单位阶跃响应

22
反馈控制系统分析例（一阶）
已知受控对象 P( s ) 10 ， 控制器 C( s ) K
2s 1
检测环节 F( s ) 0.2，
并设 R( s ) 1 s
则 Y ( s ) CP 10 K K0
R( s ) 1 CPF 2s 1 2K Ts 1
其中
③ 抛物线（加速度）信号 r(t)
r(t) 1 At 2 1(t) 2
R(s) = A / s3
0
t
A=1 时 单位抛物线信号
7
④ 脉冲信号
r(t)
A
A/ , 0 t r( t ) 0 , t 0 或 t

0
令ε→0，即得脉冲信号的数学表达式为
, t 0 r( t ) 0 , t 0
1 时，y( t ) 1 ent ( 1 nt )
1时， y( t ) 1 n ( 1 es1t 1 es2t )
2 2 1 s1
s2
其中 s1,2 n n 2 1
特点：有两个负实数极点，y(t)单调收敛
s1,2 收敛的快速性
第三章
控制系统的运动分析
1
本章主要内容
1. 对自动控制系统的基本要求 2. 几种典型输入信号及响应之间的关系 3. 控制系统的暂态响应特性 4. 控制系统的稳定性 5. 控制系统的稳态误差
2
3.1 对自动控制系统的基本要求
稳定性
re
u
y
控制器
对象
受扰后能恢复平衡，
跟踪输入信号时不 振荡或发散
y( t )的包络线为 ent
yb( t ) 1 1 2
20
（2）一阶系统的单位脉冲响应
y( t )
d（单位阶跃响应）
1 t e T,
t0
dt
T
变化趋势与阶跃响应一致
21
（3）一阶系统的单位斜坡响应
y( t ) t (阶跃响应)dt 0 t (t T) TeT 稳态分量 暂态分量
有稳态误差(ess=T) 变化趋势同样与阶跃响应一致
其中
K1

2K 2 1 2K
，T

1
2 2K
∴ K↑ u↑
u图
K与稳态误差 ess 的关系：
e图

lim
t
y(
t
)

K0

10 K 1 2K
，
其期望值 = 5

ess

5
10 K 1 2K

5 1 2K
即 K↑ ess↓
24
抗扰性分析
设 D( s ) 1 ， 其余同前，即P( s ) 10 ，
12
阶跃响应 脉冲响应的积分 即 斜坡响应 阶跃响应的积分
抛物线响应 斜坡响应的积分
脉冲响应=阶跃响应的微分
或 阶跃响应=斜坡响应的微分 斜坡响应=抛物线响应的微分
注：最常用的是单位阶跃响应
r(t)
y(t)
系统
13
3.3 控制系统的暂态响应特性
单位阶跃响应与性能指标 一阶系统的暂态响应特性 二阶规范型系统的暂态响应特性 零点对二阶系统暂态响应的影响 高阶系统的暂态响应
14
3.3.1 单位阶跃响应与性能指标
性能指标：优化类， 非优化类
如 e2 ( t )dt , t1 u2 ( t )dt
0
0
响应曲线的特性
优化需要较多的数学 r e
u
y
分析和计算，而基于
控制器
对象
响应曲线特性的非优
检测
化问题则更为直观。
反馈控制系统
本章讨论非优化类的暂态和稳态指标。
15
A
A 为常数
0
t
A=1 时 单位阶跃信号，常表示为
r(t) = 1( t )
一般情况下可表示为 r(t) = A×1( t )
对应的拉氏变换为
R(s) = A / s
6
② 斜坡（速度）信号
r(t)
r( t ) At 1( t )
R(s) = A / s2
A=1 时 单位斜坡信号
0
t
s1 ,2
)
对y( t )求导可得 sin(d t ) 0
峰值时间
tp

π ωd

ωn
π
1 2
n jn 1
s平面 j
s1 × cos
n
d
n
0
s2 ×
极点位置与阻尼角
2
特点：t p 与极点的虚部成反比
（也可看作 一定时与极点的实部成反比）
dtr π
tr ωd
s平面 j
s1 × cos
n
d
n
0
s2 ×
极点位置与阻尼角
特点：tr 与极点的虚部成反比
（也可看作 一定时与极点的实部成反比）
y( t ) 1
e nt
1 2
sin(d t
)
37
2. 调节时间
直接求解比较困难， ∴根据包络线估算
n
d
n
0
s2 ×
极点位置与阻尼角
特点：超调量只与 或 有关，且有
或 σ p
（ 1 σ p 0 ; 0 σ p 100%）
36
2. 上升时间
令 y(t) y( ) 1 可得 ttr sin(d tr ) 0
s
2s 1
F( s ) 0.2， C( s ) K
则 Y( s ) 1 2s 1 1 Kd D( s ) 1 CPF 2s 1 2K Ts 1
其中
Kd

2K 1 2K
，Tபைடு நூலகம்

2 1 2K
抗扰性能：
R( s )
K↑ T↓，1-Kd↓ 快速性↑，稳态误差↓
典型响应：系统在零初始状态下，在典型输入 信号作用下的响应。如：单位脉冲响应、单位 阶跃响应、单位斜坡响应、单位抛物线响应。
r(t)
y(t)
系统
11
r(t) 系统 y(t) R(s) G(s) Y(s)
4种典型响应之间的关系
R(s)
Y(s)
( t )
1
Y1 ( s )

r(t)


K0

10 K 1 2K
，T

2 1 2K
图
暂态性能：
R( s ) E( s )
U( s )
Y(s)
C(s)
P(s)
K↑ T↓快速性↑
F(s)
23
K与控制量u(t)的关系：
U( s ) C K( 2s 1) K K1
R( s ) 1 CPF 2s 1 2K
Ts 1
s2 2
9
4 种典型输入信号之间的关系
微 对抛物线信号微分 = 斜坡信号
分 关
对斜坡信号微分 = 阶跃信号
系 对阶跃信号微分 = 脉冲信号
积 对脉冲信号积分 = 阶跃信号
分 关
对阶跃信号积分 = 斜坡信号
系 对斜坡信号积分 = 抛物线信号
10
典型初始条件与典型响应
典型初始条件：零初始状态，即 在t=0时 系统 的输入及输出以及各阶导数均为零。即在外作 用施加之前系统是静止的。
1 时，y( t ) 1 ent ( 1 nt )，响应曲线？
第2式对 1 也成立，对应的y( t ) ?
33
二阶规范系统的单位阶跃响应（ζ≥0）
2.0 1.8 1.6
0.4 1.4
0.5
y(t) 1.2 0.6
1.0 0.7 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2
稳态响应性能
稳态跟踪精度高或稳态误差小
动态（暂态）响应性能
检测
反馈控制系统
可概括为 稳、 快、 准
（跟踪、抗扰）响应的快速性、平稳性好 稳定、平稳
3
典型跟踪响应：
期望值
y
time 4
典型抗扰响应：
期望值
加扰动
y time
5
3.2 几种典型输入信号及响应之间的关系
① 阶跃信号
r(t)
A, t 0 r(t) 0 , t 0
1(
t
t
)

1
t
2
2
1 s
Y2 ( s )
1 s 2
Y3 ( s )
1 s3
Y4 ( s )

Y2(s)

1 s Y1(
s
),
Y3(s)

1 s Y2 (
s
),
Y4(s)

1 s Y3 (
s
);
或 Y1(s) sY2 ( s ), Y2(s) sY3 ( s ), Y3(s) sY4 ( s )
,
R(s) = A

r( t )dt A

矩形 脉冲
t
A=1时 单位脉冲函数，记作δ(t)
8
⑤ 正弦信号
r(
t
)

A 0,
sin( t
t0


),
t0
A为振幅，ω为角频率，φ为初始相角。
s sin cos
R( s )
s2 2 0 R( s )
对上式进行拉氏反变换得
t
y(t) 1 e T , t 0
T<0时， y(t)？
稳态分量
暂态分量
K≠1 时， y(t)=？
19
0.9 0.1
暂态性能指标：ts= 3T（Δ=5% ）, tr=2.2T, σp= 0
稳态指标：ess= 0
ts= 4T（Δ=2% ）
特点：T↓（极点与虚轴的距离↑） 快速性↑
单位阶跃响应1——非振荡型
y(t)
1
0.9 y( )
误差带Δ=5%
1.05 y( )
0.95 y( )
ess
0.1 y( )
0
tr ts
ess:稳态误差 tr:上升时间 ts:调节时间
t
16
单位阶跃响应2——衰减振荡型
y(t)
误差带Δ=5%
超调量
1
y( )
0
tr
tp
ess:稳态误差 tr:上升时间 tp:峰值时间
35
超调量
σp

y(t p ) y() y()

y(t p ) 1

ent p
1 2
π
sin( d t p )
ent p sin ent p 1 2




e 1 2 e 1 2 100%
s平面 j
s1 × cos
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
误差带Δ=5%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
ζ≈0.7 时按Δ=5%调节时间最短（称为最佳阻尼比）34
欠阻尼二阶系统的暂态指标估算
1. 峰值时间与超调量
系统极点为
y( t ) 1
ent
1 2
sin( d t
ts:调节时间
1.05 y( )
ess
0.95 y( )
超调量:
σp(%)
y(t p ) y() 100% y()
t
ts
17
3.3.2 一阶系统的暂态响应特性
数学模型为 T dy( t ) y( t ) Kr( t ) dt
r(t)
y(t)
系统
Y( s ) K G( s ) R( s ) Ts 1
29
3.3.3 二阶规范型系统的暂态响应特性
数学模型为
（只讨论阶跃响应）
R(s)
Y(s)
G(s)
Y ( s ) G( s )
1

n2
R( s )
T 2s2 2 Ts 1
s2

2n
s


2 n

：无阻尼自然振荡频率，
n
：阻尼比
系统极点为 s1,2 n n 2 1
C(s)
P(s)
F(s)
d图
D( s ) Y(s)
25
Simulink仿真结构图
26
输出量仿真曲线（无扰动）
K=10
y(t)
K=5
K=2
time
27
控制量仿真曲线（无扰动）
K=10
u(t)
K=5
K=2
time
28
输出量仿真曲线（有扰动）
K=10
y(t) d=1(t-5)
K=5 K=2
time
R(s)
Y(s)
G(s)
S平面 j
以下设 K=1 ，T>0
T<0时G的极点位置？
P=-1/T 0
T>0时G的极点分布
18
一阶系统的典型响应
（1）单位阶跃响应
R( s ) 1 s
r(t) 系统 y(t) R(s) G(s) Y(s)
Y ( s ) G( s ) R( s ) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
注：阻尼角与极点位置的关系
系统极点为
s1,2 n jn1 2 d
s平面 j
s1 × cos
n
d
n
0
s2 ×
极点位置与阻尼角
变化特征：极点与虚轴的距离越远，响应越快；极 点的阻尼角越小，响应越平稳。
32
2. 当 1 时（临界阻尼，过阻尼）
属于衰减振荡
其中 tg1( 1 2 ) cos1( ) ：阻尼角（见注）
d n( 1 2 ) ：阻尼振荡频率。
1

1 2

特点：n 快速性 ； 或 振荡性
该式对 1 0 也成立，对应的y( t )? 31
ζ=1：临界阻尼 （重极点）
0<ζ<1
极 点 分
振荡 发散
无阻尼
欠阻尼
布
单调
等幅
振荡
ζ>1
发散
过阻尼
30
1. 当 0 1 时（欠阻尼）
y( t ) 1
ent
1 2
sin( n
1 2 t )
1
ent
1 2
sin(d t

)
稳态分量
暂态分量