高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性教师用书

2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用 3.2 导数的应用第1课时导数与函数的单调性教师用书文北师大版
1．函数的单调性
如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．
2．函数的极值
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【知识拓展】
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条
件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
(3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内是增加的，那么一定有f′(x)>0.( ×)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( ×)
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √)
(6)三次函数在R上必有极大值和极小值．( ×)
1．(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
答案 A
解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由f′(x)<0，得0<x<4，
所以递减区间为(0,4)．
2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增加的
B ．在区间(1,3)上f (x )是是减少的
C ．在区间(4,5)上f (x )是增加的
D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值 答案 C
解析 在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数；同理，函数在(1,3)上也不是单调函数；在x ＝2的左侧，函数在(－3
2，2)上是增加的，在x
＝2的右侧，函数在(2,4)上是减少的，所以当x ＝2时，f (x )取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上是增加的．
3．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有
f ′(x )<2(x ∈R )，则不等式f (x )<2x ＋1的解集为( )
A ．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C ．(－1,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 A
解析 令g (x )＝f (x )－2x －1，∴g ′(x )＝f ′(x )－2<0， ∴g (x )在R 上为减函数，g (1)＝f (1)－2－1＝0. 由g (x )<0＝g (1)，得x >1，故选A.
4．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A
解析 函数的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1－1x ＝x －1
x
，
令f ′(x )<0，得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．
5．设a ∈R ，若函数y ＝e x
＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－1)
解析 ∵y ＝e x
＋ax ，∴y ′＝e x
＋a .
∵函数y ＝e x
＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x
＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x
<－1，∴a ＝－e x
<－1.
第1课时 导数与函数的单调性
题型一 不含参数的函数的单调性
例1 (1)函数y ＝12x 2
－ln x 的递减区间为( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是____________．
答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 (1)y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2
－1
x
＝
x －1
x ＋1
x
(x >0)．
令y ′<0，得0<x <1，∴递减区间为(0,1)． (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，
则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
即f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.
思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；
(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为递增区间；
(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为递减区间．
(1)函数y ＝4x 2
＋1x
的单调增区间为( )
A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12
(2)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上递增 B ．在(0，＋∞)上递减 C ．在(0，1e )上递增 D ．在(0，1
e )上递减
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由y ＝4x 2
＋1x ，得y ′＝8x －1x
2，
令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >1
2
，
∴函数y ＝4x 2
＋1x 的增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.故选B.
(2)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1
e ，
即函数的递增区间为(1
e ，＋∞)；
当f ′(x )<0时，解得0<x <1
e ，
即函数的递减区间为(0，1
e )，故选D.
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2
＋ax ＋1(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．
解 f ′(x )＝x 2
＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，
f (x )在R 上是增加的；
②当1－a >0，即a <1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝
－2－41－a
2＝－1－1－a ，x 2＝－1
＋1－a ，
令f ′(x )>0，解得x <－1－1－a 或x >－1＋1－a ；
令f ′(x )<0，解得－1－1－a <x <－1＋1－a ，
所以f (x )的递增区间为(－∞， －1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)；
f (x )的递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．
综上所述：当a ≥1时，f (x )在R 上是增加的；
当a <1时，f (x )的递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，
f (x )的递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3
，f ′(x )＝3x 2
≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．
讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2
＋1的单调性．
解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2
＋a －1
x
.
①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是增加的； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上是减少的； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝
1－a
2a
，则当x ∈(0, 1－a
2a
)时，f ′(x )<0；当x ∈(
1－a
2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0, 1－a
2a
)上是减少的，在( 1－a
2a
，＋∞)上是增加的．
题型三 已知函数单调性求参数
例3 (2016·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2
＋2x (a ≠0)．
(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在递减区间，求a 的取值X 围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上递减，求a 的取值X 围． 解 (1)h (x )＝ln x －12
ax 2
－2x ，x ∈(0，＋∞)，
所以h ′(x )＝1
x
－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在递减区间，
所以当x ∈(0，＋∞)时，1
x
－ax －2<0有解，
即a >1x 2－2
x
有解．
设G (x )＝1x 2－2
x
，所以只要a >G (x )min 即可．
而G (x )＝(1x
－1)2
－1，所以G (x )min ＝－1.
所以a >－1.
(2)由h (x )在[1,4]上是减少的，得
当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1
x
－ax －2≤0恒成立，
即a ≥1x 2－2
x
恒成立，
所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x
－1)2
－1，
因为x ∈[1,4]，所以1x ∈[1
4，1]，
所以G (x )max ＝－7
16
(此时x ＝4)，
所以a ≥－716，即a 的取值X 围是[－7
16，＋∞)．
引申探究
1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上是增加的，求a 的取值X 围． 解 由h (x )在[1,4]上是增加的，得 当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， ∴当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2
x
恒成立，
又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2
x
)min ＝－1(此时x ＝1)，
∴a ≤－1，即a 的取值X 围是(－∞，－1]．
2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在递减区间，求a 的取值X 围． 解 h (x )在[1,4]上存在递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， ∴当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2
x
有解，
又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2
x
)min ＝－1，
∴a >－1，即a 的取值X 围是(－1，＋∞)．
思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．
(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．
已知函数f (x )＝e x
ln x －a e x
(a ∈R )．
(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1
e x ＋1垂直，求a 的值；
(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，某某数a 的取值X 围． 解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x
－a ＋ln x )e x
，
f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e
＝－1，得a ＝2.
(2)由(1)知f ′(x )＝(1x
－a ＋ln x )e x
，
若f (x )为减函数，则f ′(x )≤0在x >0时恒成立． 即1
x
－a ＋ln x ≤0在x >0时恒成立．
所以a ≥1
x
＋ln x 在x >0时恒成立．
令g (x )＝1
x
＋ln x (x >0)，
则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1
x
2(x >0)，
由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.
故g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，此时g (x )的最小值为g (1)＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)． 故f (x )不可能是减函数． 若f (x )为增函数，
则f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即1
x
－a ＋ln x ≥0在x >0时恒成立，
所以a ≤1
x
＋ln x 在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.
故实数a 的取值X 围是(－∞，1]．
5．用分类讨论思想研究函数的单调性
典例 (12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2
＋bx ，其中函数g (x )的图像在点(1，
g (1))处的切线平行于x 轴．
(1)确定a 与b 的关系；
(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．
思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：
①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． 规X 解答
解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2
＋bx ， 则g ′(x )＝1
x
＋2ax ＋b .[2分]
由函数g (x )的图像在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.[4分]
(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2
－2a ＋1x ＋1
x
＝
2ax －1x －1x
.
∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－
x －1
x
. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1，[6分] 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1
2a
，[7分]
若12a <1，即a >12
， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，
由g ′(x )<0，得1
2a <x <1；[9分]
若12a >1，即0<a <12
， 由g ′(x )>0，得x >1
2a 或0<x <1，
由g ′(x )<0，得1<x <1
2a
，
若12a ＝1，即a ＝1
2，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0.[11分] 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上是增加的， 在(1，＋∞)上是减少的；
当0<a <1
2时，函数g (x )在(0,1)上是增加的，
在(1，12a )上是减少的，在(1
2a ，＋∞)上是增加的；
当a ＝1
2时，函数g (x )在(0，＋∞)上是增加的；
当a >12时，函数g (x )在(0，1
2a
)上是增加的，
在(1
2a
，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．[12分]
1．函数f (x )＝(x －3)e x
的递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 答案 D
解析 函数f (x )＝(x －3)e x
的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x
]′＝e x
＋(x －3)e x
＝(x －2)e x
. 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )是增加的， 此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x
>0，解得x >2.
2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，
故“a >0”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．
3．已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( )
A ．f (2)>f (3)>f (π)
B ．f (3)>f (2)>f (π)
C ．f (2)>f (π)>f (3)
D ．f (π)>f (3)>f (2)
答案 D
解析 因为f (x )＝1＋x －sin x ，所以f ′(x )＝1－cos x ，
当x ∈(0，π]时，f ′(x )>0，
所以f (x )在(0，π]上是增加的，
所以f (π)>f (3)>f (2)．
故选D.
4．已知函数f (x )＝x ＋1ax 在(－∞，－1)上是增加的，则实数a 的取值X 围是(
) A ．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1]
C ．(0,1]
D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)
答案 D
解析 函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1
ax 2，
由于f (x )在(－∞，－1)上是增加的，
则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，
即1a ≤x 2在(－∞，－1)上恒成立，
由于当x <－1时，x 2>1，
则有1a
≤1，解得a ≥1或a <0. 5．(2016·某某模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( )
A ．f (b )>f (c )>f (d )
B ．f (b )>f (a )>f (e )
C ．f (c )>f (b )>f (a )
D ．f (c )>f (e )>f (d )
答案 C
解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，
所以函数f (x )在(－∞，c )上是增加的，
因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，因此C 正确．
6．(2017·某某市武宁一中月考)已知定义在R 上的函数f (x )和g (x )分别满足f (x )＝f ′1
2·e 2x －2＋x 2
－2f (0)·x ，g ′(x )＋2g (x )<0，则下列不等式成立的是( ) A ．f (2)·g (2 015)<g (2 017)
B ．f (2)·g (2 015)>g (2 017)
C ．g (2 015)<f (2)·g (2 017)
D ．g (2 015)>f (2)·g (2 017)
答案 D
解析 f ′(x )＝f ′(1)·e 2x －2＋2x －2f (0)，
∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，
∴f (0)＝1.
将f (0)代入f (x )可得f ′(1)＝2e 2
，
∴f (x )＝e 2x ＋x 2－2x ，
∴f (2)＝e 4，
又由g ′(x )＋2g (x )<0，得
e 2x ·g ′(x )＋2e 2x ·g (x )<0，
∴φ(x )＝e 2x ·g (x )为减函数，
∴φ(2 015)>φ(2 017)，∴g (2 015)>e 4·g (2 017)，
即g (2 015)>f (2)·g (2 017)．
7．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________. 答案 －12
解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根，
∴b ＝－3，c ＝－9，b ＋c ＝－12.
8．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12
，则不等式f (x 2)<x 22＋12
的解集为________________． 答案 {x |x <－1或x >1}
解析 设F (x )＝f (x )－12
x ， ∴F ′(x )＝f ′(x )－12
， ∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12
<0， 即函数F (x )在R 上是减少的，
∵f (x 2)<x 22＋12
， ∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2
)<F (1)，而函数F (x )在R 上是减少的，
∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23
，＋∞)上存在递增区间，则a 的取值X 围是________． 答案 (－19
，＋∞) 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a
＝－(x －12)2＋14
＋2a . 当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29
＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19
， 所以a 的取值X 围是(－19
，＋∞)． 10．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值X 围为________．
答案 (－∞，52
] 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，
即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x
恒成立． 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2， ∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加的，
∴m ≤2＋12＝52
. 11．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32
，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12
x . (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间．
解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x
(x >0)， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54
. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32
， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2(x >0)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.
因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，
故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，
故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 综上，f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．
12．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12
ax ＋b . (1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；
(2)若φ(x )＝m x －1x ＋1
－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围． 解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，
∴f ′(1)＝1＝12
a ，∴a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12
a ＋
b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1. (2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1
－ln x 在[1，＋∞)上是减函数． ∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12
≤0在[1，＋∞)上恒成立． 即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m －2≤x ＋1x
，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x
∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值X 围是(－∞，2]．
13.(2016·某某某某一中高三月考)已知函数f (x )＝13x 3－a 2
x 2. (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)上存在递减区间，某某数a 的取值X 围．
解 (1)f ′(x )＝x 2
－ax ＝x (x －a )，
①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，
∴f (x )在R 上是增加的；
②当a >0时，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；
当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，
∴f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，减区间为(0，a )； ③当a <0时，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )>0；
当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，减区间为(a,0)．
(2)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，
即当x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x
)max ＝－22即可． ∴满足要求的a 的取值X 围是(－∞，－22)．。