八年级数学上册 12.5 分式方程的应用 分式方程的巧解策略素材 (新版)冀教版

分式方程的巧解策略
分式方程的解法是初中数学学习的重点和难点之一，教材中只介绍了常规解法——通分法与换元法.但某些较复杂的分式方程，用这种方法来解会十分繁琐，甚至半途而废.若我们能洞察其特点，使用相应的解题技巧，则会简捷求解.现归纳几种巧解策略举例说明如下.
一、巧妙观察 若分式方程为或经过适当变形可化为倒数方程
)0,0)(()()(≠≠+=+
c x f c a c x f a x f ，则c x f =)(或c a
x f =
)(，然后再求解. 例1 解方程：1111-+=-+a a x x .
解：方程两边加-1，得
11)1(11)1(-+-=-+-a a x x .
所以11-=-a x 或111-=-a x .
所以a x =1,12-=a a
x .
经检验1x ，2x 都是原方程的解.
二、巧拆分子
若分式中分子次数大于或等于分母次数，可先将分式化成分子次数小于分母次数的真分式，然后再求解.
例2 解方程
27323211--=+-+-+x x x x x x . 解：原方程可化为：
21)2(327)2(212)1(---=+-++-+-x x x x x x .
即
213272121--=+-+-+x x x . 所以 272112+=-+-x x x .
去分母整理得
0121122=+-x x .
解得 23
,421==x x .
经检验1x ，2x 都是原方程的解.
三、巧拆分母
例3 解方程
1271
651
231
222++=+++++x x x x x x .
解：原方程化为
)4)(3(1
)3)(2(1
)2)(1(1++=+++++x x x x x x .
即 41
31
31
21
2111+-+=+-+++-+x x x x x x .
即 32
41
11+=+++x x x .
解得 7-=x .
经检验7-=x 是原方程的解.
四、巧妙通分
例4 解方程 64
153
95
82+++=+++x x x x .
解：原方程可化为 95
64
15382+-+=+-+x x x x .
即 )9)(6(6)15)(8(6++-=++-x x x
x x x
显然6=x 是原方程的解.
当6≠x 时，则有
)9)(6()15)(8(++=++x x x x . 解得433
-=x .
经检验6=x 或433
-=x 都是原方程的解.
五、巧添项
例5 解方程55
2442662332+-++-=+-++-x x x x x x x x .
解：方程两边各项加1并整理得
63534333+-+=+-+x x
x x
x x
x x
.
即 )6)(5(3)4)(3(3++=
++x x x
x x x .
所以03=x 或)6)(5()4)(3(++=++x x x x .
解得0=x 或29
-=x .
经检验0=x 或29-=x 是原方程的解.
六、巧换元
例6 解方程08131
821
8111
222=--+-++-+x x x x x x .
解：设y x =-82，则原方程转化为方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-++++=-(2)
0131
21111(1)
,82x y x y x y y x
由（2）去分母并整理，得
0147322=-x y .
解得x y 7=或x y 7-=. （3）
将（3）分别代入（1），解得
11-=x ，82=x
或13=x ，8x 4-=.
经检验 1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解.
七、巧配方
例7 解方程)4
3(31016
922
x x x x -=+. 分析：注意38
)4
3(169222+-=+x x x x ，即可将x x 4
3-作为新未知数的简化方程. 解：设y x x
=-4
3，则原方程化为
y
y 310
382=+. 解得34
=y 或2=y . 由34
43=-x x
，
解得21-=x ，62=x . 由2
4
3=-x x
， 解得2133+=x ，2134-=x .
经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解.
八、巧分解常数
例8 解方程 355
33
22=+++++x x x .
解：原方程可化为
0155
133
122
=-++-++-+x x x .
即 0532=+++++x x
x x
x x
.
所以01=x 或051
31
21
=+++++x x x .
整理得0312032=++x x . 解得37102+-=x ，37103-
-=x .
经检验1x ，2x ，3x 都是方程的解.
九、巧借辅助方程
例9 解方程 112)
1(31)2(822
22=+-+-+x x x x x x . 解：设1)2(822-+=x x x m ，x x x 2)
1(3n 22+-=，则11=+n m ，24=⋅n m .
所以m 、n 是一元二次方程024112=+-u u 的两个根，
解得31=u ，82=u .
所以31=m ，82=m 或81=n ，32=n .
由31=m ，得31)
2(822=-+x x x ，
解得 31-=x ，51
2-=x
.
由82=m ，得81)
2(822=-+x x x ， 解得21
3-=x .
经检验1x ，2x ，3x 都是原方程的解.
十、巧用比例性质
例10 解方程 131
32222
22--++=--++x x x x x x x x .
解：由合比性质得
)2()2()
2()2(2222---++--+++x x x x x x x x
)13()13()
13()13(2222---++--+++=x x x x x x x x .
整理得 1322
2+=+x x x x .
所以01=x 或131
21
+=+x x . 解得21
2=x .
经检验1x ，2x 都是原方程的解.。