矩阵练习(带答案详解)(最新整理)

一、填空题：
1.若，为同阶方阵，则的充分必要条件是
A B 2
2
))((B A B A B A -=-+。

BA
AB =2. 若阶方阵，，满足,为阶单位矩阵，则＝。

n A B C I ABC =I n 1
-C
AB
3. 设，都是阶可逆矩阵，若,则＝。

A B n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C 1
-C ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--00
11B A 4. 设A ＝，则＝。

⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--11121
-A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛21115. 设， .则。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=432211B =+B A 2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--731733
6.设，则＝
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=300020001A 1
-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
310
002100017．设矩阵，为的转置，则=
.
1 -1 3
2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
T A A B A T
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1602228. ，为秩等于2的三阶方阵，则的秩等于 2 .
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=110213021A B AB 二、判断题（每小题2分，共12分）
1. 设均为阶方阵，则 （k 为正整数）。

……………（ × ）B A 、n k
k k B A AB =)(2. 设为阶方阵，若，则。

……………………………（
,,A B C n ABC I =1
11C
B A ---=× ）
3. 设为阶方阵，若不可逆，则都不可逆。

……………………… ( × )
B A 、n AB ,A B
4. 设为阶方阵，且，其中，则。

……………………… ( B A 、n 0AB =0A ≠0B =× )
5. 设都是阶矩阵，且，则。

……………………（ C B A 、、n I CA I AB ==,C B =√ ）
6. 若是阶对角矩阵，为阶矩阵，且，则也是阶对角矩阵。

…（ A n B n AC AB =B n × ）
7. 两个矩阵与，如果秩（）等于秩（），那么与等价。

…………（ A B A B A B × ）
8. 矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相等。

……………………………………( √ )
A T
A 三、选择题(每小题3分,共12分)
1.设为3×4矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ B ）
A A T
A 3(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
2.假定、、为阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的 （ C ） A B C n （A ） （B ）)(BC A ABC =)(kB A kAB =（C ） （D ）BA AB =CB CA B A C +=+)(
3. 已知为阶方阵，则下列性质不正确的是（ A ）
B A 、n (A) (B)
BA AB =)()(BC A C AB =(C) (D) BC AC C B A +=+)(CB CA B A C +=+)(4. 设，其中、、都是阶方阵，则（ D ）
I PAQ =P Q A n （A ） （B ）
111
---=Q P A 111---=P Q A （C ） （D ）PQ A
=-1
QP
A =-15. 设阶方阵，如果与所有的阶方阵都可以交换，即，那么必定是（
n A n B BA AB =A B ）
（A ）可逆矩阵 （B ）数量矩阵 （C ）单位矩阵 （D ）反对称矩阵6. 两个阶初等矩阵的乘积为（ C ）
n （A ）初等矩阵 （B ）单位矩阵 （C ）可逆矩阵 （D ）不可逆矩阵
7. 有矩阵，，，下列哪一个运算可行（ A ）
23⨯A 32⨯B 33⨯C （A ） （B ）AC BC
（C ） （D ）ABC C
AB -8. 设与为矩阵且，为的矩阵，则与分别是什么矩阵( D )
A B AC CB =C m n ⨯A B (A) (B) n m m n ⨯⨯m n n m ⨯⨯(C) (D) n n
m m ⨯⨯m m n n
⨯⨯9.设为阶可逆矩阵，则下列不正确的是 ( B )
A n (A) 可逆 (B) 可逆1
A -I A +(C) 可逆 (D) 可逆
2A -2
A 10.均阶为方阵，下面等式成立的是 （
B ） B A ,n （A ） （B ） BA AB =T
T
T
B A B A +=+)( （
C ） （
D ）111
)
(---+=+B A B A 1
11)(---=B A AB 11.设都是阶矩阵，且，则下列一定成立的是（ C ）
B A ,n 0=AB （A ） 或 （B ）都不可逆 0=A 0=B B A ,（
C ）中至少有一个不可逆 （
D ）B A ,0=+B A 12.设是两个阶可逆方阵，则等于（ A ）
B A ,n ()[
]
1
-T AB （A ） (B)
()1
-T A ()
1
-T B ()1
-T B
()
1
-T A （C ） （D ）()
T
B
1-T A )(1-()T
B 1
-()
1
-T A 13.若都是阶方阵，且都可逆，则下述错误的是（ A ）
B A ,n B A ,（A ）也可逆 （B ）也可逆B A +AB （
C ）也可逆 （
D ）也可逆1-B 1
1--B A 14.为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是 （ B ）B A ,（A ） （B ） AB B A + （C ） （D ）BA BAB
15．设均为阶方阵，下列情况下能推出是单位矩阵的是 （ D ）
B A ,n A （A ） （B ） B AB =BA AB =（
C ） （
D ）
I AA =I A
=-1
16.设都是阶方阵，则下列结论正确的是（ D ）
B A ,n
（A ）若和都是对称矩阵，则也是对称矩阵A B AB （B ）若且，则0≠A 0≠B 0
≠AB （C ）若是奇异矩阵，则和都是奇异矩阵 AB A B （D ）若是可逆矩阵，则和都是可逆矩阵AB A B 17. 若均为阶非零矩阵，且，则（ A ）B A 与n 0=AB （A ） （B ） n A R <)(n A R =)( （C ） （D ）0)(=A R 0
)(=B R 四、解答题：
1. 给定矩阵，，求及⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=443312111A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321B A B T 1
-A 解：
…………………..（5⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=6848126594443312111313422321A B T 分）
……………………………………………………(5分)⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-=-212
12
52121211041A 2. 求解矩阵方程=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X 110011101⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛521234311解： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
021
100111
01≠= ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分1
110011101-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=11111111121 ．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ３分
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=301222012X
3. 求解矩阵方程，其中，B XA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011220111A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112011111B 解：因为 所以可逆 ……………….…………………….(2分)
6-=A A ………………………(4分)⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡--=-313
13
131********
311
A 故
……………………………..(4分)⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡-==-346
53
23131323431
31
1
BA X 4. 求解下面矩阵方程中的矩阵：X ⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 解：
令，则均可逆，且
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021102341,010100001,100001010C B A B A ,⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--010100001,1000010101
1B A 所以⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==--2014311121
1B C A X 5. 设矩阵，求矩阵，使其满足矩阵方程.
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=321011324A B B A AB 2+=解：即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
B A AB 2+=A B I A =-)2(
而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分.461351341121011322)
2(1
1
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=---I A 所以 A I A B 1
--=)2(⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=321011324461351341 =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
.9122692683⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----五、证明题
1. 若是反对称阵，证明是对称阵。

A 2
A 证明：因为是反对称阵，所以 （3分）
A A A T
-=,所以为对称阵。

（5分）22))(()()(A A A A A AA A T T T T =--===2A 2.设矩阵及都可逆，证明也可逆。

,A B A B +11
A B --+证明：因为，可逆，故，存在，．．．．．．．．．３分
,A B A B +1
1
,A B --1
()A B -+所以有
．．．．．．４分
()()()()11
1111
111
11()()()()A B B A B A A B I B A A A B A A B A A A B A B A A A A I
-----------++=++=++=++==故可逆，其逆为.．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１分1
1
A B --+()
1
B A B A -+
3.已知为阶方阵，且，B A ,n B A B A B B A A +=-==2
2
2
)(,,证明：0
=+BA AB 证明：……………4分
B A BA AB B A B A +=--+=-2
2
2
)(所以……………4分
0=+BA AB
4.设为两个阶方阵，试证明：的充要条件是。

B A ,n 2
2))((B A B A B A -=+-BA AB =证明：充分性： 因为BA
AB =所以……… 4分
2
2
2
2
))((B A B BA AB A B A B A -=--+=+-必要性：因为，即2
2
))((B A B A B A -=+-2
222B A B BA AB A -=--+ 所以……… 8分
BA AB =5. 是反对称矩阵，是对称矩阵,
A B 证明:是反对称矩阵的充要条件是。

AB BA AB =证明： 充分性：因为,, A A T -=B B T
=BA
AB =所以,即是反对称矩阵……… 4分AB BA A B AB T
T
T
-=-==)(AB 必要性：因为是反对称矩阵，即AB AB AB T
-=)( 又BA A B AB T
T
T
-==)( 所以……… 8分
BA AB =。