2019高考数学一轮复习第三章导数及其应用31导数的概念及其运算练习理

地地道道的达到
§3.1导数的观点及运算
考纲解读
考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度
2017 课标全国Ⅰ ,14;
1. 导数的概
1. 认识导数观点的实质背景
2017 天津 ,10;
念与几何意Ⅱ2016 山东 ,10;
选择题、
2. 理解导数的几何意义
2015 课标Ⅰ ,14; 填空题
义
2015 课标Ⅱ ,16
★★★
1. 能根据导数定义求函数 y=C(C 为常
2. 导数的运2016 天津 ,10; 选择题、
数 ),y=x,y=,y=x 2,y=x 3,y= 的导数Ⅲ
算2015 天津 ,11 解答题
2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的
四则运算法例求简单函数的导数
剖析解读
本部分主假如对导数观点及其运算的考察, 以导数的运算公式和运算法例为基础, 以导数的几何意义为重
点 .
1. 导数的几何意义最常有的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标, 或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.
2.导数的运算是每年必考的内容 , 一般不独自考察 , 而在考察导数的应用时与单一性、极值与最值联合出题
考察 .
3. 本节内容在高考取分值为 5 分左右 , 属于简单题 .
五年高考
考点一导数的观点与几何意义
1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点, 使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直, 则称y=f(x)拥有T性质.以下函数中拥有T 性质的是 ()
A.y=sin x
B.y=ln x
C.y=e x
D.y=x 3
答案 A
2.(2014陕西,10,5分)如图,修筑一条公路需要一段环湖曲折路段与两条直道光滑连结( 相切 ). 已知环湖曲折路段为某三次函数图象的一部分, 则该函数的分析式为()
地地道道的达到
A.y= x3 - x2-x
B.y= x3+ x2-3x
C.y= x3-x
D.y= x3+ x2-2x
答案 A
3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点 (1, f(1))处的切线为l, 则 l 在 y 轴上的截距为.
答案 1
4.(2017 课标全国Ⅰ ,14,5 分 ) 曲线 y=x 2+ 在点 (1,2) 处的切线方程为.
答案 x-y+1=0
5.(2016 课标全国Ⅲ ,16,5 分 ) 已知 f(x) 为偶函数 , 当 x≤0时, f(x)=e -x-1 -x, 则曲线 y=f(x) 在点 (1,2) 处的切线方程是.
答案y=2x
6.(2015 课标Ⅰ ,14,5 分) 已知函数 f(x)=ax 3 +x+1 的图象在点 (1, f(1)) 处的切线过点 (2,7), 则 a= . 答案 1
7.(2015 课标Ⅱ ,16,5 分 ) 已知曲线 y=x+ln x在点 (1,1) 处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1 相切 , 则 a= . 答案8
8.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0, 则点 P 的坐标是.
答案(e,e)
教师用书专用 (9 — 15)
9.(2014 广东 ,11,5 分 ) 曲线 y=-5e x +3 在点 (0,-2) 处的切线方程为.
答案 5x+y+2=0
10.(2013 江西 ,11,5 分 ) 若曲线 y=xα +1( α ∈R)在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点, 则α = .
答案 2
11.(2013 广东 ,12,5 分 ) 若曲线 y=ax2-ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于x 轴 , 则 a= .
地地道道的达到
答案
12.(2015山东,20,13 分 ) 设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=. 已知曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线2x-y=0 平行 .
(1)求 a 的值 ;
(2) 能否存在自然数k, 使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在独一的根?假如存在 , 求出 k; 假如不存在 , 请说明理由 ;
(3) 设函数 m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.
分析(1) 由题意知 , 曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2,
所以 f '(1)=2,
又 f '(x)=ln x++1, 所以 a=1.
(2)k=1 时 , 方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在独一的根.
设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,
当 x∈(0,1] 时 ,h(x)<0.
又 h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0,
所以存在x0∈(1,2),
使得 h(x 0)=0.
因为 h'(x)=ln x++1+,
所以当 x∈(1,2) 时 ,h'(x)>1->0,
当 x∈(2,+ ∞) 时 ,h'(x)>0,
所以当 x∈(1,+ ∞) 时 ,h(x)单一递加.
所以 k=1 时 , 方程 f(x)=g(x ) 在 (k,k+1)内存在独一的根.
(3) 由 (2) 知方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在独一的根x0,
且 x∈(0 ,x 0) 时 , f(x)<g(x),
x∈(x 0,+ ∞) 时 , f(x)>g(x),
所以 m(x)=
当 x∈(0,x 0) 时 , 若 x∈(0,1],m(x) ≤0;
若 x∈(1,x 0), 由 m'(x)=ln x++1>0,
可知 0<m(x)≤m(x 0);
故 m(x) ≤m(x 0).
当 x∈(x 0,+ ∞) 时 , 由 m'(x)=,
可得 x∈(x 0,2) 时 ,m'(x)>0,m(x)单一递加;
x∈(2,+ ∞) 时 ,m'(x)<0,m(x)单一递减,
可知 m(x) ≤m(2)=, 且 m(x0)<m(2).
综上可得函数m(x) 的最大值为.
13.(2014 山东 ,20,13 分) 设函数 f(x)=aln x+ , 此中 a 为常数 .
(1) 若 a=0, 求曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程 ;
(2) 议论函数 f(x) 的单一性 .
分析(1) 由题意知a=0 时 ,f(x)=,x ∈(0,+ ∞),
此时 f '(x)=,
可得 f '(1)=,
又 f(1)=0,
所以曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.
(2) 函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
f '(x)=+=.
当 a≥0时 ,f '(x)>0, 函数 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递加 , 当 a<0
时 , 令 g(x)=ax 2+(2a+2)x+a,
=(2a+2) 2-4a 2=4(2a+1).
①当 a=-时,=0,
f '(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单一递减.
②当 a<-时,<0,g(x)<0,
f '(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单一递减.
③当 - <a<0 时 ,>0,
设 x1,x 2 (x 1<x2) 是函数 g(x) 的两个零点 ,
则 x1=,x 2=.
因为 x1==>0, 所以 x∈(0,x 1) 时 ,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单一递减,
x∈(x 1,x 2) 时 ,g(x)>0,f '(x)>0,函数f(x)单一递加,
x∈(x 2,+ ∞) 时 ,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单一递减.
综上可得 :
当 a≥0时 , 函数 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递加 ;
当 a≤ - 时 , 函数 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递减 ;
当 - <a<0 时 ,
地地道道
的达到 f(x) 在 , 上 单 调 递 减 , 在
上单一递加 .
14.(2014 北京 ,20,13 分) 已知函数 f(x)=2x 3 -3x. (1) 求 f(x) 在区间 [-2,1] 上的最大值 ;
(2) 若过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相 切 , 求 t 的取值范围 ;
(3) 问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)
分别存在几条直线与曲线 y=f(x)
相切 ?( 只要写出结论 )
分析 (1) 由 f(x)=2x 3-3x 得 f '(x)=6x
2
-3.
令 f '(x)=0,
得 x=- 或 x= .
因为 f(-2)=-10, f
= , f =- , f(1)=-1,
所以 f(x) 在区间 [-2,1] 上的最大值为 f
= .
(2) 设过点 P(1,t) 的直线与曲线 y=f(x) 相切于点 (x 0,y 0 ),
则 y =2
-3x 0
, 且切线斜率为 k=6
-3,
所以切线方程为 y-y 0=(6 -3)(x-x 0), 所以 t-y
=(6 -3)(1-x
). 整理得 4
-6 +t+3=0.
设 g(x)=4x 3-6x 2+t+3,
则“过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切”等价于“ g(x) 有 3 个不一样零点”. g'(x)=12x
2
-12x=12x(x-1).
g(x) 与 g'(x)
的变化状况以下表 :
x
(- ∞,0 0
(0,1)
1
(1,+ ∞)
)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以 ,g(0)=t+3 是 g(x) 的极大值 ,g(1)=t+1 是 g(x) 的极小值 .
地地道道的达到
当 g(0)=t+3 ≤0, 即 t ≤ -3 时 , 此时 g(x) 在区间 (- ∞,1] 和(1,+ ∞) 上分别至多有 1 个零点 , 所以 g(x) 至多有 2 个
零点 .
当 g(1)=t+1 ≥0, 即 t ≥ -1 时 , 此时 g(x) 在区间 (- ∞,0) 和[0,+ ∞) 上分别至多有 1 个零点 , 所以 g(x) 至多有 2 个
零点 .
当 g(0)>0 且 g(1)<0, 即 -3<t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2) 上恰有 1 个零点 . 因为 g(x) 在区间 (- ∞,0) 和(1,+ ∞) 上单一, 所以 g(x) 分别在区间 (- ∞,0) 和[1,+ ∞) 上恰有 1 个零点 .
综上可知 , 当过点 P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).
(3) 过点 A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;
过点 B(2,10) 存在 2 条直线与曲线y=f(x)相切;
过点 C(0,2) 存在 1 条直线与曲线y=f(x)相切.
15.(2013北京,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲线 y=f(x) 在点 (a, f(a)) 处与直线 y=b 相切 , 求 a 与 b 的值 ;
(2)若曲线 y=f(x) 与直线 y=b 有两个不一样交点 , 求 b 的取值范围 .
分析由 f(x)=x 2+xsin x+cos x, 得 f '(x)=x(2+cos x).
(1) 因为曲线 y=f(x) 在点 (a,f(a)) 处与直线 y=b 相切 , 所以 f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).
解得 a=0,b=f(0)=1.
(2) 令 f '(x)=0, 得 x=0.
f(x) 与 f '(x) 的状况以下 :
x (- ∞,0) 0 (0,+ ∞)
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 1 ↗
所以函数f(x) 在区间 (- ∞,0) 上单一递减, 在区间 (0,+ ∞) 上单一递加, 所以 f(0)=1是f(x)的最小值.
当 b≤1时 , 曲线 y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;
当 b>1 时 ,f(- 2b)=f(2b) ≥4b 2-2b-1>4b-2b-1>b,
f(0)=1<b,
所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x 1)=f(x2)=b.
因为函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单一, 所以当 b>1 时曲线y=f(x)与直线y=b 有且仅有两个不一样交点 .
综上可知 , 假如曲线y=f(x)与直线y=b有两个不一样交点, 那么 b 的取值范围是 (1,+ ∞).
地地道道的达到
考点二导数的运算
1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.
答案 3
2.(2015 天津 ,11,5 分) 已知函数 f(x)=axln x,x ∈(0,+ ∞), 此中 a 为实数 , f '(x) 为 f(x) 的导函数 . 若 f '(1)=3, 则 a 的值为.
答案 3
三年模拟
A 组2016— 2018 年模拟·基础题组
考点一导数的观点与几何意义
1.(2018广东佛山一中期中考试,11) 已知 f(x)=(x+a)e x 的图象在x=-1与x=1处的切线相互垂直, 则 a=()
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案 A
2.(2017 四川名校一模 ,6) 已知函数 f(x)的图象如图, f '(x)是f(x)的导函数,则以下数值排序正确的选项是(
)
A.0<f '(2)<f '(3)<f(3)-f(2)
B.0<f '(3)<f '(2)<f(3)-f(2)
C.0<f '(3)<f(3)-f(2)<f '(2)
D.0<f(3)-f(2)<f '(2)<f '(3)
答案 C
3.(2017 湖北百所要点高中联考,4) 已知函数 f(x+1)=, 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案 A
4.(2018福建六校联考,13) 曲线 y=e x-e 在 A(1,0) 处的切线方程是.
答案y=ex-e
5.(2018河北“名校结盟”高三教课质量监测,16) 设函数y=f(x)在其图象上随意一点(x 0,y 0 ) 处的切线方程为
呵呵复生复生复生
地地道道的达到
y-y 0=(3-6x 0)(x-x0),且f(3)=0,则不等式≥0的解集为.
答案(- ∞,0) ∪(0,1] ∪(3,+ ∞)
6.(2017湖南衡阳八中期中,14) 曲线 f(x)=xe x 在点(1,f(1))处的切线的斜率是.
答案2e
7.(2017广东韶关六校联考,14) 已知函数f(x)=ln x-ax2,且曲线f(x) 在点 (2,f(2))处的切线的斜率是-, 则a=.
答案
8.(2016北京东城期中,16) 若过曲线f(x)=xln x上的点P的切线斜率为2, 则点 P 的坐标为.
答案(e,e)
9.( 人教 A 选 1— 1, 三,2,B1,变式)已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)订交,且在交点处有同样的切线, 则 a=, 切线方程为.
答案;x-2ey+e 2=0
考点二导数的运算
10.(2018福建福安一中测试,6) 已知 f(x)=e-x +ex的导函数为 f '(x),则f '(1)=()
A.e-
B.e+
C.1+
D.0
答案 A
11.(2018 福建福州八县联考 ,11) 已知函数 f(x) 的导函数是 f '(x), 且知足 f(x)=2xf '(1)+ln , 则 f(1)=( )
A.-e
B.2
C.-2
D.e
答案 B
12.(2017 山西名校联考 ,3) 若函数 f(x) 的导函数的图象对于y 轴对称 , 则 f(x) 的分析式可能为 ()
A.f(x)=3cos x
B.f(x)=x 3+x 2
C.f(x)=1+sin 2x
D.f(x)=e x+x
答案 C
地地道道的达到
13.(2016河北衡水中学二调,10) 若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上随意一点 , 则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 ()
A.1
B.
C.
D.
答案 B
B 组2016— 2018 年模拟·提高题组
(满分 :55 分时间:50分钟)
一、选择题 ( 每题 5 分, 共 15 分)
1.(2018 福建福州八县联考 ,9) 函数 f(x)=4x 3-6x 2+a 的极大值为 6, 那么 f(a-5) 的值是()
A.6
B.5
C.4
D.3
答案 C
2. (2017 河南郑州、平顶山、濮阳二模,10) 设函数 f (0) (x)=sin x, 定义 f (1) (x)=f '[f (0) (x)], f (2) (x)=f
'[f (1) (x)], , f (n) (x)=
f '[f (n-1) (x)], 则 f (1) (15 °)+f (2) (15 °)+f (3) (15 °)+ +f (2 017) (15 °) 的值是 ( )
A. B. C.0 D.1
答案 A
3.(2016 江西赣中南五校 2 月第一次联考 ,11) 已知函数 f n(x)=x n+1,n ∈N的图象与直线x=1 交于点 P, 若图象在
点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为x , 则 log
2 01
3 x +log
2 013
x + +log
2 013
x
2 012
的值为 ( )
n 1 2
A.-1
B.1-log 2 013 2 012
C.-log 2 013 2 012
D.1
答案 A
二、填空题 ( 每题 5 分, 共 10 分)
4.(2017山西名校联考,16)设函数f(x)=且f '(-1)=f '(1),则当x>0时,f(x)的导函数 f '(x)的极小值为.
答案 2
5.(2017天津红桥期中联考,16) 若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y 轴的切线, 则实数 a 的取值范围是.
地地道道的达到
三、解答题 ( 每题 10 分, 共 30 分 )
6.(2018广东惠州一调,21) 设函数 f(x)=.
(1) 求曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(2) 当 x≥1时 , 不等式 f(x)-≥恒建立,求a的取值范围.
分析(1) 依据题意可得 ,f(e)=,f '(x)=,
所以 f '(e)==-,
2
所以曲线在点(e,f(e))处的切线方程为y- =- (x-e),即x+e y-3e=0.
(2) 依据题意可得 ,f(x)--=≥0在x≥1时恒建立,
令 g(x)=ln x-a(x2- 1)(x≥1),所以g'(x)=-2ax,
当 a≤0时 ,g'(x)>0, 所以函数 y=g(x) 在[1,+ ∞) 上单一递加 , 所以 g(x) ≥g(1)=0,
所以不等式f(x)-≥建立,故a≤0切合题意;
当 a>0 时 , 令-2ax=0, 解得 x=( 舍负 ), 令=1, 解得 a=,
①当 0<a< 时 ,>1, 所以在上,g'(x)>0,在上,g'(x)<0,
所以函数y=g(x) 在上单一递加,在上单一递减,
g=ln -a=-ln a-+a, 令 h(a)=-ln a-+a, 则 h'(a)=-+ +1=, 易知 h'(a)>0恒
地地道道的达到
建立 , 又 0<a<,
所以 h(a)<h=-ln -2+ =ln 2-<0,
所以存在g<0,
所以 0<a< 不切合题意 ;
②当a≥时,≤1,g'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以
g(x) ≤g(1)=0, 明显a≥不切合题意.
综上所述 ,a 的取值范围为 {a|a ≤0}.
7.(2017皖南八校12 月联考 ,21) 已知函数f(x)=e x -ax2-2ax-1.
(1) 当 a=1 时 , 求曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;
(2) 当 x>0 时 ,f(x)>0恒建立,求a的取值范围.
分析(1) 当 a=1 时 ,f(x)=e x-x2-2x-1,f(-1)=,
所以切点坐标为,
f '(x)=e x
所以 f '(-1)= , -2x-2,
故曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y- = [x-(-1)],即y=x+.
(2) 对 f(x)=e x -ax2-2ax-1求导得 f '(x)=e x-2ax-2a,
令 g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a(x>0),则g'(x)=e x -2a(x>0).
①当 2a≤1, 即 a≤时,g'(x)=e x -2a>1- 2a≥0,
所以 g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a在(0,+∞)上为增函数,
所以 g(x)>g(0)=1- 2a≥0, 则 f(x) 在(0,+ ∞) 上为增函数,
呵呵复生复生复生
地地道道的达到
②当 2a>1, 即 a> 时 , 令 g'(x)=e x-2a=0,得x=ln 2a>0,当x变化时,g'(x),g(x)的变化状况以下表,
(0,ln(ln
x ln 2a
2a)2a,+ ∞)
g'(x)-0+
g(x)减函数极小值增函数
当 x∈(0,ln 2a)时,g(x)<g(0)=1-2a<0,即f '(x)<0.
所以 f(x)在(0,ln 2a)上为减函数,
所以 f(x)<f(0)=0,与条件矛盾,故舍去.
综上 ,a 的取值范围是.
8.(2017河南新乡第一次调研,20) 已知函数f(x)=e x-x2+2ax.
(1) 若 a=1, 求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若 f(x) 在 R上单一递加 , 务实数 a 的取值范围 .
分析(1) 当 a=1 时 ,f(x)=e x-x2+2x,f '(x)=e x-2x+2,
∴f '(1)=e,f(1)=e+1,
∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.
(2)f '(x)=e x- 2x+2a,∵f(x)在R上单一递加,
∴f '(x) ≥0在 R 上恒建立 ,
∴a≥x-在R上恒建立.令g(x)=x-,
则 g'(x)=1-, 令 g'(x)=0,得x=ln 2,
∵在 (- ∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0,
∴g(x) 在 (- ∞,ln 2)上单一递加, 在(ln 2,+∞)上单一递减,
∴g(x) max=g(ln 2)=ln 2-1,
∴a≥ln 2 -1,
∴实数 a 的取值范围为[ln 2-1,+ ∞).
C 组2016— 2018 年模拟·方法题组
方法 1求函数的导数的方法
地地道道的达到
1.(2018河南许昌、平顶山联考,3)已知f(x)是偶函数,在(-∞,0)上知足xf '(x)>0恒建立,则以下不等式建立的是()
A.f(-3)<f(4)<f(-5)
B.f(4)<f(-3)<f(-5)
C.f(-5)<f(-3)<f(4)
D.f(4)<f(-5)<f(-3)
答案 A
2.(2017 辽宁大连期中联考 ,6) 已知函数 f(x)=x 2 008 ,则f ' =()
A.0
B.1
C.2 006
D.2 007
答案 B
方法 2利用导数的几何意义求曲线的切线方程
3.(2018 河南天一大联考,10) 已知 f(x)是定义在R上的单一函数,知足f[f(x)-e x ]=1,则曲线y=f(x)在(0,f(0)) 处的切线方程为()
A.y=x+1
B.y=x-1
C.y=-x+1
D.y=-x-1
答案 A
4.(2016辽宁实验中学分校期中,20) 已知函数f(x)=x3-x2+bx+a(a,b ∈R), 其导函数 f '(x)的图象过原点 .
(1)当 a=1 时 , 求函数 f(x) 的图象在 x=3 处的切线方程 ;
(2) 若存在 x<0, 使得 f '(x)=-9,求a的最大值;
分析(1)f '(x)=x2-(a+1)x+b,由题意得 f '(0)=0,故b=0.所以f '(x)=x(x-a-1).
当 a=1 时 ,f(x)=x3-x 2+1,f '(x)=x(x-2),
故 f(3)=1,f '(3)=3.
故函数 f(x)的图象在x=3 处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.
(2) 由 f '(x)=-9,得x(x-a-1)=-9.
当 x<0 时 ,-a-1=-x-=(-x)+≥2=6, 所以 a≤ -7.
当且仅当x=-3 时 ,a=-7,故a的最大值为-7.。