中考数学复习讲义14次

板块一：一次函数与几何综合
【例1】】(2010门头沟二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与
3
3
4
y x
=-+
交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点。

⑴求点A的坐标。

⑵当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标。

⑶在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，直接写出有几种情况。

板块二：反比例函数与几何综合
【例2】(2010顺义二模)在平面直角坐标系xOy中，A、B为反比例函数
4
(0)
y x
x
=>的图象
上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将
4
(0)
y x
x
=>的图象绕原点O顺
时针旋转90°，A点的对应点为A′ ，B点的对应点为B′ 。

⑴求旋转后的图象解析式；
⑵求A′、B′点的坐标；
⑶连结AB′ 。

动点M从A点出发沿线段AB′以每秒1个单位长度的速度向终点B′
运动；动点N同时B′点出发沿线段B′ A′以每秒1个单位长度的速度向终点A′运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动。

设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MN B′为等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；
若不存在，说明理由。

代数几何综合初步（上）
板块三：二次函数与几何综合
【例3】如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H。

在抛物线y＝x2(x＞0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是______。

代数几何综合初步（下）
【例4】(江苏中考)已知二次函数的图象如图所示。

⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点的坐标；
⑵若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。

当点N在
线段BM上运动时(点N不与点B，点M重合)，设OQ的长为t，四边形
NQAC面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△P AC为直角三角形？若存在，求
出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑷将△OAC补成矩形，使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三
个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要
计算过程)。

【例5】(2009四川成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a(x＋1)2＋c(a＞0)与x 轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M，若直线
MC的函数表达式为y＝kx－3，与x轴的交点为N，且cos BCO
∆∠=。

⑴求此抛物线的函数表达式；
⑵在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC
为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理
由；
⑶过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q。

若将抛物线沿其对称轴上下平移，使
抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下
最多可平移多少个单位长度?
测试题
演练1 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=交x轴于点C，交y轴于点A。

等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图1所示。

把三角板绕着点O
顺时针旋转，旋转角度为α()
0180
α
<<
°°，使B点恰好落在AC上的B'处，如图2所示。

图1图2
⑴求图1中的点B的坐标；
⑵求α的值；
⑶若二次函数23
y mx x
=+的图象经过⑴中的点B，判断点B'是否在这条抛物线上，并说明理由。

演练2 (2009平谷一模)如图，点()1
A m m+
，，()
31
B m m
+-
，都在反比例函数
k
y
x
=的图象上。

⑴求m k
，的值；
⑵如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A B M N
，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式。

答案
【解析1】⑴∵直线AC的解析式为y x
=x轴于点C，交y轴于点A，∴点A的坐标为0
⎛
⎝⎭
，点C的坐标为()
20
，。

∵等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，
∴2
OD=，45
BOD
∠=︒。

过点B作BM OC
⊥于M，
∴
1
1
2
OM OD
==，
∴点B的坐标为()
11
，。

⑵∵OA=，2
OC=，90
AOC
∠=︒，∴30
ACO
∠=︒。

过点O作OE AC
⊥于E，∴1
OE=。

∵在Rt B EO △′
中，OB ′1OE =， ∴45B OE ∠=︒′。

∴90EOD ∠=︒。

又∵60EOC ∠=︒，∴30COD ∠=︒， ∴30α=︒。

⑶判断：点B ′在直线AC 上。

理由：∵点B ′在直线AC 上，
∴设点B ′
的坐标为a ⎛ ⎝⎭
，。

∵2
222
a OB ⎛+== ⎝
′ 解方程，得1
a =，2a =
∴点B ′
的坐标为⎝⎭。

又∵二次函数23y mx x =+过点()11B ，
， ∴2m =-。

∴二次函数的解析式为223y x x =
-+。

把x =
代入223y x
x =-+，得y =， ∴点B ′在这条抛物线上。

【解析2】⑴由题意可知：()()()131m m m m +=+-，解得3m =。

∴()34A ，
，()62B ，， ∴12k =。

⑵存在两种情况：如图
①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，
设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，。

∵四边形11AN M B 为平行四边形，
∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）。

由⑴知A 点坐标为()34，，B 点坐标为()62，， ∴1N 点坐标为()02，， 1M 点坐标为()30，
， 设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，
把30x y ==，代入，解得12
3k =-。

∴直线11M N 的函数表达式为2
23
y x =-+。

②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时， 设2M 点坐标为()20x ，，2N 点坐标为()20y ，。

∵11221122AB N M AB N M AB N M AB N M ==∥，∥，，，
∴11221122N M M N N M M N =∥，，∴四边形1221N M N M 为平行四边形。

∴点1M 、2M 与线段1N 、2N 关于原点O 成中心对称。

∴2M 点坐标为()30-，，2N 点坐标为()02-，。

设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，
把30x y =-=，代入，解得22
3
k =-，∴直线22M N 的函数表达式为
2
23
y x =--。

所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或2
23
y x =--。

板块一 知识点梳理 知识点睛
★1．定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数称为二次函数。

2．二次函数的图象：二次函数的图象是一条曲线，称为抛物线。

★3．二次函数的对称轴为2b
x a
=-；顶点坐标为
2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，。

开口方向：当a ＞0时，开口方向向上；当a ＜0时，开口方向向下；开口大小由|a |
决定， |a |越小开口越大； |a |越大开口越小；开口大小相同，则|a |相等；
对称轴位置：当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧；当b ＝0时，对称轴与y 轴重合；用四个字总结对称轴与y 轴的位置关系为“左同右异”； 二次函数的最值：当a ＞0时，二次函数在2b x a
=-处取得最小值2min 44ac b y a -=；当
a ＜0时，二次函数在2b
x a
=-处取得最大值2min 44ac b y a -=。

★4．二次函数解析式的三种表示形式：
二次函数（上）
①一般式：2(0)y ax bx c a =++≠
②顶点式：2
22
4()(0)24b ac b y a x h k y a x a a a -⎛⎫=-+=++
≠ ⎪⎝⎭
或 ③交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠其中12x x ，是方程20ax bx c ++=的两个实根。

★5．⑴当02b a x a ><-
，时，y 随x 的增大而减小；2b
x a >-时，y 随x 的增大而增大。

⑵当02b a x a <<-
，时， y 随x 的增大而增大；2b x a
>-时，y 随x 的增大而减小。

★6．当240b ac ->时，抛物线与x 轴有2个交点，关于2b
x a
=-
对称，交点之间的距离为。

当240b ac -=时，抛物线与x 轴有1个交点，即为抛物线的顶点。

当240b ac -<时，抛物线与x 轴有0个交点。

★7．抛物线平移的规律可总结为八个字是“左加右减，上加下减”。

8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)关于x 轴对称的抛物线解析式为y ＝-ax 2－bx －c ；关于y 轴
对称的抛物线解析式为y ＝ax 2－bx ＋c ；关于原点对称的抛物线解析式为y ＝-ax 2＋bx －c
板块二 中考真题 二次函数的图象与性质
【例1】⑴(2009年陕西省)根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对
应值，可判断二次函数的图像与x 轴( )
A ．只有一个交点
B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧
D ．无交点
⑵(2010年杭州市)定义[a ，b ，c ]为函数2y ax bx c =++的特征数，下面给出特征数为[21]m m m --，1-，
的函数的一些结论： ①当m ＝－3时，函数图象的顶点坐标是18
()33
，；
②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32
； ③当m ＜0时，函数在1
4
x >
时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠0时，函数图象经过同一个点。

其中正确的结论有( ) A ． ①②③④ B ． ①②④ C ． ①③④
D ． ②④
二次函数的图象变换
【例2】(北京东城2009二模)定义{a ，b ，c }为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的“特征数”。

如：函数
y ＝x 2
－2x ＋3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y ＝2x ＋3的“特征数”是{0，2，3}，函数y ＝-x 的“特征数”是{0，-1，0} 。

⑴将“特征数”是{01}的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ；
⑵在⑴中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线x =于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长。

⑶若⑵中的四边形与“特征数”是21
{12}2
b b -+，，的函数图象有交点，求满足条
件的实数b 的取值范围？
【例3】(2010年石景山二模)已知关于x 的一元二次方程2(1)30x m x m --+-=
⑴求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根。

⑵若直线(1)30y m x =-+=与函数2y x m =+的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于 x 的一元二次方程2(1)30x m x m --+-=的解；
⑶在⑵的条件下，将抛物线2(1)3y x m x m =--+-绕原点旋转180︒，得到图象C 2，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象C 1、C 2交于M ，N
两点，当线段MN的长度最小时，求点P的坐标。

二次函数（下）
二次函数的简单应用
【例4】】(09山东淄博，24，10分)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2。

O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上。

一条抛物线经过A
点，顶点D是OC的中点。

⑴求抛物线的表达式；
⑵正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，
分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；
⑶点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别
交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK＝OH，请证明OHI
∆
≌JKC
∆。

=++的顶点为A(0，1)，与x轴的一
y ax bx c
个交点B的坐标为(2，0)。

点P在抛物线上，它的横坐标为2n(0＜n＜1)，作PC⊥
x轴于C，PC交射线AB于点D。

⑴求抛物线的解析式；
⑵用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明
PD OC
CD OB
与
的大小关系；
⑶若将原题中“0＜n ＜1”的条件改为“n ＞1”，其它条件不变，请通过计算说明⑵中的结论是否仍然成立。

板块三 拓展提高
【例6】(2010南充)已知抛物线21
42
y x bx =-++上有不同的两点 2(31)E k k +-+，和
2(11)F k k ---+，。

⑴求抛物线的解析式。

⑵如图，抛物线21
42y x bx =-++与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B ，M 为
AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D 。

设AD 的长为m (m ＞0)，BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式。

⑶当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F 。

测试题
演练1 (2008福建厦门)已知：抛物线()21y x b x c =+-+经过点()12P b --，。

⑴求b c +的值；
⑵若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；
⑶若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且
2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式。

演练2 (2009重庆)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y (元)与月
份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p (万台)与月份x 之间成
⑵由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5%m 。

国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴。

受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。

若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值(保留一位小数)。

(参考数据：
5.831 5.916
6.083 6.164≈≈)
演练3 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线
是如图所示的经过原点O 的抛物线。

在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员
在空中的最高处距水面2
103
米，入水距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面
高度为5米以前必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

⑴求抛物线的解析式； ⑵在某次跳水中，测得运动员在空中的运动路线是⑴中的抛物线，且运动员在空中
调整好入水姿势时距池边的水平距离为3
35
米，问这次跳水会不会失误，请通过
计算说明理由。

答 案
【解析1】⑴依题意得：()()()2
1112b c b -+--+=- ，
∴2b c +=-。

⑵当3b =时，5c =-，∴()2
22516y x x x =+-=+-，
∴抛物线的顶点坐标是()16--，。

⑶解法一：当3b >时，抛物线对称轴1
12
b x -=-
<-， ∴对称轴在点P 的左侧。

因为抛物线是轴对称图形，()12P b --，
且2BP PA =。

∴()32B b --，
，∴1
22
b --=-，∴5b =。

又2b
c +=-，∴7c =-。

∴抛物线所对应的二次函数关系式247y x x =+-。

解法二：当3b >时，1
12
b x -=-<-，
∴对称轴在点P 的左侧。

因为抛物线是轴对称图形，()12P b --，
，且2BP PA =，∴()32B b --， ∴()()2
3322b c b ---+=-，又2b c +=-，解得：57b c ==-，
∴这条抛物线对应的二次函数关系式是247y x x =+-。

解法三：∵2b c +=-，∴2c b =--，∴()212y x b x b =+--- ∵BP x ∥轴，∴()2122x b x b b +---=-，即()2120x b x b +-+-=，
解得：()1212x x b =-=--，
，即()2B x b =--， 由2BP PA =，则()1221b -+-=⨯，∴57b c ==-，
∴这条抛物线对应的二次函数关系式247y x x =+-。

【解析2】⑴设p 与x 的函数关系为()0p kx b k =+≠，
根据题意，得 3.95 4.3k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1
3.8k b =⎧⎨=⎩
，
所以0.1 3.8p x =+。

设月销售金额为w 万元，则()()0.1 3.8502600w py x x ==+-+。

化简，得25709800w x x =-++，所以()2
5710125w x =--+。

当7x =时，w 取得最大值，最大值为10125。

答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元。

⑵去年12月份每台的售价为501226002000-⨯+=（元）， 去年12月份的销售量为0.112 3.85⨯+=（万台）， 根据题意，得()()20001%51 1.5% 1.513%3936m m -⋅-+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦。

令%m t =，原方程可化为27.514 5.30t t -+=。

∴
t =
120.528 1.339t t ≈≈，（舍去） ∴%52.8%m ≈
答：m 的值约为52.8。

【解析3】⑴由题意，抛物线经过()()00210O B -，
，，，顶点纵坐标为2
3
， 则可以设抛物线解析式为2y ax bx =+，
由已知可得242102
43a b b a +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1221
253621023a a b b ⎧
=-⎧⎪=-
⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎪⎩
，， 根据图象可知00a b <>，，∴256
103a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴抛物线的解析式是22510
63
y x x =-+。

⑵由题意，运动员调整好入水姿势时，该点的横坐标为38
3255
-=，
代入⑴中所得解析式，2
25810816
65353y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，
此时运动员距水面的高度为1614
10533
-=<，故此次跳水会出现失误。

方程与不等式（上）
板块一 知识点梳理
一、定义
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元
一次方程。

一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫
做一元二次方程。

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

二、根的情况
对于形如ax 2＋bx ＋c ＝0的形式应判断a ，b ，c 的情况而定： ⑴当a ＝0且b ≠0方程有唯一解。

⑵当a ＝0且b ＝0 ， c ＝0时，方程有无数解。

⑶当a ＝0且b ＝0且c ≠0时，方程无解。

⑷当a ≠0时，方程为一元二次方程。

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根。

三、韦达定理
对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0
12b x x a +=- 12c
x x a ⋅=
四、整数根
思路⑴ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有整数根必须具备两个条件：
①b 2－4ac 是完全平方数；
②b -±2a 的整数倍。

思路⑵能分解因式的用分离系数法。

五、不等式及不等式组
不等式：用不等号连接的式子叫不等式。

一元一次不等式 一元一次不等式组 同大取大，同小取小， 大小交叉中间找， 大大小小无解了。

板块二 中考真题
【铺垫】⑴(09西城二模)解方程组 37
528x y x y -=⎧⎨+=⎩
⑵(2010西城一模)解不等式组 245(2)213x x x x +≤+⎧⎪
⎨
-<⎪⎩
把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解。

⑶解方程23111
x x
x x -+=--
⑷(2007北京)解方程：2410x x +-=
【例1】(2010通州二模)阅读理解题：阅读下列材料，关于x 的方程：
12121211111111
()222x c x c x x c c x c x c x c x x c x c c x c x c x x c c +
=+==---=-+=+==-+=+==
的解是，；即的解是，；
的解是，， ⑴观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x 的方程(0)m m
x c m x c +=+≠的解，并利用“方程的解”的概念进行验证；
⑵通过⑴的验证所获得的结论，你能解出关于x 的方程：22
11
x a x a +=+
--的解吗？若能，请求出此方程的解；若不能，请说明理由。

【例2】(2008西城二模)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0 。

⑴若a ≥0，b ≥0，方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；
⑵若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的
一个数，请你用树状图或表格表示出所有可能出现的结果，并求出使上述方程有实数根的概率。

【例3】(2010东城二模)已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-= (k ≥1)。

⑴求证：方程总有两个实数根；
⑵当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数。

代数式变形过关
【铺垫】
1．(2009广东佛山)已知a 2＋b 2＋c 2－ab －3b －2c ＋4＝0，则a ＋b ＋c 的值为 。

2．对任意k ，等式y ＝kx －x ＋2k 恒成立，则xy ＝ 。

3．(东城)若22
8
2550251
x x x x -+-=-+，则2x 2－5x －1的值为____________。

方程与不等式（下）
4．已知m、n为整数，且2280
--=(n＞0)，则m n＋1＝。

m n
【例4】对于任意实数k，方程2222
+-++++=恒有一个实根1。

(1)2()40
k x a k x k k b
⑴求a、b的值。

⑵求另一根的最大值与最小值。

【例5】(2010西城二模)已知：关于x 的一元二次方程2(4)40x m x m -++-=，其中04m <<。

⑴求此方程的两个实数根(用含m 的代数式表示)；
⑵设抛物线2(4)4y x m x m =-++-与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，若点D 的坐标为(0，-2)，且AD · BD ＝10，求抛物线的解析式；
⑶已知点E (a ，y 1)、F (2a ，y 2)、G (3a ，y 3)都在(2)中的抛物线上，是否存在含有y 1 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由。

板块三 拓展提高
【例6】k 取何值时，方程211(30)0x x k -++=有两个实根，且两实根均大于5。

测试题
演练1 (2009昌平一模)已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-= ⑴若原方程有实数根，求k 的取值范围； ⑵设原方程的两个实数根分别为1x ，2x
① 当k 取哪些整数时1x ，2x 均为整数；
② 利用图象估算关于k 的方程1210x x k ++-=的解。

演练2 给出一个定义：如果两个二次项系数为1的一元二次方程有一个相等的实数根，并
且另外两个根互为相反数，那么这两个一元二次方程称为“友好方程”。

例如：方程2230x x --=的两个根为1213x x =-=，；方程2430x x ++=的两个根为
1213x x =-=-，，则方程2230x x --=与2430x x ++=就是“友好方程”。

⑴请你写出方程2280x x --=的“友好方程”；
⑵若关于x 的一元二次方程()210x b x b +-+=与210x cx c ++-=是“友好方程”，
求c 的值；
⑶请写出一个方程与其“友好方程”之间存在的关系(写出两种即可)。

演练3 (2007四川绵阳)已知x 1，x 2 是关于x 的方程()()()()22x x m p p m --=--的两个实
数根。

⑴求x 1，x 2 的值；
⑵若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值。

答案
【解析1】⑴∵关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=有实根
∴()4420k k ∆=--≥且0k ≠
∴()2
22110k k k -+=-≥ ∴0k ≠的全体实数
⑵ ①由2220kx x k ++-=，得
()()210kx k x +-+=
∴12
k x k -=
，21x =- ∴12
1x k
=-，∴1k =±，2k =±
②∵1222
11x x k k
+=-=--
即2
10k k -+-=的解
设12
y k
=，21y k =-，如图象所示。

∴由图象知12k =，1k =-
【解析2】 ⑴2680x x ++=，2680x x -+=………………………………………………2分
⑵由方程210x cx c ++-=可知1211x c x =-=-，，…………………………3分 ①若1x =-是两方程的公共根，代入方程()210x b x b +-+=得：
()()()2
11120
b b -+-⋅-+=≠，则1x =-不是公共
根；…………………………………4分
②若1x c =-是公共根，则1x =是方程()210x b x b +-+=的根， 代入得110b b +-+=，∴0b =，
则方程化为20x x -=，解得1210x x ==，，
∴10c -=，∴1c =．……………………………………………………………5分
⑶①一个方程与其“友好方程”的常数项互为相反数；
②一个方程的“友好方程”的一次项系数的平方等于原方程一次项系数的平方与常数项的4倍的差；
③一个方程有两个“友好方程”，且这两个“友好方程”的常数项相等，一次项互为相反数；
④一个方程的两个“友好方程”的所有实数根之和为零；
(写出其它关系只要合理即可给分)…………………………………7分
【解析3】 ⑴原方程变为：x 2－(m +2x + 2m )= p 2－(m + 2)p + 2m ，
∴x 2－p 2－(m + 2)x +(m + 2)p = 0， (x －p )(x + p )－(m + 2)(x －p )= 0，
即(x －p )(x + p －m －2)= 0，∴ x 1 = p ， x 2 = m + 2－p 。

⑵ ∵直角三角形的面积为1211
(2)22x x p m p =+-=p m p )2(2
1212++-
=)]4
)2(()22(
)2([212
22+-+++--m m p m p =2212(2)()228
m m p ++--+， ∴当2
2
+=
m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为2(2)8
m +或21
2p 。

新课标剖析
三角形（上）
板块一 特殊三角形
一、等腰三角形
①等腰三角形的两大特性。

②构造等腰三角形。

③特殊等腰三角形。

二、直角三角形
⑴直角三角形的边角关系。

①直角三角形的两锐角互余。

②三边满足勾股定理。

③边角间满足锐角三角函数。

⑵特殊直角三角形。

⑶直角三角形中的特殊线。

【例1】⑴(2010株洲市)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点。

已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC
∆为等腰三角形，则点C的个数是（）
A．6 B．7 C．8 D．9
⑵(2010顺义一模)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，
10)，点C在y轴上，且ABC
∆是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为。

⑶(2009平谷二模)已知等腰三角形一边上的高线等于某边的一半，则该等腰三角形
的顶角的度数为_________________。

⑷(2010西城一模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别
在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程
中，点B到原点的最大距离是( )
A．2B．C．D．6
板块二全等三角形
【铺垫】(2010昌平二模、2010丰台二模、石景山一模25题最后一问)
如图，ABC
=，E是BC延长线上一点，D为AC边
∠=︒，AC BC
ACB
∆中，90
上一点，且CE CD
=，你认为AE与BD相等吗？请说明理由。

【例2】(2008河北、2009平谷二模)如图，ABC
⊥，且A C B C=；
∆的边BC在直线l上，AC BC
EFP
=。

∆的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF EP
⑴在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位
置关系；
⑵将EFP
∆沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ。

猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
⑶将EFP
∆沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，
连结AP，BQ 。

你认为⑵中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

【例3】(2010房山二模)⑴如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF＋EG；
⑵若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑶如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连结CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑷观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论。

【例4】已知梯形ABCD 中，60AD BC CD BC C =∠=︒∥，，，若6028A
E B D A E ∠=︒∠=︒，。

求EBC ∠的度数。

【例5】(2007北京)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

三角形（下）
⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
⑵如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若
1
602
A DC
B EB
C A ∠=︒∠=∠=∠，，请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
⑶在ABC ∆中，如果A ∠是不等于60︒的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且
1
2DCB EBC A ∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

板块三 相似三解形
【铺垫】(2009重庆江津)在ABC ∆中，BC ＝10，B 、C 分别是图①中的中点，在图②中，B 1、
B 2、
C 1、C 2 分别是AB 、AC 的三等分点，在图③中B 1、B 2、…、B 9；C 1、C 2…、C 9分别是AB 、AC 的10等分点，则B 1C 1＋B 2C 2＋…＋B 9C 9的值是______________。

【例6】(2009石景山一模)已知：如图⑴，射线AM ∥射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、
C 分别在AM 、BN 上运动(点
D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合)，
E 是AB 边上
的动点(点E与A 、B不重合)，在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD＋DE＝AB
＝a。

⑴求证：ADE
∆；
∆∽BEC
⑵如图⑵，当点E为AB边的中点时，求证：AD＋BC＝CD；
⑶设AE＝m，请探究：BEC
∆的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示BEC
∆的周长；若无关，请说明理由。

【拓展】(2010东城一模)如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A、PB、P C，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD＋PE＋PF=；阴
影部分的面积为_____。

测试题
演练1 (2007河北)在ABC
⊥交BA的延长线于点G。

一等腰直角
∆中，AB AC
=，CG BA
三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。

⑴在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数 量关系，然后证明你的猜想；
⑵当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线 上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观 察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量 关系，然后证明你的猜想；
⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段 AC 上，且点F 与点C 不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)
图3
图1
演练2 (2010昌平二模)如图1，在菱形ABCD 中，点E F 、分别为边AD CD 、上的动点(都
与菱形的顶点不重合)，连接EF 、BE 、BF 。

⑴若60A ∠= ，且AE CF AB +=，判断BEF ∆的形状，并说明理由； ⑵在⑴的条件下，设菱形的边长为a ，求BEF ∆面积的最小值。

A
图
A
B C
E D
F
图1
演练3 (2009广西贺州)图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF ∆的直角顶点D 恰好在
30︒的三角板Rt ABC ∆斜边AB 的中点处，3045A E ∠=︒∠=︒， 90EDF ACB ∠=∠=︒，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥于M 。

⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =。

⑵ 如图2，当D F A C ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请你说明理由。

图2
图1
E
H
A
B
C
D F
G
N N
M
G
F E
D C
B
A
答案
【解析1】⑴BF CG =；
在ABF ∆和ACG ∆中，
∵90F G FAB GAC AB AC ∠=∠=︒∠=∠=，
，， ∴(AAS)ABF ACG ∆∆≌， ∴BF CG =。

⑵DE DF CG +=；
过点D 作DH CG ⊥于点H （如图4）。

∵DE BA ⊥于点E ，90G DH CG ∠=︒⊥，， ∴四边形EDHG 为矩形，∴DE HG DH BG =，∥， ∴GBC HDC ∠=∠，
∵AB AC =，∴FCD GBC HDC ∠=∠=∠， 又∵90F DHC CD DC ∠=∠=︒=，
， ∴(AAS)FDC HCD ∆∆≌，∴DF CH =。

∴GH CH DE DF CG +=+=，即DE DF CG +=。

⑶仍然成立。

【解析2】⑴答：BEF ∆的形状为等边三角形……………………………………………1分
证明：如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=
， ∴AB DC ∥，AB BC CD DA ===。

∴120ADC ∠= ，∴1260∠=∠=。

∴160ABD A ∠=∠=∠=。

∴,2AB BD A =∠=∠。

∵AE CF AB +=， DF CF CD +=， ∴AE DF =。

∴ABE △≌DBF △。

∴,34BE BF =∠=∠ ………………………………………2分 又∵3560∠+∠=
，
∴4560∠+∠=
…………………………………………3分 ∴BEF ∆为等边三角形。

⑵如图2，当BE AD ⊥时，BE 最小，此时，BEF S ∆最小。

设此时EF 与BD 交于点M ， ∴30ABE DBE ∠=∠=。

∵60BEM ∠=
，
∴90BME ∠=。

在Rt ABE △中，AB a =，
∴BE =
，∴EF a = …………4分 在Rt BEM △中，60BEM ∠=
，
12
3
4
5A
B C
E D
F
图1M
图2
F
D
E
B A
C
∴3
4BM a =…………………………………………5分
∴2113224BEF
S EF BM a ∆=⋅=⨯= …………………………6分 【解析3】⑴∵3090A ACB ∠=︒∠=︒，
，D 是AB 的中点，∴BC BD =，60B ∠=︒ ∴△BCD 是等边三角形。

又∵CN DB ⊥，∴1
2
DN DB =，
∵90EDF ∠=︒，BCD ∆是等边三角形。

∴30ADG ∠=︒，而30A ∠=︒，∴GA GD =。

∵GM AB ⊥，∴1
2
AM AD =
又∵AD DB =，∴AM DN =。

⑵∵DF AC ∥，∴30BDF A ∠=∠=︒，90AGD GDH ∠=∠=︒， ∴60ADG ∠=︒。

∵60B ∠=︒，AD DB =，
∴ADG DBH ∆∆≌，∴AG DH =，
又∵BDF A ∠=∠，GM AB ⊥，HN AB ⊥， ∴AMG DNH ∆∆≌．∴AM DN =.
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新课标剖析
四边形（上）
板块一：知识梳理
二、四边形知识结构图
三、梯形常见辅助线作法：
板块二：中考真题
特殊四边形的性质和判定
【例1】(2010莱芜)在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE。

⑴如图，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
⑵如图，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；
⑶如图，在⑵的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是；
⑷如图，在⑶的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由。

【例2】正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。

如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF。

图1
⑴如图2，若点P在线段AO上(不与点A、O重合)，PE⊥PB且PE交CD于点E。

①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、P A、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
图2
⑵若点P在线段OC上(不与点O、C重合)，PF⊥CD且PF交直线CD于点E。

请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论
(所写结论均不必证明)
图3
【例3】(2007湖北宜昌)
如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6。

△ECD是△ABC沿BC方向平移得到
的，连接AE，AC和BE相交于点O。

⑴判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
图1
⑵如图2，P是线段BC上一动点(图2)，(不与点B，C重合)，连接PO并延长交
线段AE于点Q，QR⊥BD ，垂足为点R。

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；
若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？
四边形（下）
构造平行四边形
【例4】(2010 西城二模24题)在△ABC中，点P为BC的中点。