第二章--最小二乘法和线性回归PPT课件
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▪ （5）ｕt~N 0,2,即残差项服从正态分布
-
22
▪ （二）最小二乘估计量的性质
▪ 如果满足假设(1)－(4)，由最小二乘法得到的估
计量ˆ 、ˆ 具有一些特性，它们是最优线性无
偏估计量（Best Linear Unbiased Estimators， 简记BLUE）。
-
23
▪ 估计量（estimator）：意味着ˆ 、ˆ 是包含着
图2－4 TSS、ESS、RSS的关系
-
37
▪
拟合优度
R2
＝
ESS TSS
▪ 因为 TSS=ESS+RSS
（2.37） （2.38）
▪ 所以 R2＝ESSTSSRSS1RS（S2.39） TSS TSS TSS
R20,1
▪ R2越大，说明回归线拟合程度越好；R2越小，说 明回归线拟合程度越差。由上可知，通过考察R2 的大小，我们就能粗略地看出回归线的优劣。
结果变量
原因变量
（effect variable）； （causal variable）
-
10
▪ α、β为参数（parameters）,或称回归系数 （regression coefficients）；
▪ ｕt通常被称为随机误差项（stochastic error term）,或随机扰动项（random disturbance term）,简称误差项，
其中t（=1,2,3,…..,T）表示观测数。 式（2.3）即为一个简单的双变量回归模型（因其仅 具有两个变量x, y）的基本形式。
-
9
▪ 其中yt被称作因变量 ▪ xt被称作自变量
（dependent variable）、（independent variable）、
被解释变量
解释变量
（explained variable）、（explanatory variable）、
可以进行如下变换：
ly n t lA n lx n t u t （2.11）
▪ 令Yt lnyt、lnA、Xt lnxt，则方程
（2. 11）变为：
Y t Xt ut
（2.12）
可以看到，模型2.12即为一线性模型。
-
20
▪ 4.估计量（estimator）和估计值（estimate） ▪ 估计量是指计算系数的方程；而估计值是指估
▪ 其标准正态分布为：
ˆ－
var
～N0,1
（2.32）
ˆ
var
~
N0,1
（2.33）
-
31
▪ 但是，总体回归方程中的系数的真实标准差是
得不到的，只能得到样本的系数标准差
（SEˆ、SEˆ ）。用样本的标准差去替代总体
标准差会产生不确定性，并且
ˆ
ˆ
SE ˆ 、 SE ˆ 将不再服从正态分布，而
服从自由度为T-2的t分布，其中T为样本容量
即：
ˆ
SE ˆ
~
tT 2
(2.34)
-
ˆ
SE ˆ
~ tT 2
(2.35)
32
3.正态分布和t分布的关系
图2-3 正态分布和t分布形状比较
-
33
从图形上来看，t分布的尾比较厚，均值处 的最大值小于正态分布。
随着t分布自由度的增大，其对应临界值显 著减小，当自由度趋向于无穷时，t分布就服从 标准正态分布了。
所以正态分布可以看作是t分布的一个特例。
-
34
第二节 一元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度(goodness of fit statistics)检验
拟合优度可用R2 表示：模型所要解释的
是y相对于其均值的波动性，即 yt y2
（总平方和，the total sum of squares， 简记TSS），这一平方和可以分成两部分：
-
6
▪ 对于变量间的相关关系，我们可以根据大量的 统计资料，找出它们在数量变化方面的规律 （即“平均”的规律），这种统计规律所揭示 的关系就是回归关系（regressive relationship）,所表示的数学方程就是回归方程 （regression equation）或回归模型 （regression model）。
-
4
▪ 图2-1表示的是我国货币供应量M2（y）与经过 季节调整的GDP（x）之间的关系（数据为 1995年第一季度到2004年第二季度的季度数 据）。
-
5
▪ 但有时候我们想知道当x变化一单位时，y平均 变化多少，可以看到，由于图中所有的点都相 对的集中在图中直线周围，因此我们可以以这 条直线大致代表x与y之间的关系。如果我们能 够确定这条直线，我们就可以用直线的斜率来 表示当x变化一单位时y的变化程度，由图中的 点确定线的过程就是回归。
-
38
▪ 但是，R2作为拟合优度的一个衡量标准也存在 一些问题：
（1）如果模型被重新组合，被解释变量发生了 变化，那么R2也将随之改变，因此具有不同被 解释变量的模型之间是无法来比较R2的大小的。
-
39
（2）增加了一个解释变量以后， R2只会增大 而不会减小，除非增加的那个解释变量之前的 系数为零，但在通常情况下该系数是不为零的， 因此只要增加解释变量， R2就会不断的增大， 这样我们就无法判断出这些解释变量是否应该 包含在模型中。
ˆ y ˆx
（2.5） （2.6）
-
15
▪ （二）一些基本概念 ▪ 1.总体（the population）和样本（the sample） ▪ 总体是指待研究变量的所有数据集合，可以是
有限的，也可以是无限的；而样本是总体的一 个子集。
▪ 2、总体回归方程（the population regression function，简记PRF），样本回归方程（the sample regression function，简记SRF）。
T
（residual sum of squares, 简记RSS）
uˆ
2 t
最小，即最小化：
t1
T
T
RSS= ( yt yˆt ) 2 = (yt ˆ ˆxt )2 （2.4）
t 1
t1
-
14
▪ 根据最小化的一阶条件，将式2.4分别对、求 偏导，并令其为零，即可求得结果如下 :
ˆ xt yt Txy xt2 Tx2
▪ 一、有关回归的基本介绍
金融、经济变量之间的关系，大体上可以分 为两种：
（1）函数关系：Y=f(X1,X2,….,XP)，其中Y的 值是由Xi（i=1,2….p）所唯一确定的。
（2）相关关系: Y=f(X1,X2,….,XP) ，这里Y的 值不能由Xi（i=1,2….p）精确的唯一确定。
-
3
图2-1 货币供应量和GDP散点图
计拟合直线；相反，如果xt x2越大，散点
越分散，这样就可以容易地估计出拟合直线， 并且可信度也大得多。
▪ 比较图2－2就可以清楚地看到这点。
-
27
图2－2 直线拟合和散点集中度的关系
-
28
▪ （4）xt2 项只影响截距的标准差，不影响斜率 的标准差。理由是：xt2 衡量的是散点与y轴的
距离。xt2 越大，散点离y轴越远，就越难准确
真实α、β值的估计量；
▪ 线性（linear）：意味着ˆ 、ˆ 与随机变量y之
间是线性函数关系；
▪ 无偏（unbiased）：意味着平均而言，实际得
到的ˆ 、ˆ 值与其真实值是一致的；
▪ 最优（best）：意味着在所有线性无偏估计量
里，OLS估计量 ˆ 具有最小方差。
-
24
▪ (三) OLS估计量的方差、标准差和其概率分布
▪ 1.OLS估计量的方差、标准差。
给定假设(1)－(4)，估计量的标准差计算方程如 下:
S E ˆs xt2 s xt2
T xtx2 T xt2T x2
（2.21）
SE ˆs
xt1x2s
1 xt2T x2
（2.22）
其中，s
uˆ
2 t
是残差的估计标准差。
T 2
-
25
▪ 参数估计量的标准差具有如下的性质：
比如，y= x2 就是一个线性回归模型，
但 y x 则不是。
▪ 在本课程中，线性回归一词总是对指参数β为 线性的一种回归（即参数只以一次方出现）， 对解释变量x则可以是或不是线性的。
-
19
▪ 有些模型看起来不是线性回归，但经过一些基
本代数变换可以转换成线性回归模型。例如，
yt Axteut
（2.10）
-
16
▪ 总体回归方程（PRF）表示变量之间的真实关 系，有时也被称为数据生成过程（DGP）， PRF中的α、β值是真实值，方程为：
yt xt+ u t （2. 7）
▪ 样本回归方程（SRF）是根据所选样本估算的
变量之间的关系函数，方程为：
yˆ ˆˆxt
（2.8）
注意：SRF中没有误差项，根据这一方程得到
-
35
yt y2= yˆt y2+ uˆt2 （2.36）
yˆy2是被模型所解释的部分，称为回归平方
和（the explained sum of squares，简记ESS）；
是不能被模型所解释的残差平方和（RSS）,
即 uˆt2
=
uˆt2
yt yˆt2
-
36
▪ TSS、ESS、RSS的关系以下图来表示更加直 观一些：
地估计出拟合直线与y轴的交点（即截距）； 反之，则相反。
-
29
▪ 2．OLS估计量的概率分布
▪ 给定假设条件(5)，即u t ～N0,2，则 y t 也服
从正态分布 ▪ 系数估计量也是服从正态分布的：
ˆ~N ,va r （2.30）
ˆ~N,va r （2.31）
-
30
▪ 需要注意的是：如果残差不服从正态分布，即 假设(5)不成立，但只要CLRM的其他假设条件 还成立，且样本容量足够大，则通常认为系数 估计量还是服从正态分布的。
第二章
最小二乘法（OLS） 和线性回归模型
-
1
本章要点
▪ 最小二乘法的基本原理和计算方法 ▪ 经典线性回归模型的基本假定 ▪ BLUE统计量的性质 ▪ t检验和置信区间检验的原理及步骤 ▪ 多变量模型的回归系数的F检验 ▪ 预测的类型及评判预测的标准 ▪ 好模型具有的特征
-
2
第一节 最小二乘法的基本属性
则直 ˆ 线可 ˆ 表示为
yt 。ˆ ˆxt
-
13
▪ 直线上的yt值，记为 yˆ t ，称为拟合值（fitted
value）,实际值与拟合值的差，记为u ˆ t ，称
为残差（residual） ，可以看作是随机误差
项u t 的估计值。
▪ 根据OLS的基本原则，使直线与各散点的距
离的平方和最小，实际上是使残差平方和
-
7
▪ 图2-1中的直线可表示为
y=x
（2.1）
根据上式，在确定α、β的情况下，给定一个x
值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根
据式（2.1）得到的y值与实际的y值存在一个
误差（即图2-1中点到直线的距离）。
-
8
▪ 如果我们以ｕ表示误差，则方程（2.1）变为：
y=xu （2.2）
即： yt xt ut （2.3）
▪ （1）样本容量T越大，参数估计值的标准差越 小；
▪ （2）SEˆ和SEˆ都取决于s2。 s2是残差的方差
估计量。 s2越大，残差的分布就越分散，这样 模型的不确定性也就越大。如果s2很大，这意 味着估计直线不能很好地拟合散点；
-
26
▪ （3）参数估计值的方差与xt x2 成反比。
其值越小，散点越集中，这样就越难准确地估
计出来的系数数值。
-
21
▪ 三、最小二乘估计量的性质和分布
▪ （一） 经典线性回归模型的基本假设
▪ （1）Eut 0 ，即残差具有零均值；
▪ （2）varut2<∞,即残差具有常数方差，且对 于所有x值是有限的；
▪ （3）cov ui,uj0，即残差项之间在统计意义
上是相互独立的；
▪ （4）covut,xt0，即残差项与变量x无关；
▪ 在回归模型中它是不确定的，服从随机分布 （相应的，yt也是不确定的，服从随机分布）。
-
11
▪ 为什么将ｕt 包含在模型中？ ▪ （1）有些变量是观测不到的或者是无法度量
的，又或者影响因变量yt的因素太多； ▪ （2）在yt的度量过程中会发生偏误，这些偏
误在模型中是表示不出来的；
▪ （3）外界随机因素对yt的影响也很难模型化， 比如：恐怖事件、自然灾害、设备故障等。
-
12
▪ 二、参数的最小二乘估计
▪ (一) 方法介绍
▪ 本章所介绍的是普通最小二乘法（ordinary least squares,简记OLS）;
▪ 最小二乘法的基本原则是：最优拟合直线应该 使各点到直线的距离的和最小，也可表述为距 离的平方和最小。
▪ 假定根据这一原理得到的α、β估计值为 、 ，
的是总体因变量的期望值
-
17
于是方程（2.7）可以写为：
yt ˆˆxt uˆt
（2.9）
▪ 总体y值被分解为两部分：模型拟合值（ yˆ ）
u 和残差项（ ˆ t ）。
-
18
▪ 3.线性关系
▪ 对线性的第一种解释是指：y是x的线性函数，
比如，y= x。
▪ 对线性的第二种解释是指：y是参数的一个线 性函数，它可以不是变量x的线性函数。
-
22
▪ （二）最小二乘估计量的性质
▪ 如果满足假设(1)－(4)，由最小二乘法得到的估
计量ˆ 、ˆ 具有一些特性，它们是最优线性无
偏估计量（Best Linear Unbiased Estimators， 简记BLUE）。
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23
▪ 估计量（estimator）：意味着ˆ 、ˆ 是包含着
图2－4 TSS、ESS、RSS的关系
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37
▪
拟合优度
R2
＝
ESS TSS
▪ 因为 TSS=ESS+RSS
（2.37） （2.38）
▪ 所以 R2＝ESSTSSRSS1RS（S2.39） TSS TSS TSS
R20,1
▪ R2越大，说明回归线拟合程度越好；R2越小，说 明回归线拟合程度越差。由上可知，通过考察R2 的大小，我们就能粗略地看出回归线的优劣。
结果变量
原因变量
（effect variable）； （causal variable）
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10
▪ α、β为参数（parameters）,或称回归系数 （regression coefficients）；
▪ ｕt通常被称为随机误差项（stochastic error term）,或随机扰动项（random disturbance term）,简称误差项，
其中t（=1,2,3,…..,T）表示观测数。 式（2.3）即为一个简单的双变量回归模型（因其仅 具有两个变量x, y）的基本形式。
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9
▪ 其中yt被称作因变量 ▪ xt被称作自变量
（dependent variable）、（independent variable）、
被解释变量
解释变量
（explained variable）、（explanatory variable）、
可以进行如下变换：
ly n t lA n lx n t u t （2.11）
▪ 令Yt lnyt、lnA、Xt lnxt，则方程
（2. 11）变为：
Y t Xt ut
（2.12）
可以看到，模型2.12即为一线性模型。
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20
▪ 4.估计量（estimator）和估计值（estimate） ▪ 估计量是指计算系数的方程；而估计值是指估
▪ 其标准正态分布为：
ˆ－
var
～N0,1
（2.32）
ˆ
var
~
N0,1
（2.33）
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31
▪ 但是，总体回归方程中的系数的真实标准差是
得不到的，只能得到样本的系数标准差
（SEˆ、SEˆ ）。用样本的标准差去替代总体
标准差会产生不确定性，并且
ˆ
ˆ
SE ˆ 、 SE ˆ 将不再服从正态分布，而
服从自由度为T-2的t分布，其中T为样本容量
即：
ˆ
SE ˆ
~
tT 2
(2.34)
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ˆ
SE ˆ
~ tT 2
(2.35)
32
3.正态分布和t分布的关系
图2-3 正态分布和t分布形状比较
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33
从图形上来看，t分布的尾比较厚，均值处 的最大值小于正态分布。
随着t分布自由度的增大，其对应临界值显 著减小，当自由度趋向于无穷时，t分布就服从 标准正态分布了。
所以正态分布可以看作是t分布的一个特例。
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34
第二节 一元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度(goodness of fit statistics)检验
拟合优度可用R2 表示：模型所要解释的
是y相对于其均值的波动性，即 yt y2
（总平方和，the total sum of squares， 简记TSS），这一平方和可以分成两部分：
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6
▪ 对于变量间的相关关系，我们可以根据大量的 统计资料，找出它们在数量变化方面的规律 （即“平均”的规律），这种统计规律所揭示 的关系就是回归关系（regressive relationship）,所表示的数学方程就是回归方程 （regression equation）或回归模型 （regression model）。
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▪ 图2-1表示的是我国货币供应量M2（y）与经过 季节调整的GDP（x）之间的关系（数据为 1995年第一季度到2004年第二季度的季度数 据）。
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▪ 但有时候我们想知道当x变化一单位时，y平均 变化多少，可以看到，由于图中所有的点都相 对的集中在图中直线周围，因此我们可以以这 条直线大致代表x与y之间的关系。如果我们能 够确定这条直线，我们就可以用直线的斜率来 表示当x变化一单位时y的变化程度，由图中的 点确定线的过程就是回归。
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38
▪ 但是，R2作为拟合优度的一个衡量标准也存在 一些问题：
（1）如果模型被重新组合，被解释变量发生了 变化，那么R2也将随之改变，因此具有不同被 解释变量的模型之间是无法来比较R2的大小的。
-
39
（2）增加了一个解释变量以后， R2只会增大 而不会减小，除非增加的那个解释变量之前的 系数为零，但在通常情况下该系数是不为零的， 因此只要增加解释变量， R2就会不断的增大， 这样我们就无法判断出这些解释变量是否应该 包含在模型中。
ˆ y ˆx
（2.5） （2.6）
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15
▪ （二）一些基本概念 ▪ 1.总体（the population）和样本（the sample） ▪ 总体是指待研究变量的所有数据集合，可以是
有限的，也可以是无限的；而样本是总体的一 个子集。
▪ 2、总体回归方程（the population regression function，简记PRF），样本回归方程（the sample regression function，简记SRF）。
T
（residual sum of squares, 简记RSS）
uˆ
2 t
最小，即最小化：
t1
T
T
RSS= ( yt yˆt ) 2 = (yt ˆ ˆxt )2 （2.4）
t 1
t1
-
14
▪ 根据最小化的一阶条件，将式2.4分别对、求 偏导，并令其为零，即可求得结果如下 :
ˆ xt yt Txy xt2 Tx2
▪ 一、有关回归的基本介绍
金融、经济变量之间的关系，大体上可以分 为两种：
（1）函数关系：Y=f(X1,X2,….,XP)，其中Y的 值是由Xi（i=1,2….p）所唯一确定的。
（2）相关关系: Y=f(X1,X2,….,XP) ，这里Y的 值不能由Xi（i=1,2….p）精确的唯一确定。
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3
图2-1 货币供应量和GDP散点图
计拟合直线；相反，如果xt x2越大，散点
越分散，这样就可以容易地估计出拟合直线， 并且可信度也大得多。
▪ 比较图2－2就可以清楚地看到这点。
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27
图2－2 直线拟合和散点集中度的关系
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28
▪ （4）xt2 项只影响截距的标准差，不影响斜率 的标准差。理由是：xt2 衡量的是散点与y轴的
距离。xt2 越大，散点离y轴越远，就越难准确
真实α、β值的估计量；
▪ 线性（linear）：意味着ˆ 、ˆ 与随机变量y之
间是线性函数关系；
▪ 无偏（unbiased）：意味着平均而言，实际得
到的ˆ 、ˆ 值与其真实值是一致的；
▪ 最优（best）：意味着在所有线性无偏估计量
里，OLS估计量 ˆ 具有最小方差。
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24
▪ (三) OLS估计量的方差、标准差和其概率分布
▪ 1.OLS估计量的方差、标准差。
给定假设(1)－(4)，估计量的标准差计算方程如 下:
S E ˆs xt2 s xt2
T xtx2 T xt2T x2
（2.21）
SE ˆs
xt1x2s
1 xt2T x2
（2.22）
其中，s
uˆ
2 t
是残差的估计标准差。
T 2
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25
▪ 参数估计量的标准差具有如下的性质：
比如，y= x2 就是一个线性回归模型，
但 y x 则不是。
▪ 在本课程中，线性回归一词总是对指参数β为 线性的一种回归（即参数只以一次方出现）， 对解释变量x则可以是或不是线性的。
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19
▪ 有些模型看起来不是线性回归，但经过一些基
本代数变换可以转换成线性回归模型。例如，
yt Axteut
（2.10）
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16
▪ 总体回归方程（PRF）表示变量之间的真实关 系，有时也被称为数据生成过程（DGP）， PRF中的α、β值是真实值，方程为：
yt xt+ u t （2. 7）
▪ 样本回归方程（SRF）是根据所选样本估算的
变量之间的关系函数，方程为：
yˆ ˆˆxt
（2.8）
注意：SRF中没有误差项，根据这一方程得到
-
35
yt y2= yˆt y2+ uˆt2 （2.36）
yˆy2是被模型所解释的部分，称为回归平方
和（the explained sum of squares，简记ESS）；
是不能被模型所解释的残差平方和（RSS）,
即 uˆt2
=
uˆt2
yt yˆt2
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36
▪ TSS、ESS、RSS的关系以下图来表示更加直 观一些：
地估计出拟合直线与y轴的交点（即截距）； 反之，则相反。
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29
▪ 2．OLS估计量的概率分布
▪ 给定假设条件(5)，即u t ～N0,2，则 y t 也服
从正态分布 ▪ 系数估计量也是服从正态分布的：
ˆ~N ,va r （2.30）
ˆ~N,va r （2.31）
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30
▪ 需要注意的是：如果残差不服从正态分布，即 假设(5)不成立，但只要CLRM的其他假设条件 还成立，且样本容量足够大，则通常认为系数 估计量还是服从正态分布的。
第二章
最小二乘法（OLS） 和线性回归模型
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1
本章要点
▪ 最小二乘法的基本原理和计算方法 ▪ 经典线性回归模型的基本假定 ▪ BLUE统计量的性质 ▪ t检验和置信区间检验的原理及步骤 ▪ 多变量模型的回归系数的F检验 ▪ 预测的类型及评判预测的标准 ▪ 好模型具有的特征
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2
第一节 最小二乘法的基本属性
则直 ˆ 线可 ˆ 表示为
yt 。ˆ ˆxt
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13
▪ 直线上的yt值，记为 yˆ t ，称为拟合值（fitted
value）,实际值与拟合值的差，记为u ˆ t ，称
为残差（residual） ，可以看作是随机误差
项u t 的估计值。
▪ 根据OLS的基本原则，使直线与各散点的距
离的平方和最小，实际上是使残差平方和
-
7
▪ 图2-1中的直线可表示为
y=x
（2.1）
根据上式，在确定α、β的情况下，给定一个x
值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根
据式（2.1）得到的y值与实际的y值存在一个
误差（即图2-1中点到直线的距离）。
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8
▪ 如果我们以ｕ表示误差，则方程（2.1）变为：
y=xu （2.2）
即： yt xt ut （2.3）
▪ （1）样本容量T越大，参数估计值的标准差越 小；
▪ （2）SEˆ和SEˆ都取决于s2。 s2是残差的方差
估计量。 s2越大，残差的分布就越分散，这样 模型的不确定性也就越大。如果s2很大，这意 味着估计直线不能很好地拟合散点；
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▪ （3）参数估计值的方差与xt x2 成反比。
其值越小，散点越集中，这样就越难准确地估
计出来的系数数值。
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▪ 三、最小二乘估计量的性质和分布
▪ （一） 经典线性回归模型的基本假设
▪ （1）Eut 0 ，即残差具有零均值；
▪ （2）varut2<∞,即残差具有常数方差，且对 于所有x值是有限的；
▪ （3）cov ui,uj0，即残差项之间在统计意义
上是相互独立的；
▪ （4）covut,xt0，即残差项与变量x无关；
▪ 在回归模型中它是不确定的，服从随机分布 （相应的，yt也是不确定的，服从随机分布）。
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11
▪ 为什么将ｕt 包含在模型中？ ▪ （1）有些变量是观测不到的或者是无法度量
的，又或者影响因变量yt的因素太多； ▪ （2）在yt的度量过程中会发生偏误，这些偏
误在模型中是表示不出来的；
▪ （3）外界随机因素对yt的影响也很难模型化， 比如：恐怖事件、自然灾害、设备故障等。
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12
▪ 二、参数的最小二乘估计
▪ (一) 方法介绍
▪ 本章所介绍的是普通最小二乘法（ordinary least squares,简记OLS）;
▪ 最小二乘法的基本原则是：最优拟合直线应该 使各点到直线的距离的和最小，也可表述为距 离的平方和最小。
▪ 假定根据这一原理得到的α、β估计值为 、 ，
的是总体因变量的期望值
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于是方程（2.7）可以写为：
yt ˆˆxt uˆt
（2.9）
▪ 总体y值被分解为两部分：模型拟合值（ yˆ ）
u 和残差项（ ˆ t ）。
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▪ 3.线性关系
▪ 对线性的第一种解释是指：y是x的线性函数，
比如，y= x。
▪ 对线性的第二种解释是指：y是参数的一个线 性函数，它可以不是变量x的线性函数。