浙江省L16联盟2023-2024学年高三下学期开学适应性测试数学试题含答案

浙江省L16联盟2024年高三返校适应性测试
数学（答案在最后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）
A.1
B.2
C.4
D.8
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】设圆弧所对的圆心角为α，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得24α⨯=，所以2α=.故选：B.
2.直线l 过抛物线2:4C x y =-的焦点，且在x 轴与y 轴上的截距相同，则l 的方程是（）
A.1y x --=
B.=1y x -+
C.1y =x -
D.1
y x =+【答案】A 【解析】
【分析】根据题意，求得抛物线C 的焦点为(0,1)F -，设直线方程为0x y m ++=，代入直线方程求得m 的值，即可求解.
【详解】由抛物线2:4C x y =-的焦点为(0,1)F -，
又由直线l 在x 轴与y 轴的截距相同，可得直线方程为0x y m ++=，将点(0,1)F -代入0x y m ++=，可得1m =，所以直线l 的长为=1y x --.故选：A.
3.如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（
）
A.24
B.36
C.48
D.96
【答案】C 【解析】
【分析】根据条件，利用分步计数原理和组合知识即可求出结果.【详解】由题有2
1
1
2
4222C C C A 622248=⨯⨯⨯=，故选：C.
4.随机变量X 服从正态分布(
)2
1,X N σ .若(13)0.2P X ≤<=，则(1|1)P X X
<>=（
）
A.
14
B.
38
C.
58
D.
34
【答案】B 【解析】
【分析】根据条件，利用对称性得到(1)0.3P X <-=，(1)0.8P X >=，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】因为(13)0.2P X ≤<=，所以(1)(3)10.20.3P X P X <-=>=-=，又(1)0.50.30.8P X >=+=，所以(1)0.33
(1|1)(1)0.88
P X P X X P X <-<>===>，
故选：B.
5.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】依题意，1,1a b >>，
对于甲：e e b
a
a b =，即e e a b
a b
=，
设()()()()2
e 1e 1,0x x
x f x x f x x x -'=>=>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故e e a b
a b a b
=⇔=.
对于乙：b a a b =，两边取以e 为底的对数得ln ln ,ln ln b a a b b a a b ==，由于1,1a b >>，所以ln 0,ln 0a b >>，则ln ln a b
a b
=，设()()()2ln 1ln 1,x x
g x x g x x x
-'=
>=，所以()g x 在区间()1,e 上()()0,g x g x '>单调递增，
在区间()e,+∞上()()0,g x g x '<单调递减，所以由
ln ln a b
a b
=，即()()g a g b =，若(],1,e a b ∈或[),e,a b ∈+∞，则a b =，若,a b 不在()g x 的同一单调区间，则a b ¹，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A
6.已知复数i z a b =+，其中,a b ∈R 且1a b +=，则1i z ++的最小值是（）
A.
B.2
C.
2 D.
2
【答案】D 【解析】
【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离.【详解】复数i z a b =+，其中,a b ∈R 且1a b +=，
复数z 在复平面内对应的点(),Z a b ，在直线1x y +=上，
1i z ++的几何意义是点(),Z a b 到点()1,1C --的距离，
其最小值为点()1,1C --到直线1x y +=
的距离，最小值为2
d ==
.故选：D
7.高为3，
长宽为的长方体1111ABCD A B C D -中，以11,,A C C 为球心的球123,,O O O 两两相切，过B 点作球3O 的切线PB 交球3O 于点,P P 在长方体外部，则点P 的轨迹长度是（） A.
45
π5
B. C.
32π2
D.3π
【答案】C 【解析】
【分析】设出球123,,O O O 的半径分别为123,,R R R ，得到方程，求出32R =，从而得到点P 的轨迹为以M 为
的圆，位于长方体外部的圆弧部分，求出答案.【详解】设球123,,O O O 的半径分别为123,,R R R ，
则124R R +==，
135R R +==，
233R R +=，
解得32R =，
过B 点作球3O 的切线PB 交球3O 于点P ，则点P 的轨迹为球3O 的小圆，其中圆心为M ，则
M 在线段BC 上，
如图所示，BP ⊥CP
，2,CP BC ==2BP
=
=，
BCP 为等腰直角三角形，故1
2
PM BC =
=由于P 在长方体外部，
故点P 的轨迹为以M 的圆，位于长方体外部的圆弧部分，其中位于长方体外部的部分占到整个圆的
34
，
故轨迹长度为332π42
⨯=.故选：C
8.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*,()m n m n ∈>N 均有22m n m n m n a a a a +-+=+.记{}n a 的前n 项和为n S ，则7S =（）
A.28
B.140
C.256
D.784
【答案】B 【解析】
【分析】令1n =，得到11(())2m m m m a a a a +---=-，令1m m m b a a +=-，求得12m m b b --=，得出{}m b 为
等差数列，求得1223m m a a m a +=--+，利用累加法求得2
2(2)(1)m a m m a -+-=，再令3,2m n ==，得到513222a a a a +=+，求得24a =，得出2
m a m =，即可求解.
【详解】由数列{}n a 满足11a =，且22m n m n m n a a a a +-+=+，
令1n =，可得1112222m m m m a a a a a +-+=++=，即11(())2m m m m a a a a +---=-，再令1m m m b a a +=-，可得12m m b b --=，即数列{}m b 是公差为2的等差数列，又由12121b a a a =--=，可得223m b m a =-+，即1223m m a a m a +=--+，又由22
2
11321()()((2)()1)m m m a a a a a a a a m m a -=+-+-++--=+- 即2
2(2)(1)m a m m a -+-=，所以3212a a =+及5294a a =+，
令3,2m n ==，可得513222a a a a +=+，代入可得222942121(2)a a a ++=++，
解得24a =，所以22
(2)(1)4m m a m m -⨯-=+=，
即数列{}n a 的通项公式为2
n a n =，
所以2222222
71234567140S =++++++=.故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明数列{}m b 是公差为2的等差数列，再结合累加法并求出24a =，
从而得到2
n a n =，最后计算7S 即可.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知集合{}
{}2
10,A x x B =∈+==∅R
∣，则（）A.A =∅ B.A B
= C.A B
∈ D.A B
⊆【答案】ACD 【解析】
【分析】根据条件得到A =∅，从而得到选项A 正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B ，C 和D 逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】易知方程210x +=无解，所以A =∅，所以选项A 正确，因为{}B =∅，所以选项B 错误，
因为集合B 是以∅为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C 正确，又空集是任何集合的子集，所以选项D 正确，故选：ACD.
10.设()0,πθ∈，向量()sin ,cos a θθ=
，向量()sin2,cos2b θθ= ，则（
）
A.,a b
必不互为平行向量B.,a b
必不互为垂直向量
C.存在θ，使a b
=
D.对任意()()
,a b a b
θ+⊥-
【答案】AD 【解析】
【分析】根据平行向量、垂直向量、相等向量的坐标表示以及向量的数量积运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A ：若,a b
互相平行，则sin cos 2cos sin 2θθθθ=，
即(
)
2
2
sin 2cos 12sin cos θθθθ-=，又()0,πθ∈，sin 0θ≠，
则222cos 12cos θθ-=，即10-=，显然不成立，
故,a b
必不互为平行向量，A 正确；
对B ：若π
2
θ=
，则()1,0a = ，()0,1b =- ，
此时0a b ⋅= ，a 与b 垂直，故B 错误；
对C ：若a b =
，则sin sin 2θθ=，且cos cos 2θθ=，
即sin 2sin cos θθθ=，且2cos 2cos 1θθ=-，又()0,πθ∈，sin 0θ≠，则1
cos 2
θ=
，且2cos 2cos 1θθ=-，显然无法同时成立，即,a b
不可能相等，故C 错误；
对D
：1,1a b ==== ，
则()()a b a b +⋅- 2
20a b =-= ，故对任意()()
,a b a b θ+⊥- ，D 正确.
故选：AD.
11.已知函数()2
ln f x x =，曲线():C y f x =.过不在C 上的点(),(0)P a b a >恰能作两条C 的切线，切
点分别为()()()()()11221
2,,,x f x x f x x
x <，则（
）
A.e a >
B.()2e 1a b =+
C.1x a <
D.()2f x b
>【答案】BCD 【解析】
【分析】求导函数，结合题意利用导数的几何意义转化为()22ln ln 2ln a x
g x x x b x
=
+--有两点问题，求导，分类讨论研究函数单调性，根据函数性质求出()2e 1a b =+，从而判断AB ，分类作出函数图象，结合函数图象分析数形结合判断CD.
【详解】因为()2
ln f x x =，所以()2ln x
f x x
=
'，所以经过()()
(),1,2i i x f x i =的切线方程为()22ln ln i
i i i
x y x x x x =
-+，由切线过点(),P a b 知()22ln ln i
i i i
x b a x x x =
-+()1,2i =，
令()22ln ln 2ln a x
g x x x b x =
+--，则()g x 恰有两个零点12,x x ，且()()()22ln 1x x a g x x
'--=，当e a =时，()0g x '≥，则()g x 在()0,∞+单调递增，不可能有两个零点；
当e a ≠时，则若e a >，当0e x <<或x a >时()0g x '>，当e x a <<时()0g x '<，则()g x 在()0,e 和(),a ∞+上单调递增，在()e,a 上单调递减，
若0e a <<，当0x a <<或e x >时()0g x '>，当e a x <<时()0g x '<，则()g x 在()0,a 和()e,∞+上单调递增，在(),e a 上单调递减，故()e 0g =或()0g a =时，函数()g x 才可能有两个零点，又()2
ln 0g a a b =-≠，故()e 0g =，此时显然有两条切线，
所以()2e 10e a g b =
--=，即()2e 1a b =+，当12
b =时，3
e e 4a =<，故选项A 错误，B 正确；由上述分析，{}12e ,x x ∈，当e a >时，1e x a =<，()g x 在()0,e 和(),a ∞+上单调递增，在()e,a
上单调递减，示意图如图：
显然1x a <，且()2
22222222ln ln 2ln 2ln 10a x a f x b x b x x x x ⎛⎫
-=-=-
=-> ⎪⎝⎭
，所以()2f x b >，当0e a <<时，2e x a =>，()g x 在()0,a 和()e,∞+上单调递增，在(),e a 上单调递减，
示意图如图：
显然1x a <，()()2
2e ln e=1f x f ==，由()2e 1a b =+得21e
a
b =
-，所以22e
111e e
a b =
-<-=，即()2f x b >，综上，1x a <，()2f x b >，故选项C 和D 正确.故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义与数形结合研究函数的零点问题，解题关键是采用数形结合的思想分析研究零点的范围.本题中根据曲线有两个切线结合拐点性质得到()2e 1a b =+，然后数形结合分析即可求解，若利用单纯的代数运算求解判断比较困难．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数()()
2
ln e 1x
f x x ax =+-是奇函数，则=a __________.
【答案】1
2##0.
5
【解析】
【分析】根据()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，变形后得到21a =，求出答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()
2
ln e 1x
f x x ax =+-为奇函数，
故()()f x f x -=-，即()
()()
2
2
ln e 1ln e 1x x x a x x ax --+--=-++对x ∀∈R 恒成立，
化简得e 1e 1ln 2,ln 2,lne 2,21
e 11e x x x x x
ax ax ax x ax -++=∴==∴=++，故21a =，解得12
a =.故答案为：1
2
13.已知数列{}n a 满足14a =，且其前n 项和为公比为2的等比数列.则{}n a 的前n 项积是__________.（用含n 的式子表示）.【答案】222
2
n n ++【解析】
【分析】根据条件得到数列{}n a 的前n 项和为1
2n n S +=，进而得出n a ，即可求出结果.
【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，又114S a ==，由题知111
1422n n n n S S q --+==⨯=①，
当2n ≥时，12n
n S -=②，
由①-②得到11222(2)n n n
n n n a S S n +-=-=-=≥，所以4,12,2,N n n n a n n *=⎧=⎨≥∈⎩
，
设数列{}n a 的前n 项积为n T ，当1n =时，14n T a ==，
当2n ≥时，22232232
12422222
n n n n n n T a a a ++++++==⨯⨯⨯⨯== ，
显然1n =时适合上式，所以222
2
n n n T ++=，
故答案为：
222
2
n n ++.
14.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>与平行于x 轴的动直线交于,A B 两点，点A 在点B 左侧，双曲线C
的左焦点为F ，且当AF AB ⊥时，AF AB =.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长BF 至点P 使AF FP =，连接AP 交x 轴于点Q ，则
FQ FP
的值是__________.
【答案】①.
1+##1②.
1-##1-【解析】
【分析】根据条件，设0(,)A c y -，代入双曲线方程得420
2b y a =，再根据条件即可得2
2b c a
=，从而求出结果；
利用PQF PAB ，得到
FQ AB AB FP
BP
AF BF
=
=
+，设(,)A x y ，则有2AB x =，
AF =，BF =.
【详解】当AF AB ⊥时，设0(,)A c y -，
则有2
20221y c a b -=，解得42
02b y a =，又AF AB =，所以22b c a
=，
又222b c a =-，所以222c a ac -=，两边同除2a ，得到2210e e --=，
解得1e =+1e =-，因为PQF PAB ，有
FQ AB AB FP
BP
AF BF
=
=
+，
设(,)A x y ，则(,)B x y -，2AB x =，AF =，BF =
所以
22FQ a a
FP
c c
=
=，
又1c
a
=+，所以1a c =
=，
21+；21-.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用PQF PAB ，得到
FQ AB AB FP
BP
AF BF
=
=
+，
设(,)A x y ，(,)B x y -，求出,,AB AF BF ，化简并结合双曲线定义，即可求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.设函数()()e 1
ln 0x f x x a ax x
=--≠.
（1）e a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 至多只有一个零点.【答案】（1）0y =（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）当e a =时，()1e 1ln x f x x x x -=--，得到()1
2
2(1)e 11
x x f x x x x
--'=-+，进而可求出()01f '=，(1)0f =，再根据导数的几何意义，即可求出结果；
（2）将()f x 的零点个数转化成ln 1()e x
x x h x +=与1
y a =交点个数，对()h x 求导，利用导数与函数单调性
间的关系，得到ln 1
()e
x
x x h x +=在区间(0,)+∞上单调递减，即可证明结果.【小问1详解】
当e a =时，()1e 1ln x f x x x x -=--，则()1
2
2(1)e 11
x x f x x x x
--'=-+，所以()01f '=，又(1)0f =，
所以曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为00(1)y x -=⨯-，即0y =.【小问2详解】
由()0f x =，得到e 1
ln 0x
x ax x
--=，整理得到n 1l 1e x
x x a +=，令ln 1
()e x x x h x +=，则2(ln 1)e e ln ln (1)ln ()(e e (ln 1e
))x x x x x
x x x x x x x h x x +--'==+=-，当(0,1)x ∈时，(1)ln 0x x -<，当(1,)x ∈+∞时，(1)ln 0x x -<，所以()0h x '≤在区间(0,)+∞上恒成立，当且仅当1x =时取等号，故ln 1()e x x x h x +=
在区间(0,)+∞上单调递减，则1
y a =与ln 1()e
x
x x h x +=最多有一个交点，即()f x 至多只有一个零点
16.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形.已知点,,,B C E F 四点共面，且,AD AB AD AC ⊥⊥.
（1）证明：
（i ）平面//ABC 平面DEF ；（ii ）多面体ABCDEF 是三棱台；
（2）若1,2,AB AC AD DE DF BC ======，求平面BCEF 与平面DEF 所成角的余弦值.
【答案】16.（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析17
.3
3
【解析】
【分析】（1）（i ）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行；（ii ）由面面平行得到线线平行，即//BC EF ，作出辅助线，证明出直线,,EB FC DA 相交于点H ，故多面体ABCDEF 是三棱台；
（2）由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，求出两平面的夹角余弦值.【小问1详解】
（i ）四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形，,AD AB AD AC ⊥⊥，故//AB DE ，//AC DF ，因为AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//AB 平面DEF ，同理可得//AC 平面DEF ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，AB AC A ⋂=，所以平面//ABC 平面DEF ；（ii ）由（i ）知，平面//ABC 平面DEF ，又,,,B C E F 四点共面，
平面ABC ⋂平面BCEF BC =，平面DEF ⋂平面BCEF EF =，故//BC EF ，由于四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形，且,AD AB AD AC ⊥⊥，故BE 与DE 不垂直且夹角为锐角，CF 与DF 不垂直且夹角为锐角，
所以,BE CF 为相交直线，延长两直线相交于点H ，所以H ∈直线BE ，H ∈直线CF ，又BE ⊂平面ABED ，CF ⊂平面ACFD ，故H ∈平面ABED ，H ∈平面ACFD ，又平面ABED ⋂平面ACFD AD =，故H AD ∈，
故直线,,EB FC DA 相交于点H ，故多面体ABCDEF 是三棱台；
【小问2详解】
因为1,AB AC BC ===，故222AB AC BC +=，则AB ⊥AC ，故DE ⊥DF ，
又,AD AB AD AC ⊥⊥，故,AD DE AD DF ⊥⊥，
以D 为坐标原点，,,DE DF DA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1,2AD DE DF ===，故()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,0,1D E F B ，
设平面BCEF 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()(),,1,0,10
,,1,2,120
m BE x y z x z m BF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅--=-+-=⎪⎩ ，
令1x =，则1z =，1y =，故()1,1,1m = ，平面DEF 的法向量为()0,0,1n =
，
设平面BCEF 与平面DEF 所成角大小为θ，则
3cos cos ,3m n m n m n θ⋅===⋅
.
17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin sin A B C =.（1）当角C 最大时，求其最大值并判断ABC 的形状；（2）若ABC 的中线3CD =ABC 面积的最大值.【答案】（1）π
3
，等边三角形（23【解析】
【分析】（1）根据条件，由正弦定理得到2ab c =，再利用余弦定理及重要不等式可得1
cos 2
C ≥，即可求出结果；
（2）根据条件，利用向量的中线公式得到22122cos b a ab C =++，再结合余弦定理得到22212c b a +=+，进而可得到4ab ≤，π
3
C =，即可求出结果.【小问1详解】
由2sin sin sin A B C =得到2ab c =，
又由余弦定理得222221211
cos 222222
a b c a b ab C bc bc bc +-+==-≥-=，当且仅当a b =取等号，
又(0,π)C ∈，且cos y x =在区间(0,π)上单调递减，所以π3
C ≤，即角C 最大值为π
3
，又a b =，所以ABC 为等边三角形.【小问2详解】
因为1()2
CD CA CB =+ ，得到222
22422cos CD CA CA CB CB b a ab C =+⋅+=++ ，
又3CD =
，所以22122cos b a ab C =++①，
又由余弦定理得2222cos c b a ab C =+-②，由①+②得到222122()c b a +=+，
又2ab c =，所以22122()4ab b a ab +=+≥，得到4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，此时，π2,3c C ==，由（1）知π3
C ≤，
所以11πsin 4sin 223
ABC S ab C =
４�ABC 面积的最大值为
18.已知曲线C 由()2
2
40x x y +=≤和22
1(0)84
x y x +=>组成，点()2,0A -，点()2,0B ，点,P Q 在C
上.
（1）求PA PB +的取值范围（当P 与A 重合时，0PA =）；（2）若OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.
【答案】（1）4,⎡⎣
（2）2,⎡⎣【解析】
【分析】（1）注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，分点P 是否在y 轴的右侧两种情况讨论即可得解；
（2）当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1
:,:0OP y kx OQ y x k k
==-
≠，求出OP ，同理求出OQ ，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含y 轴）和一点在y 轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.【小问1详解】
注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，
当点P 在y 轴的右侧时，由椭圆的定义可得PA PB +=；
当点P 不在y 轴的右侧时，设π,0,4PBA αα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦
，
则π4sin 4cos 4PA PB ααα⎛⎫+=+=+
⎪⎝
⎭
，因为π0,
4α⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦，所以
πππ,442α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，
所以π4,4PA PB α⎛
⎫⎡
+=+
∈ ⎪⎣⎝
⎭
，
综上所述，4,PA PB ⎡+∈⎣；
【小问2详解】记OPQ △的面积为S ，
当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1
:,:0OP y kx OQ y x k k
==-
≠，联立22
184x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，则有2
2
821P x k =+，故()
(
)22
2222281121
P P P
k OP x y k x k +=+=+=+，
同理可得()
2222
218181221k k OQ k k
⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭==++，故(
)
()(
)
2
22
2
22
2
161
4
212
k OP OQ
S k
k +=
=
++，
令21,1t k t =+>，则21k t =-，
则()()22
22161616
11211119224
t S t t t t t ===-+⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，
由1t >，得1
01t
<
<，所以2216
64,8911924
S t ⎡⎫=
∈⎪⎢⎣
⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，
所以8,3
S ⎡∈⎢⎣；当两点都在半圆上时，2OP OQ ==，
则22
OP OQ S =
=；
当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含y 轴），由对称性，可设点P 在半椭圆上，则2OQ =，
故(
)22
222
2
81444
21
21
k OP OQ
S k k +=
=
=+
++，
由0k ≠，可得2211k +>，
所以()2
2444,821
S k =+
∈+，所以(2,S ∈；
当一点在y 轴上一点在半椭圆上时，
由对称性，可设点Q 是曲线与y 轴的交点，则点P 为椭圆的右顶点，
则2,OQ OP ==
2
OP OQ S =
=，
综上所述，OPQ △面积的取值范围为2,⎡⎣.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.一般地，n 元有序实数对()12,,,n a a a 称为n 维向量.对于两个n 维向量
()()1212,,,,,,,n n a a a a b b b b ==
，定义：两点间距离d =
利用n 维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与
每个标准点的距离n d ，与哪个标准点的距离n d 最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值()1a ､管理能力分值()2a ､计算机能力分值()3a ､沟通能力分值()4a （分值
{}*,1,2,3,4i a i ∈∈N 代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
岗位
业务能力分值
()
1a 管理能力分值
()
2a 计算机能力分值
()
3a 沟通能力分值
()
4a 合计分值会计（1）215412业务员（2）523515后勤（3）235313管理员（4）
4
5
4
4
17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量
()1234,,,a a a a β=
的四个坐标.
（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方2
n d 均小于20的应聘者才能被招录.
（i ）小刚测试报告上的四种能力分值为()04,3,2,5β=
，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职
业1234､
､､的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；（ii ）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1234､
､､的推荐率()p 分别为2
2
2221234141397,,,43434343n n d p d d d d ⎛
⎫= ⎪+++⎝⎭
，试求小明的各项能力分值.
【答案】（1）16
（2）（i ）小刚最适合业务员岗位；（ii ）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5【解析】
【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；
（2）（i ）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii ）先根据条件得到
2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈的相关方程组，利用2222123480d d d d ++<+，2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈，得到
2123222
414,13,9,7d d d d ====，再根据题设列出方程，利用
22222222
(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(3)5a b c d a b c d ⎡⎤-+-+-+---+-+-+-=⎣⎦
，得出2,1
3,34,5b d b d b d ==⎧⎪==⎨⎪==⎩
，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.【小问1详解】
将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12131517，，，，又40.753i np ==⨯=，所以这组数据的第三四分位数为
1517
162
+=.【小问2详解】
（i ）由图表知，会计岗位的样本点为()12,1,5,4β=
，则2
2
2
2
2
1(24)(13)(52)(45)18d =-+-+-+-=，
业务员岗位的样本点为()25,2,3,5β=
，则2
2
2
2
2
2(54)(23)(32)(55)3d =-+-+-+-=，
后勤岗位的样本点为()32,3,5,3β=
，则2
2
2
2
2
3(24)(33)(52)(35)17d =-+-+-+-=，
管理员岗位的样本点为()44,5,4,4β=
，则2
2
2
2
2
4(44)(53)(42)(45)9d =-+-+-+-=，
所以2431d d d d <<<，故小刚最适合业务员岗位.
（ii ）四种职业1234､､､的推荐率()p 分别为141397
,,,43434343，且2
22221234n n d p d d d d =+++，
所以2
12222123422
22221234
2322221234
2
42222
1
2341443
13
43943
743
d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎧=
⎪+++⎪
⎪=
⎪+++⎪⎨
⎪
=
⎪+++⎪⎪
=⎪+++⎩，得到2
2222
11234222222
123422222312342
22224123414()4313()43
9()437()43d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎧=
+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪⎪=+++⎩，
又2
({1,2,3,4})n d n ∈均小于20，所以2
2
2
2
123480d d d d ++<+，且2
N ({1,2,3,4})n d n *
∈∈，故可得到2
1232
2
2
414,13,9,7d d d d ====，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为a b c d ,,,，且,,,N a b c d *∈，
1,,,5a b c d ≤≤，
依题有22222
1(2)(1)(5)(4)14a b c d d -+-+-+-==①，
222222(5)(2)(3)(5)13a b c d d -+-+-+-==②，
222223(2)(3)(5)(3)9a b c d d -+-+-+-==③，
222224(4)(5)(4)(4)7a b c d d -+-+-+-==④，
由①-③得，
22222222
(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(3)a b c d a b c d ⎡⎤-+-+-+---+-+-+-⎣⎦1495=-=，
整理得：23b d -=，
故有2,1
3,34,5b d b d b d ==⎧⎪
==⎨⎪==⎩
三组正整数解，
对于第一组解，代入④式有22(4)9(4)97a c -++-+=，不成立；对于第二组解，代入①式有22(2)(5)4a c -+-=，
解得45a c =⎧⎨=⎩或23a c =⎧⎨=⎩
，代入②④式均不成立；
对于第三组解，代入②式有22(5)(3)9a c -+-=，
解得23a c =⎧⎨=⎩，代入①②③④均成立，故2
4
35
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪
⎪=⎩；
故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5.
【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii ）问的解决关键在于，根据题设定义列出2
N ({1,2,3,4})
n d n *
∈∈的相关方程组，分析得2123222
414,13,9,7d d d d ====，进而选择合适的式子得到23b d -=，从而分析得解.。