数原理
做一件事，达成它有n 法，在第一法中有m 种不同样的方法，在第二法
1
中有 m 种不同样的方法⋯⋯在第n 法中有m 种不同样的方法，那么达成件事共有N＝2n
__________________ 种不同样的方法．
2．分步乘法数原理
做一件事，达成它需要分红n 个步，做第一个步有m1种不同样的方法，做第二个步有 m 种不同样的方法⋯⋯做第n 个步有 m 种不同样的方法，那么达成件事共有N＝2n
__________________ 种不同样的方法．
3．分加法数原理和分步乘法数原理，回答的都是相关做一件事的不同样方法的
种数．区在于：分加法数原理的是________，其中各样方法相互独
立，用其中任何一种方法都能够做完件事，分步乘法数原理的是________，
各个步中的方法相互依存，只有各个步都达成才算达成件事．
一、
1．从甲地到乙地，每天有直达汽 4 班，从甲地到丙地，每天有 5 个班，从丙地到乙地，每天有 3 个班，从甲地到乙地不同样的乘方法有()
A．12 种B．19 种C．32 种D．60 种
2．有一排 5 个信号的示窗，每个窗可亮灯、可亮灯、可不亮灯，共能够出
的不同样信号有
()
A．25种B．52种C．35种D．53种
3．二年 (1) 班有学生 56人，其中男生38 人，从中取1 名男生和 1 名女生作代
表参加学校的社会，取代表的方法种数()
A． 94B． 2 128C． 684D． 56
4．会合＝ {
x,1}，＝{
y,
1,2}，其中
x
，∈{1,2 ，⋯， 9} 且
P
，把足上述条
P Q y Q
件的一对有序整数( x，y) 作为一个点，则这样的点的个数是()
A． 9B． 14C． 15D． 21
5．有 4 名高中毕业生报考大学，有 3 所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则
这 4名高中毕业生报名的方案数为 ()
A． 12B． 7C． 34D． 43
6．某地政府召集 5 家公司的负责人开会，其中甲公司有 2 人到会，其余 4 家公司各
有 1人到会，会上有 3 人讲话，则这3 人来自 3 家不同样公司的可能情况的种数
为()
A． 14B． 16C． 20D． 48
二、填空题
7．在由 0,1,3,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的数共有 ________个．
8．将一个三棱锥的每个极点染上一种颜色，并使每一条棱的两头点异色，若只有五
种颜色可使用，则不同样染色的方法种数为________．
9．加工某个零件分三道工序，第一道工序有 5 人，第二道工序有 6 人，第三道工序有 4 人，从中选 3 人每人做一道工序，则选法共有________种．
三、解答题
10．某外语组有9 人，每人最少会英语和日语中的一门，其中7 人会英语， 3 人会日语，现要从中选出会英语和日语的各一人，共有多少种不同样的选法？
11．用 0,1,2,3,4,5能够组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数？
能力提升
12．现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的
一个讲座，则不同样选法的种数是 ()
A． 56B．65
5×6×5×4×3×2
D．6×5×4×3×2
C.
2
13．书架的第一层有 6 本不同样的数学书，第二层有 6 本不同样的语文书，第三层有5
本不同样的英语书．
(1)从这些书中任取 1 本，有多少种不同样的取法？
(2) 从这些书中任取 1 本数学书， 1 本语文书， 1 本英语书共 3 本书的不同样的取法有多少种？
(3) 从这些书中任取 3 本，并且在书架上挨次次排好，有多少种不同样的排法？
用两个计数原理解决详细问题时，第一要分清“分类”仍是“分步”，其次要清楚
“分”或“分步”的详细准，在“分” 要依照“不重、不漏”的原，在“分步” 要正确“分步”
的程序，注意步与步之的性；有些目中“分”与“分步”同行，能够“先分后分步”或“先
分步后分”．
第一章数原理
1． 1基本数原理
答案
知梳理
1．m1＋m2＋⋯＋m n
2．m1×m2×⋯×m n
3．分分步
作
1．B [ 从甲地到乙地有两方案：甲地直达乙地，甲地丙地到乙地，共有4＋3× 5＝19( 种) 方法． ]
2． C [ 一个窗有 3 种可能情况 ( 、、不亮 ) ，每个窗出一种情况的方法种数
3×3×3×3× 3＝ 35( 种 ) ，即表示的不同样信号．]
3． C [ 男生 38 人，女生18 人，第 1 步从男生38 人中任 1 人，有 38 种不同样的法；第二步从女生18 人中任 1 人，有 18 种不同样的法．只有上述两步达成后，
才能达成从男生中和女生中各 1 名代表件事，依照分步乘法数原理共有38×18＝684( 种 ) 取代表的方法．]
4． B [ 当x＝ 2 ，y可取 3,4,5,6,7,8,9当 x＝ y ， y 可取3,4,5,6,7,8,9，共
，共
7 个点．
7 个点；
∴ 的点共有7＋ 7＝14( 个) ．]
5． C [4 名高中生考 3 所大学，可分 4 步，每步有 3 种， 4 名高中生名的方案数3×3×3× 3＝ 34.]
6． B[ 按意分红两：
第一：甲企有 1 人言，有 2 种情况，另两个言人出自其余 4 家企，有6种情况，由分步乘法数原理知有2× 6＝12( 种 ) 情况；
第二： 3 人全来自其余 4 家企，有 4 种情况．
上可知，共有N＝12＋4＝16(种)情况．]
7． 10
剖析先考虑个位和千位上的数，个位数字是0 的有3×2× 1＝ 6( 个 ) ，个位数字是5 的有2×2× 1＝ 4( 个) ，因此共有10 个．
8． 120
剖析如右图，若先染 A 有种色可选，则不同样染色方法共有5 种色可选，B有 4 种色可选，
5×4×3× 2＝ 120( 种 ) ．
C
有
3 种色可选，D
有
2
9． 120
10．解依题意得既会英语又会日语的有7＋ 3－ 9＝ 1( 人 ) ，6 人只会英语， 2 人只会日语．
第一类：从只会英语的 6 人中选一人有 6 种方法，此时选会日语的有2＋1＝ 3( 种 )方法．
由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18(种)．
第二类：从既会英语又会日语的 1 人中选有 1 种方法，此时选会日语的有 2 种方法．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2(种)．
综上，由分类加法计数原理可知，不同样选法共有N＝ N1＋ N2＝18＋2＝20(种)．11．解达成这件事有三类方法：
第一类是用0 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，它能够分三步去达成：第一步，选
取千位上的数字，只有2,3,4,5能够选择，有 4 种选法；第二步，采纳百位上的数字，
除 0 和千位上已选定的数字以外，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，采纳
十位上的数字，还有 3 种选法．依照分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4× 3＝ 48( 个) ；
第二类是用 2 做结尾的比 2 000大的 4 位偶数，它能够分三步去达成：第一步，选
取千位上的数字，除掉2,1,0，只有 3 个数字能够选择，有 3 种选法；第二步，采纳百位
上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字此后，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，采纳十位上的数字，还有 3 种选法．依照分步乘法计数原理，这类数的个数有
3×4× 3＝ 36( 个 ) ；
第三类是用 4 做结尾的比 2 000大的4 位偶数，其步骤同第二类，可得有36 个．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比 2 000大的四位偶数有48＋ 36＋ 36＝ 120( 个 ) ．
12．A [ 每位同学可自由选择 5 个讲座中的其中 1 个讲座，故6 名同学的安排可分6步进行，每步均有 5 种选择，因此共有56种不同样选法．]
13．解(1) 因为共有17 本书，从这些书中任取 1 本，共有17 种取法．
(2) 分三步：第一步，从 6 本不同样的数学书中
取
1 本，有 6 种取法；第二步，从 6 本
不同样的语文书中取1 本，有 6 种取法；第三步：从 5 本不同样的英语书中
取
1 本，有 5 种
取法．由分步乘法计数原理知，取法总数为N＝6×6×5＝180(种)．
(3) 实际上是从17 本书中任取 3 本放在三个不同样的地址上，达成这个工作分三个步骤，
第一步：从 17 本不同样的书中取 1 本，放在第一个地址，
有17种方法；
第二步：从节余16 本不同样的书中
取 1 本，放在第二个地址，有16 种方法；
第三步：从节余15 本不同样的书中
取 1 本，放在第三个地址，有15 种方法；
由分步乘法计数原理知，排法总数为N＝17×16×15＝4080(种) ．。