2008至2011三年军考数学真题分类

2008年——2011年军考真题分类
一、集合 [2011年]
1．设全集{}1,0,1,2,3I =-，集合{}1,3M =，则I M =
（A ）{}1,0,1,2,3- （B ）∅ （C ）{}1,3
（D ）{}1,0,2-
16．设集合{},A x x m x =<∈R ，{}|2|3,B x x x =-<∈R ．若A B B =，则实数m 的取值范围
是 ． [2010年]
1．设集合{}|15A x x =<<，{}|26B x x =<<，则A
B =（ ）
A ．{}|12x x <<
B ．{}|25x x <<
C ．{}|56x x <<
D ．{}|16x x <<
13.设集合{}2
|4A x x =≤，{}|0B x x m =-<．若A B ⊆，则实数m 的取值范围
是 ． [2009年]
1．设{(,)|4}P x y x y =+=，{(,)|2}Q x y x y =-=，则P Q =（ ）.
A ．{3,1}
B ．(3,1)
C ．{(3,1)}
D ．{3,1}x y ==
13．若集合2{|300}P x x x =+-=，集合{|30}T x mx =+=，且T P ⊆，则由实数m 的可取值组成的集合为 . [2008年]
1．集合{1,}A x x x R =≠∈，(,1)(1,2)(2,)B =-∞+∞，则A ∪B 为（ ）
A ．
B B ．A
C ．R
D ．无法判定
二、函数 [2011年]
4
．函数10)y x -<≤的反函数为
（A
）1)y x =<≤ （B
）1)y x =<≤ （C
）10)y x =-<≤ （D
）10)y x =-<≤
6．若0.3
3a =，0.3
13b =⎛⎫
⎪⎝⎭
，0.2
3
c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是
（A ）a b c << （B ）b a c <<
（C ）b c a <<
（D ）c b a <<
20．（12分）已知二次函数2()1f x ax bx =++是偶函数，且(1)0f =． （1）求a ，b 的值；
（2）设()(2)g x f x =+．若()g x 在区间[2,]m -上的最小值为3-，求实数m 的值．
18．已知定义在区间[]22,-上的奇函数()f x 单调递减．若2(2)(21)0f m f m -+->，则实数m 的
取值范围是 ． [2010年]
4．函数2
2y x x =-在区间[2,3]上的最大值是（ ） A ．0 B ．3 C ．4
D ．5
9．已知3
0.2a =，2log 3b =，3log 0.2c =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
17．若定义在R 上的偶函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，且(||1)(2)f m f +<-，则实数m 的取值范围是 ．
20．（12分）已知函数()log (2)a f x bx =+(1)a >，且(1)0f =． （1）求b 的值及函数()f x 的定义域；
（2）求证：函数()f x 在定义域上是减函数．
[2009年]
2．函数242y x x =-+-在区间[3,4]上的最大值是（ ）. A ．2 B ．2- C ．1-
D ．1
10．若函数122
log (2log )y x =-的值域是(0,)+∞，那么它的定义域是（ ）.
A ．(0,2)
B ．(2,4)
C ．(0,4)
D ．(0,1)
17．若奇函数()y f x =在R 上单调递减，且2()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是 .
20．（12分）已知函数3()log (01,0)3a x b
f x a a b x b +=>≠>-且.
（1）求()f x 的定义域；（7分）
（2）讨论()f x 在(,)3b
+∞上的单调性.（5分）
[2008年]
3．函数()f x 的定义域是[0,2]，则函数11()()()22
g x f x f x =+--的定义域是（ ） A ．[0,2] B ．13
[,
]22
- C ．15[,]22
D ．13
[,
]22
8．11
()221
x
f x =
+-是（ ） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
13．已知36(0)
()5(0)x x f x x x -⎧=⎨+<⎩
，则[(1)]f f = .
22．（14分）某水厂要建造一个容积为3
8000m ，深5m 的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a 元，池底每平方米的造价为2a 元. 如何设计蓄水池的长和宽，使其造价最省，并求出最省造价. 三、不等式 [2011年] 8．函数1
1
y x x =+
-(1)x >的最小值为 （A ）4 （B ）3
（C ）2
（D ）1
[2010年]
2．不等式|3|2x -<的解集是（ ） A ．{}|1x x <
B ．{}|5x x <
C ．{}|15x x <<
D ．{}|1x x >
8．函数1
4y x x
=+(0)x >的最小值为 A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
[2009年]
4．如果关于x 的不等式250x a -的正整数解是1，2，3，4，5，那么实数a 的取值范围是（ ）.
A ．125
180a < B ．125a C ．125a > D ．180a <
8．若角α，β满足αβ-π<<<π，则αβ-的取值范围是（ ）. A ．(2,0)-π B ．(2,2)-ππ C ．(0,)π D ．3(,)22
ππ--
[2008年]
2．若0x <
，则的值为（ ） A ．2x
B ．2x -
C ．0
D ．无法确定
15．设1,0a b a b +=>>，则221,,2,2
a a
b a b +中最大的是 . 四、数列 [2011年]
3．在等比数列{}n a 中，若2=2a ，51
=
4
a ，则公比=q （A ）1
2
-
（B ）2-
（C ）2
（D ）
12
15．已知数列{}n a 中，14a =，132n n a a +=-()n *∈N ，则4a = ．
21．（12分）在等比数列{}n a 中，已知公比2q =，n S 是{}n a 的前n 项和，N n *∈，且328S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设23log n n b a =，N n *∈． ① 求证{}n b 是等差数列； ② 求{}n b 的前10项和10T ．
[2010年]
3．在等差数列{}n a 中，25a =，47a =，则6a = A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
15．在数列{}n a 中，已知11
8
a =
，且14n n a a -=(2)n ≥，则5a = ． 21．（12分）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d >，n S 是{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，n ∈*
N ．
① 求证：{}n b 是等比数列； ② 求数列{}n b 的前n 项和n T ．
[2009年]
3．在等比数列{}n a 中，12100a a +=，3420a a +=，那么56a a +=（ ）. A ．2 B ．4 C ．10 D ．5
15．在等差数列{}n a 中，若123989910050a a a a a a +++
+++=，则299a a += .
21．（12分）设二次方程2*110()n n a x a x n N +-+=∈有两个实根αβ和，
且满足43ααββ-+=，17a =. （1）试用n a 表示1n a +；（6分）
（2）求证：{2}n a +是等比数列；（3分） （3）求数列{}n a 的通项公式.（3分）
[2009年]
6．若{}n a 是等差数列，578a a +=，91132a a +=，则8a =（ ）
A ．40
B ．20
C ．24
D ．10
20．（10分）等差数列{}n a 中，已知3a =8，且有120S >，130S <，试求公差d 的取值范围.
五、排列组合和二项式定理 [2011年]
12．有6名即将退伍的战士与排长合影留念，7人站成一排，排长站在正中间，并且甲、乙两名战士相邻，则不同的站法有
（A ）48种 （B ）96种 （C ）192种
（D ）240种
14．二项式4
1x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中，常数项为 （用数字作答）．
[2010年]
12．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有 A ．320个
B ．240 个
C ．168个
D ．156个
14．5
231x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项等于 ．
[2009年]
6．五人站成一排，其中甲，乙，丙必须相邻，且甲必须站在乙、丙的中间，则不同的排法有（ ）种.
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
14．28
35()3x x -展开式中，整式的项是前 项.
[2008年]
4．若02432n
n n n n C C C C ++++=，则n 等于（ ）.
A ．5
B ．6
C ．4
D ．10
14．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个（用数字作答）
六、三角函数 [2011年]
19．（10分）已知3cos 3θ=，π0,2θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
（1）求πsin 3θ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求tan 2θ的值．
11．已知函数sin()
y A x ωϕ=+()x ∈R ，其中0A >，0ω>，π
||2
ϕ<
，它在长度为一个周期的闭区间6
π
⎡-⎢⎣，5π⎤⎥6⎦上的图象如图所示，则该函数的解析式是
（A ）π3sin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭()x ∈R
（B ）π3sin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭()x ∈R
（C ）1
π3sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()x ∈R
（D ）1
7π3sin 2
12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()x ∈R
13．sin330︒= ．
[2010年]
11．若将函数sin 2y x =()x ∈R 的图象向左平移
π
6
个单位，则所得图象对应的函数解析式为 A ．πsin 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
()x ∈R B ．πsin 26y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
()x ∈R C ．πsin 23y x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
()x ∈R D ．πsin 26y x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
()x ∈R 16．求值:sin 20tan10cos 20+= ． 19．（10分）已知α，β都是锐角，3cos 5=β，1
sin()3
-=αβ． （1）求cos()-αβ的值； （2）求sin α的值．
[2009年]
11．函数2sin()34
y x π
=+，x R ∈的单调递增区间是（ ）.
A ．3[2,2],44
k k k ππ
π+π+∈Z
B ．[(21),2],k k k -ππ∈Z
C ．[2,2],2k k k π
π+π+π∈Z
D ．3[2,2],44
k k k ππ
π-
π+∈Z 16．求值：
13
sin10cos10
-= . 19．（10分）已知3tan 4α=
，1
tan()3
αβ-=-，求tan()αβ+的值. [2008年]
10．已知4
3
cos ,cos()5
5
ααβ=+=，且,αβ为锐角，那么cos β的值是（ ） A ．725 B ．1225 C ．2425
D ．35
12．函数43
5sin 4cos 32
y x x =+的最小正周期是（ ）
A ．4π3
B ．3π2
C ．17π6
D ．12π
16．
tan(150)cos(570)
sin(690)
-︒-︒=-︒ .
19．（10分）求证：
sin 2111
tan 1cos2sin 222
αααα+=+++.
O 3-
6
π
- 56π
x
y
七、平面向量 [2011年]
2．已知向量(1,1)=-a ，(2,5)=b ，则2=-a b
（A ）(4,3)
（B ）(0,7)-
（C ）(0,6)-
（D ）(0,3)
5．已知平面向量a ，b ，a 4=，b 5=，10⋅=a b ，则向量a 与b 的夹角θ=
（A ）90︒ （B ）60︒
（C ）45︒
（D ）30︒
[2010年]
5．已知向量a (3,1)=-，b (,9)x =．若⊥a b ，则x = A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
[2009年]
5．已知两点(4,1)A ，(7,3)B -，则与向量AB 反方向的单位向量是（ ）.
A ．34(,)55-
B ．34(,)55-
C ．43(,)55-
D ．43
(,)55-
[2008年]
17．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = . 八、直线和圆的方程 [2011年]
7．若直线40x y +-=与圆22240x y x y a ++--=相切，则实数a 的值为
（A ）1
2
-
（B ）2-
（C ）
152
（D
[2010年]
7．若直线340x y +-=过圆22
410x y x ay +++-=的圆心，则实数a 的值为 A ．4 B ．2
C ．0
D ．-4
[2009年]
7．若直线340ax y +-=与圆22410x y x ++-=相切，则a 的值为（ ）. A
．6±
．2
．8±
．1
[2008年]
5．圆224x y +=上的点到直线43250x y -+=的距离的取值范围是（ ） A ．[3,7] B ．[1,9] C ．[0,5] D ．[0,3]
九、圆锥曲线方程 [2011年]
9．若双曲线22
214x y b
-=（0b >
）的一条准线方程为x =，则b 的值为
（A
（B
（C ）1 （D ）2
22．（12分）已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点(2,0)，离心率1
2e =．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为1
2
， 求AB 的值．
[2010年]
6
．若双曲线的渐近线方程为y =，它的一个焦点是(2,0)F ，则双曲线的方程是
A ．2
213
y x -= B ．2213x y -= C ．22
13x y -= D ．2
213
y x -= 22．（12分）已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的一个焦点为(2,0)F
，离心率3e =．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线2y x m =+与椭圆相交于不同的A ，B 两点，与y 轴相交于E 点，且3EA EB =．求实数m 的值． [2009年]
12．双曲线与椭圆221259x y +=有公共的焦点，
若它们的离心率的和为14
5
，则双曲线的方程为（ ）. A ．221124x y -= B ．221412y x -= C ．221412x y -= D ．22
1124
y x -=
22．（12分）已知双曲线2
2
12
y x -=与点(2,1)P ，过P 作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若点P
为AB 的中点，求直线AB 的方程.
[2008年]
9
．已知双曲线2221(2x y a a -=的两条渐近线的夹角为π
3
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2 B
C
D
21．（12分）已知圆锥曲线C 经过定点(4,4)P ，它的一个焦点为(1,0)F ，对应于该焦点的准线为1x =-，斜率为2的直线l 交圆锥曲线C 于,A B
两点，且||AB =C 和直线l 的方程.
十、直线、平面、简单几何体 [2011年]
17．在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的
中点，现沿EF 将正方形折成直二面角（如图），
M 为CF 的中点，则异面直线CE 与BM 所成角
的余弦值为 ．
10．已知直线l α⊥平面,直线m β⊂平面，则下列四个命题中，
正确的命题是
（A ）若αβ⊥，则//l m
（B ）若αβ⊥，则l m ⊥
（C ）若l m ⊥，则//αβ （D ）若//l m ，则αβ⊥
23．（14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，点E 是棱AC 的中点． （1）求证BE ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1C BC E --的大小； （3）求点1A 到平面1BC E 的距离．
[2010年]
10．命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．上述四个命题中，正确命题的序号是 A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，11A D ，BC 的中点，则异面直线EF 与1D G 所成角的大小为 ．
23．（14分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A C 的中点． （1）求证: //CE 平面1A BD ； （2）若F 为1C E 的中点，求二面角1A BD F --的
余弦值．
[2009年]
9．下列命题中的真命题是（ ）. A ．垂直于同一条直线的两条直线平行 B ．平行于同一条直线的两个平面平行 C ．垂直于同一条直线的两个平面平行
D 1
F
A 1
E
B 1
C 1
D
C
B
A
M
F
E
D
C B
A
A
B
C
1A
1B
1C
E
D ．垂直于同一平面的两个平面平行
23．（14分）如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形. 120ABC ∠=，
PC ABCD ⊥平面，PC a =，E 为PA 的中点. （1）求证：平面EBD ABCD ⊥平面；（8分） （2）求二面角A BE D --的大小.（6分）
[2008年]
7．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点，有且只有一个平面 B ．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C ．过一点有且只有一条直线和一个平面垂直
D ．经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面平行 11．一副三角板如图拼接，使两个三角形所在平面互相垂直. 如果公共边AC a =，则异面直线AB 与CD 的距离是（ ）
A ．
2a
B ．a
C ．22
a
D ．
306
a 18．正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧面和底面所成的二面角为60︒，则正三棱锥高PE 的长度是 .
23．（14分）如图，ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，GC ABCD ⊥面，
且2GC =，求：
（1）面GEF 与面ABCD 所成二面角的正切值； （2）点B 到面GEF 的距离.
A
C
D
B
45︒
60︒
A
F D
E
B。