人教版高二上学期期中测试卷02人教A版2019(选择性必修第一册第一章、第二章)(解析版)

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测试卷（考试题）
期中测试卷02
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A （2019）第一章、第二章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．直线01)12()1(=+---y a x a 恒过一定点，则此定点为( )。

A 、)12(，
- B 、)10(， C 、)21(， D 、)12(， 【答案】D
【解析】直线可变形为：0)1()2(=----y x y x a ，若该方程对任意a 都成立，
则⎩⎨⎧=--=-0102y x y x ，即⎩
⎨⎧==12
y x ，直线恒过点)12(，
，故选D 。

2．设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则“n a ⊥”是“α//l ”的( )。

A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由α//l ，得：n a ⊥，是必要条件，
而“n a ⊥”不一定有α//l ，也可能α⊂l ，故不是充分条件，故选B 。

3．设ABC O -是正三棱锥，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OB y OA x OG +=
OC z +，则=++z y x ( )。

A 、
41 B 、21 C 、4
3
D 、1 【答案】C
【解析】∵11114
3
3333OG OG OG OG GG OG GG OG =⇒-==⇒=，
∴OC OB OA OC OB OA OC OB OA OG 4
141414343++=++=++⨯=
， 则4
3
414141=++=
++z y x ，故选C 。

4．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为( )。

A 、2)1()1(22=-++y x
B 、2)1()1(22=++-y x
C 、2)1()1(22=-+-y x
D 、2)1()1(22=+++y x 【答案】B
【解析】∵两条直线0=-y x 与04=--y x 的距离为221
1|4|=+=
d ，∴所求圆的半径为2=r ，
由⎩⎨⎧=+=-00y x y x 得⎩⎨⎧==00y x ，由⎩⎨⎧=--=+040y x y x 得⎩⎨⎧-==22
y x ，∴直径的两个端点)00(，
、)22(-，， 因此圆心坐标)11
(-，，圆的方程为2)1()1(22=++-y x ，故选B 。

5．在边长为a 的等边三角形ABC 中，BC AD ⊥于D ，沿AD 折成二面角C AD B --后，a BC 2
1
=，此时二面角C AD B --的大小为( )。

A 、 30
B 、 45
C 、 60
D 、 90 【答案】C
【解析】BDC ∠就是二面角C AD B --的平面角，
∵212
121241414
12cos 2222
2
2
=⨯⨯-+=⋅⋅-+=∠a a a
a a CD BD BC CD BD BDC ，∴ 60=∠BDC ，故选C 。

6．已知平面α内的角 60=∠APB ，射线PC 与PA 、PB 所成角均为 135，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )。

A 、33-
B 、36-
C 、33
D 、3
6
【答案】D
【解析】由三余弦公式知 30cos cos 45cos ⋅α=，∴3
6
cos =
α，故选D 。

7．在三棱锥BCD A -中，⊥AD 平面ABC ， 120=∠BAC ，2===AC AD AB ，则该棱锥的外接球半径为( )。

A 、5
B 、6
C 、3
D 、4 【答案】A
【解析】由已知建立空间直角坐标系)000(，，
A ，)002(，，
B ，)200(，，D ， 由平面知识得)031(，，-
C ，设球心坐标为)(z y x O ，，， 则O
D OC OB OA ===，
由空间两点间距离公式知：222222)2(z y x z y x ++-=++，
222222)2(-++=++z y x z y x ， 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++，
解得1=x ，3=y ，1=z ，∴半径为51)3(1222=++=R ，故选A 。

8．已知直线l ：02)2()3(=---++m y m x m ，点)12(--，
A ，)22(-，
B ，若直线l 与线段AB 相交，则m 的
取值范围为( )。

A 、)4[]4(∞+--∞，，
B 、)22(，-
C 、]82
3
[，- D 、)4(∞+，
【答案】C
【解析】直线l 方程变形得：0)223()1(=--+-+y x m y x 。

由⎩⎨⎧=--=-+022301y x y x 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=
=5154y x ，∴直线l 恒过点)
5154(，C ，
73254151=++=AC
k ，61125
42
51
-=-+=BC k ，由图可知斜率k 的取值范围为：611-≤k 或73
≥k ， 又23-+-
=m m k ，∴61123-≤-+-m m 或7
323≥-+-m m ，即82≤<m 或223
<≤-m ， 又2=m 时直线的方程为5
4=
x ，仍与线段AB 相交，∴m 的取值范围为]823
[，-，故选C 。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知直线l 经过点)13(，
P ，且被两条平行直线1l ：01=++y x 和2l ：06=++y x 截得的线段长为5，则直线l 的方程为( )。

A 、2=x
B 、3=x
C 、1=y
D 、2=y 【答案】BC
【解析】若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3=x ，此时与1l 、2l 的交点分别为)43(-，A ，)93(-，B ，
截得的线段AB 的长5|94|||=+-=AB ，符合题意， 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为1)3(+-=x k y ，
解⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y 得)114123(+--+-k k k k A ，，解⎩
⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y 得)11
9173(+--+-k k k k B ，，
由5||=AB ，得25)1
1
9114()173123(
=+-++--⨯+--+-k k k k k k k k ， 解得0=k ，即所求的直线方程为1=y ，
综上可知，所求直线l 的方程为3=x 或1=y ，故选BC 。

10．已知)34(-，
A ，)12(-，
B 和直线l ：0234=-+y x ，若在坐标平面内存在一点P ，使||||PB PA =，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为( )。

A 、)3132
(-， B 、)41(-， C 、)561(， D 、)7
8727(
-，
【答案】BD
【解析】设点P 的坐标为)(b a ，，线段AB 的中点M 的坐标为)23(-，
，12
41
3-=-+-=AB k ， ∴AB 的垂直平分线方程为32-=+x y ，即05=--y x ， ∵点)(b a P ，在直线05=--y x 上，∴05=--b a ， 又点)(b a P ，到直线l ：0234=-+y x 的距离为2，∴
23
42342
2
=+-+b a ，
即10234±=-+b a ， 联立可得1-=a 、4-=b 或7
27=a 、78-=b ，∴所求点P 的坐标为)41(-，或)78727(-，，
故选BD 。

11．定义向量的外积：b a ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1))(b a a ⨯⊥，
)(b a b ⨯⊥，且a 、b 和b a ⨯构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中
指的指向一致)；(2)b a ⨯的模><⋅⋅=⨯b a b a b a ，sin ||||||(><b a ，
表示向量a 、b 的夹角)。

如右图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，有以下四个结论中，不正确的有( )。

A 、AC AB ⨯1与1BD 方向相反 B 、AB BC AC AB ⨯=⨯
C 、||6AC BC ⨯与正方体表面积的数值相等
D 、CB AB AB ⋅⨯)(1与正方体体积的数值相等 【答案】ABD
【解析】对于A 、根据向量外积的第一个性质可知AC AB ⨯1与1BD 的方向相同，故A 错，
对于B 、根据向量外积的第一个性质可知AC AB ⨯与AB BC ⨯的方向相反，
不可能相等，故B 错，
对于C 、根据向量外积的第二个性质可知ABCD S AC BC AC BC 正方形=π
⨯⨯=⨯4
sin
||||||， 则||6AC BC ⨯与正方体表面积的数值相等，故C 对，
对于D 、AB AB ⨯1与CB 的方向相反，则0)(1<⋅⨯CB AB AB ，故D 错， 故选ABD 。

12．如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面111C B A ，
90=∠BAC ，11===AA AC AB ，D
是棱1CC 的中点，P 是AD 的延长线与11C A 的延长线的交点。

若点Q 在直线P B 1上，则下列结论不正确的是( )。

A 、当点Q 为线段P
B 1的中点时，⊥DQ 平面BD A 1
B 、当点Q 为线段P B 1的三等分点时，⊥DQ 平面BD A 1
C 、在线段P B 1的延长线上，存在一点Q ，使得⊥DQ 平面B
D A 1 D 、不存在点Q ，使DQ 与平面BD A 1垂直 【答案】ABC
【解析】以1A 为原点，11B A 、11C A 、A A 1为x 轴、y 轴、z 轴建系，
由已知可得)000(1，，A ，)001(1，，B ，)101(，，B ，)2
1
10(，，D ，)020(，，
P ， 则)101(1，，=B A ，)2110(1，，=D A ，)021(1，，-=P B ，)2
111(1--=，，DB ，
设平面BD A 1的法向量为)(z y x n ，，=，则⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=⋅=+=⋅0
21
11
z y D A n z x B A n ， 取2-=z ，则2=x ，1=y ，则)212(-=，，n ， 设在直线P B 1上存在一点Q ，使得⊥DQ 平面BD A 1， 设则)(111z y x Q ，，，且)02()021(11，，，，λλ-=-λ=λ=P B Q B ，
)02()1(1111，，，，λλ-=-=z y x Q B ，则λ-=11x ，λ=21y ，01=z ，
则)2
1
121(--λλ-=，，DQ ，若⊥DQ 平面BD A 1，则DQ 与n 共线，
则4
1
221
21221=--
=-λ=λ-，此时λ无解，故不存在点Q ，使得⊥DQ 平面BD A 1，故选ABC 。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足BO x OA ⋅=2
DO z CO y ⋅+⋅+43，则=++z y x 432 。

【答案】1-
【解析】∵DO z CO y BO x OA ⋅+⋅+⋅=432，∴OD z OC y OB x OA ⋅-⋅-⋅-=432，
∵O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴1432=---z y x ，∴1432-=++z y x 。

14．已知R a ∈，方程0584)2(222=+++++a y x y a x a 表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。

（本小题每空2.5分）
【答案】)42(--，
5 【解析】由题意22+=a a ，1-=a 或2=a ，
当1-=a 时方程为058422=-+++y x y x ，即25)4()2(22=+++y x ，
圆心为)42(--，
，半径为5， 当2=a 时方程为010844422=++++y x y x ，4
5
)1()21
(22-
=+++y x 不表示圆。

15．已知圆O ：122=+y x 和点)02(，
-A ，若顶点)0(，b B (2-≠b )和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则=-λb 。

【答案】1
【解析】设)(y x M ，，∵||||MA MB λ=，
∴222222)2()(y x y b x λ++λ=+-，
任取)01
(，、)01(，-代入可得222)21()1(+⋅λ=-b ， 222)21()1(+-⋅λ=--b ，解得2
1-=b ，21
=λ，1=-λb 。

16．空间直角坐标系xyz O -中，经过点)(000z y x P ，，且法向量为)(C B A m ，，=的平面方程为)(0x x A -
0)()(00=-+-+z z C y y B ，经过点)(000z y x P ，，且一个方向向量为)(ωυμ=，，n )0(≠μυω的直线l 的方
程为
ω
-=υ-=μ-0
00z z y y x x ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为0753=-+-z y x ，直线l 是两个平面073=+-y x 与0124=++z y 的交线，则直线l 与平面α成角的正弦值为 。

【答案】
35
10
【解析】∵平面α的方程为0753=-+-z y x ，∴平面α的法向量可取)153(，，-=m ，
平面073=+-y x 的法向量为)031(，，-=a ，平面0124=++z y 的法向量为)240(，，=b ， 设两平面的交线的方向向量为)(z y x n ，，=，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-=⋅0240
3z y b n y x a n ，令)213(-=，，n ，则直线l 与平面α所成角的大小为θ， 则3510
|14
35)2(11)5(33||cos |sin =⨯-⨯+⨯-+⨯=><=θn m ，。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
如图所示，已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，各棱长均为m ，底面是正方形，且 12011=∠=∠AB A AD A ，设a AB =，b AD =，c AA =1。

(1)用a 、b 、c 表示1BD ，并求||1BD ； (2)求异面直线AC 与1BD 所成的角的余弦值。

【解析】(1)∵c b a AA AD AB DD AD BA BD ++-=++-=++=111， 2分
∴c b c a b a c b a BD ⋅+⋅-⋅-++=222||2
2
2
21
2222223)2
1
(2)21(20m m m m m m =-⋅+-⋅--++=， 4分
∴m BD 3||1=； 5分 (2)b a AD AB AC +=+=，
则22
2
1)()(m c b b b a c a c b a c b a b a BD AC -=⋅++⋅-⋅+⋅+-=++-⋅+=⋅， 7分 又m BD 3||1=，m AC 2||=，
∴66
32|
|||cos 2111-
=⨯-=⋅>=<m m m BD AC BD AC BD AC ，， 9分 ∴异面直线AC 与1BD 所成的角的余弦值为
6
6。

10分 18．（本小题满分12分）
(1)求与向量)212(，，-=a 共线且满足方程18-=⋅b a 的向量b 的坐标；
(2)已知)212(，，
-A ，)154(-，，B ，)322(，，-C ，求点P 的坐标使得)(2
1
AC AB AP -=； (3)已知)453(-=，，a ，)812(，，=b ，求：①b a ⋅；②a 与b 夹角的余弦值；③确定λ、μ的值使得b a μ+λ与z 轴垂直，且53)()(=+⋅μ+λb a b a 。

【解析】(1)∵b 与a 共线，故可设a b λ=，由18-=⋅b a 得：189)414(||22-=λ=++λ=λ=λ⋅a a a ，
故2-=λ，∴)424(2--=-=，，a b ； 2分 (2)设)(z y x P ，，，则)212(-+-=z y x AP ，，，)362(-=，，AB ，)134(，，-=AC ， ∵)(2
1
AC AB AP -=
， ∴)22
33()436(21)]134()362[(2
1)212(-=-=
---=-+-，，，，，，，，，，z y x ， ∴P 点坐标为)02
1
5(，，； 5分
(3)①21841523)812()453(-=⨯-⨯+⨯=⋅-=⋅，，，，b a ， 6分 ②∵25||=a ，69||=b ， ∴230
138
769
2521|
|||,cos =
⋅-=
⋅>=
<b a b a ， ∴a 与b 夹角的余弦值为230
138
7-
， 9分 ③取z 轴上的单位向量)100(，，=n ，)465(，，=+b a ，依题意⎪⎩⎪⎨
⎧=+⋅μ+λ=⋅μ+λ53)()(0
)(b a b a a b a ， 即⎩⎨⎧=⋅μ+λ-μ+λμ+λ=⋅μ+λ-μ+λμ+λ53)465()84523(0)100()84523(，，，，，，，，，故⎩
⎨⎧=μ+λ=μ+λ-5318290
84，
解得1=λ，2
1
=
μ。

12分 19．（本小题满分12分）
已知点)2212(-+，P ，点)13(，
M ，圆C ：4)2()1(22=-+-y x 。

(1)求过点P 的圆C 的切线方程；
(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长。

【解析】由题意得圆心)21
(，C ，半径2=r ， (1)∵4)222()112(22=--+-+，∴点P 在圆C 上，又11
12222-=-+--=PC k ， 2分
∴切线的斜率11=-
=PC
k k ， 4分
∴过点P 的圆C 的切线方程是)]12([1)22(+-⨯=--x y ，即0221=-+-y x ； 5分 (2)∵45)21()13(22>=-+-，∴点M 在圆C 外部，
当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为3=x ，即03=-x ， 6分
又点)21
(，C 到直线03=-x 的距离r d ==-=21
|
31|，即此时满足题意， 7分 ∴直线3=x 是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为)3(1-=-x k y ， 8分 即031=-+-k y kx ， 则圆心C 到切线的距离21
|
312|2==+-+-=
r k k k d ，解得4
3
=
k ， 9分 ∴切线方程为)3(4
3
1-=
-x y ，即0543=--y x ， 10分 综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为03=-x 或0543=--y x ，
∵5)21()13(||22=-+-=MC ，∴过点M 的圆C 的切线长为1||22=-r MC 。

12分
20．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠ACB ，21===CC BC AC ，C B B A 11⊥。

(1)证明：111CC C A ⊥；
(2)若321=B A ，在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角C AB E --1的大小为 30。

若存在，求CE 的长；若不存在，说明理由。

【解析】(1)证明：连接1BC ，∵11B BCC 为平行四边形，且21==CC BC ，
∴11B BCC 为菱形，C B BC 11⊥， 2分 又∵C B B A 11⊥，∴⊥C B 1平面B C A 11，∴111C A C B ⊥，又∵1111B C C A ⊥， ∴⊥11C A 平面11B BCC ，∴ 111CC C A ⊥； 4分
(2)解：∵321=B A ，211=C A ，221=BC ，∴BC CC ⊥1，
∴CA 、CB 、1CC 两两垂直，以C 为坐标原点，
CA 、CB 、1CC 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz C -， 5分 则)000(，，
C 、)002(，，A 、)220(1，，B 、)200(1，，C 、)020(，，B ，设)00(a E ，，， 则)02(a AE ，，-=，)222(1，，-=AB ，)220(1，，-=BC ，
易知，⊥1BC 平面C AB 1，则平面C AB 1的一个法向量)110(，，-=m ， 7分
设)1(，，y x n =是平面E AB 1的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
1AB n AE n ， ∴⎩⎨⎧=++-=+-022202y x a x ，得)1122(，，-=a
a n ， 9分
∴231
)12
()2(2|
22|
|
||||||cos |22=+-+⋅-=⋅⋅=><a a a
n m n m n m ，，解得1=a ，
∴在棱1CC 上存在点E ，当1=CE 时，得二面角C AB E --1的大小为 30。

12分
21．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥ABCE D -中，底面ABCE 为梯形，且满足CE AB //， 90=∠BCE ，
DE CE BC AB 222=== AD 2=，平面⊥ADE 平面ABCE 。

(1)求证：BE AD ⊥； (2)求直线AC 与平面BDE 所成角的正弦值。

【解析】(1)取AB 的中点F ，连接EF ，∵EC AB 2=，CE AB //，∴BF //CE ，
∴四边形BCEF 是平行四边形， 2分
∴EF //BC ，又 90=∠BCE ，∴AB EF ⊥， 3分
令1====ED EC BC AD ，则2=AB ，2==BE AE ，
∴222AB BE AE =+，∴BE AE ⊥， 4分
又平面⊥ADE 平面ABCE ，平面 ADE 平面AE ABCE =，
∴⊥BE 平面ADE ，又⊂AD 平面ADE ，∴BE AD ⊥； 5分
(2)取AE 的中点O ，连接DO 、FO ，则易知AE DO ⊥，AE FO ⊥，
∵平面⊥ADE 平面ABCE ，平面 ADE 平面AE ABCE =，
∴⊥DO 平面ABCE ，∴FO DO ⊥，∴OA 、OF 、OD 两两垂直， 6分
故可以以OA 、OF 、OD 所在直线分别x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则)0022(，，A 、)0222(，，-B 、)0222(，，-C 、)2200(，，D 、)002
2(，，-E ， ∴)022223(，，-
=AC 、)22222(，，-=BD 、)020(，，-=BE ， 7分 设平面BDE 的法向量为)(z y x n ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ，即⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+-02022222y z y x ， ∴0=y ，令1=x ，则1-=z ，∴)101(-=，，n 为平面BDE 的一个法向量， 9分
设直线AC 与平面BDE 所成的角为θ，
则1053||
|||||cos |sin =⋅⋅=><=θn AC n AC n AC ，， 11分 ∴直线AC 与平面BDE 所成角的正弦值为
1053。

12分 22．（本小题满分12分）
如图所示，在多面体111D B A ABCD -中，四边形ABCD 、11A ABB 、D D AA 11均为正方形，E 为11D B 的中点，过1A 、D 、E 的平面交1CD 于F 。

(1)证明：C B EF 1//；
(2)求二面角11B D A E --的余弦值。

【解析】(1)证明：由正方形的性质可知CD AB B A ////11，且CD AB B A ==11，
1分 ∴四边形CD B A 11为平行四边形，∴D A C B 11//，
2分 又∵⊂D A 1平面DE A 1，⊄C B 1平面DE A 1，∴//1C B 平面DE A 1，
3分 又∵⊂C B 1平面11CD B ，平面 DE A 1平面EF CD B =11，∴C B EF 1//；
4分 (2)解：∵四边形ABCD 、11A ABB 、D D AA 11均为正方形，
∴AB AA ⊥1，AD AA ⊥1，AD AB ⊥且AD AB AA ==1，
以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴单位正向量，
建立如图所示的空间直角坐标系，
6分 可得点的坐标)000(，，A 、)001(，，B 、)010(，，D 、)100(1，，A 、)101(1，，B 、)110(1，，D ，
而E 点为11D B 的中点，∴)121
21(，，E ，
7分 设平面DE A 1的法向量为)(1111z y x n ，，=，
)02121(1，，=E A ，)110(1-=，，D A ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00
1111D A n E A n ，即⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+0
021
211111z y y x ，
令11-=x ，则11=y 、11=z ，则)111(1，，-=n ，
9分 设平面CD B A 11的一个法向量)(2222z y x n ，，=，
)001(11，，=B A ，)110(1-=，，D A ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0012112D A n B A n ，即⎩⎨
⎧=-=00
222z y x ，
令12=y ，则02=x 、12=z ，则)110(2，，=n ，
11
分 设二面角11B D A E --的平面角为θ，经观察θ为锐角，
附赠材料
必须掌握的试题训练法
题干分析法
怎样从“做题”提升到“研究”
题干分析法,是指做完题目后,通过读题干进行反思总结:这些题目都从哪几个角度考查知识点的?角度不同,容易出错的地方是不是变化了?只有这样,我们才能从单纯的“做题目”上升到“研究”,我们的思维能力和做题效率才能不断提高。

具体来说,题干分析法可分为以下四个步骤
第一步,弄清考查范围。

题目无非就是知识点的应用,任何一道题都是考查一个知识点的,或者是一个定理的应用,或者是推论的应用。

做完题目后首先要弄明白,这道题考查了什么知识点。

第二步,掌握出题意图。

命题者是怎样将知识点转化为这道题目的?包含哪些思想方法?怎样给出条件?隐藏了哪些条件?想考查什么?大家应该弄清楚。

第三步,归纳解题框架。

用简洁的语言把这一类题目的解题框架写出来,包括该类题型的已知条件、所求结果、基本解题步骤等,并牢牢记住。

以后遇到同类题目就可以按照这个解题框架准确地把题目做出来。

比如,关于分解因式的题目,有同学归纳出三个思想步骤第一,分解因式一共有几种方法?第二,这道题适合哪一种
第三,按照对应的分解因式法解题。

其他的如一元一次方程组、一元一次不等式、函数等题目,也可以归纳出相似的解题思想模式。

第四步,尝试分析题目特色。

这道题跟考查同一个知识点的其他题目相比,有
什么巧妙之处,出题的方法和技巧有哪些?关键步骤在哪里?
我们要争取从做题上升到读题。

在做了一定量的题目后,不要再做题,而是读题。

读后把以前归纳的这一套方法用来思考题目,在头脑中过一下,然后看看答案。

如果对了就可以通过,如果不对,就要重点对待。

这样可以提升思维能力和做题效率。

我们需要做哪些题,做多少题
试题训练法是巩固学习成果的有效方法,是学习中不可忽视的环节。

但是盲目地做大量的习题而不去深入思考,不仅浪费时间,而且还可能把自己搞糊涂。

那么,哪些习题值得一做呢?
第一种是涉及教材知识的重点题。

例题是课本中最重要的题,做例题有利于巩固基础知识;其次,与教材中重点有关的练习题也是必须做的,这些题涵盖了教材里的主要内容。

第二种是关于难点的练习题。

与课堂上老师特意强调的难点部分相关的习题一定不能放过。

难点部分通常也是难懂的地方,不弄懂就不可能真正掌握知识。

而且,如果你在平时的训练中只做那些没有难度的习题,你的能力仅得不到提高,而且时间久了还会让你感到学习枯燥无味,成就感和新鲜感就更不用提了。

第三种是关于疑点的练习题。

这里的疑点就是自己还没有弄懂的地方。

这个环节的问题不解决,很容易造成学习“欠债”的现象。

所以,有关这方面的习题训练一定不能放过,应该坚持去做。

对于自己一看就会的题目,以后就不要再做了,这说明这个题目的知识点你已经掌握得很熟练了,等到考试前再复习一下就可以了。

对于那些不懂或者费了很大劲才做出来的题目,要在题目前面做个记号,把这个题
目作为重点进行理解,加深记忆,直到一看见这个题目就知道解题思路的熟练程度,才说明你彻底把这个知识点掌握了。

此外,同学们在日常做题时不要讲究做了多少题目,而应关注自己真正理解了多少个知识点。

一味追求题目数量,对提高学习成绩是没有多大的帮助的,适度即可。

每位同学的学习基础不同,接受课程内容的程度也不同,训练的内容要有所区别。

不要见到题就做,也不要见到难题就不放。

应该说,做题要因人而异,适合自己的题目才是最好的。

多题一解法
做题的关键是培养思维方式，
做题时,即使没有做出来,整个思维过程也是有价值的。

因为做不出来的题往往综合性比较强,对解题者发散思维的要求较高。

大家在解这类题目时不断寻找突破口,不断碰壁,而只有在这个过程中,你才能不断调整自己的思维方式。

因此,在做题的过程中,我们不妨采用不同的形式对自己进行综合训练,这对提高自身解题能力是非常有帮助的。

比如尖子生推荐的多题解法。

多题一解法是指通过一个题目归纳出该类型题目的解题思路,然后应用这一规律去解答该类型的其他题目。

通过掌握知识的变通性、规律性和发展性,脱离“题海”,获得事半功倍的效果。

这种训练方法培养的是综合归纳的思维方式,具体来说,你可以这样做。

首先,在对比中寻求最佳思路。

我们做完一道题后,要先分析该题目的解题方
法,先想想大体步骤是什么,看看题目和以前所做题的相同点和不同点,再找出同一类的题目来做,看哪些是可以采用同样的思路去解决的,哪些是既相似又有不同的地方,分析自己对每个解题步骤是怎么想的。

最后总结提炼出这类题目的相同特点和最佳解题思维步骤。

其次,在练习中求解题质量。

除了分析对比题型特点和解题思路,我们在实际练习中,对于基础题、典型题要多做、详做,格式、步骤也要严格要求,达到熟练、准确计算的程度。

对于难题可以少做、略做,主要目的是提高解题质量。

做题既是复习知识,也是训练我们的思维方式。

归纳总结和思维发散都是做题时必备的两种能力,这可以通过一题多解和多题一解得到训练。

人教版
高
中
数
学
测试卷（考试题）。