课程资料：第四章向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性
第一节向量组的线性相关性
一.数学概念
定义1.1 ”个有次序的数6,6,,所组成的数组称为"维向量，这”个数称为该
向量的"个分量，第F个数勺称为第i个分量。

定义1.2给泄向量组A：叭、％广、％ ,对于任何一组实数虬心“乂，向量
&牙 + &吗 + ・•• + ^m or n
称为向疑组A的一个线性组合，虬&・••，/称为这个线性组合的系数。

定义3给泄向量组A：和向疑£,若存在一组数无"昇•几，使0=人坷4■人吗十…+人％ ,
则称向虽〃是向量组A的线性组合，这时称向量3能由向量组A线性表示。

定义4给泄向疑组A：6宀…％ ,若存在一组不全为零的数从“、扎,使
如+也+・・・+也，,
则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的。

定义5设有两个向量组A：JS 'U ,及匕炼傢…，同,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称B能向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向疑组等价。

二.原理，公式和法则
1.判断向量组的线性相关性的基本原理的：
人吗+勺丐+・・・+血％二0
当上式成立时，人込厂不全为0,则可确左…，耳线性相关，若只有人泌二…二九二° ,则
可确定6%•:务线性无关。

2.向量线性相关性的判定
1）一个向量a是线性相关的充分必要条件是：*0；
2）两个向量是线性相关的充分必要条件是：它们对应的分量成比例。

3）/1个“维向量线性相关的充分必要条件是：由它们组成的n阶行列式为零。

4）向量组SW%线性相关的充分必要条件是：向量组中至少有一个向量能由其余的个向量线性表示。

5）向量组6心，：％线性相关的充分必要条件是：由它构成的矩阵/二（吗，吟…,％）的秩小于向量的个数札
6）若向量组叭宀广、％线性相关，则向量组%吟…宀％1也线性相关。

7）当时，加个"维向量必线性相关。

8）—个向量a线性无关的充分必要条件是：QH0。

9）两个向量是线性无关的充分必要条件是：它们对应的分量不成比例。

10）n个"维向疑线性无关的充分必要条件是：由它们组成的“阶行列式不等于零。

11）向量组线性无关的充分必要条件是：由它构成的矩阵/二（吗，吟…心）的秩等于向量的个数皿
12）整组向量线性无关，则它们的任何部分组也线性无关。

13）若r维的向屋组线性无关，而在r维的向量组中的每个向量的后边添上一个分量，则r+1维的向量也线性无关。

3.若向量组6宀…％线性无关，而SW%，〃线性相关，则0能由64,…，耳线性表示，且表示法是唯一的，
4.判定向量组线性相关性的方法：①左义法；②反证法：③判立法：④计算法。

第二节•向量组的秩
一.数字概念
定义2.1设有向量组A,如果在A中存在'•个向量64"…，吗，满足
(1)向量组A严吟…吗线性无关；
(2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关，那末称向量组A<)是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组)。

定义2.2向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩「
矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向呈:组中秩称为矩阵行秩一
二.原理，公式与法则
定理2.1 /?(A)=A的行秩=A的列秩
定理2.2向量组A与其最大无关组4等价。

定理2.3设向疑组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大雨向量组A的秩。

推论1等价向量组的秩相等。

推论2设匚加八=冬n，则尺。

〉《｛崔咼，尺巧｝
推论3设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向疑组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。

第三节向量空间
一.数字概念
定义3.1设V是“维向量集合，且非空，若
⑴如处S厂+处「
(ii) Vize V,几已兄则。

则称V是一个向量空间。

定义3.2设％和耳是两个向量空间，若％匸巧,则称X 是眄的子空间。

定义33设V为向疑空间，如果厂个向量®'色'碍'"，且满足
(「)珂，%…，丐线性无关：
(ii) V中的任一向量都可由 6，迈，…，丐线性表示，则称向量
组％迈'丐是向量空间V的一个基，r称为向量空间V是维数，并称#为/•维向
量空间。

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二.原理，公式和法则
等价的向星组所生成的向量空间相等。

把向量空间看作向量组，向量空间的基就是向量组的极大无关组，向量空间的维数就是向量组的秩。

第四节线性方程组解的结构
一・数学概念
1.齐次线性方程组
Ax=O
2.非齐次线性方程组
Ax=b如0)
3.齐次线性方程组的基础解系
爲爲*是&r=0的解，满足
⑴爲鼻…，生y线性无关:
(ii)Ax=O的任何一解都可由氐 & 生虫线性表示。

4.齐次线性方程组Ax=()的通解
x二咗+&疡+ -+J乩eR
5.非齐次线性方程组的通解
文二十g +…十―乩十才枕◎…北I e R
二.原理，公式和法则
1."个未知数的齐次方程组Ax=O有非零解的充分必要条件是R(A)5
2.“个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要提哦案件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩。

且当R⑷=R(B)=n时，方程组有唯一解，当R(A)=R(B)=r<n时方程组有无穷多个解。

3•若，x=©为Ax=O的解，则計乞也是4x=0的解“
4•若％ =舀是4*0的解，朕尺,则恋是血=°的解。

5•若Xf是心为的两个解，则兀W址是心0的解。

6.若X=?是A*0的解，帀'是AxT的解，则 "是AxT的解。

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1.H元齐次线性方程组A^X=Q的全体解所构成的集合S的一个向量空间，当系数矩阵的秩/?(A)=r时，解空间是”-r维的。