2011厦门自主招生数学试卷含答案

一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
1． 一个角是80°，它的补角是（ ）
A ．10°
B ．100°
C ．80°
D ．120°
2． 有一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，掷一次骰子，向上的一面的点数为2的倍数的概率是（ ） A ．0
B ．
12
C ．
16
D ．1
3． 右边物体的左．视图．．
是（ ）．
4． 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A ．7
B ．9
C ．12
D ．9或12
5．等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若
60APD ∠=°，则 CD 的长为（ ）
A ．32
B ．23
C ．12
D ．34
6、下列命题正确的是（ ）
A 、有一个角是直角的四边形是矩形
B 、两条对角线相等的四边形是矩形
C 、两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D 、四个角都是直角的四边形是矩形
7. 点A 1、 A 2、 A 3、 …、 A n （n 为正整数）都在数轴上.点A 1在原点O 的左边，且A 1O=1；点A 2在点A 1的右边，且A 2A 1=2；点A 3在点A 2的左边，且A 3A 2=3；点A 4在点A 3的右边，且A 4A 3=4；……，依照上述规律，点A 2008 、 A 2009所表示的数分别为（ ）.
A.2008、-2009
B.-2008、 2009
C.1004、-1005
D.1004、 -1004
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
8．16的平方根为 9.一数据2, 6, 2, 8, 4, 2的众数是 10.分解因式：4x 2
＋8x+4=
11.已知，圆锥的底面半径为5cm ，母线长为20cm ，圆锥的侧面积为_____2
cm (结果保留π) 12.如图，ABC △内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，25ABC ∠=，则CAD ∠= ° 13分式方程
1233k
x x
-=
--有增根,则增根是 ,_________k = 14已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2
＋3x ＋m 2
－4=0有一个解是0， 则m 的值是 .
(12题图)
A
D
C P
B
（第5题图） 60°
15已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0，0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a . 若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，120°]后，所在位置的坐标为 16如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论：
1
902
BOC A ∠=∠①°+；
②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；
③设OD m AE AF n =+=，，则AEF S mn =△；
④EF 不能成为ABC △的中位线． 其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
17直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点A （4，0）与 B （0，
，现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处， 以每秒1个单位的速度向右作平移运动， 则经过 ______秒后动圆与直线AB 相切。

三、解答题（本大题共9小题，共89分）
18 计算(18分)
（1）()︒+⎪⎭
⎫ ⎝⎛---30sin 23111
2009
-︱2-3︱
（2）先化简，再求值：2
(2)(4)a a a -++，其中a =
（3）先将211
11x x x x x ⎛⎫--÷
⎪++⎝⎭
化简，然后请你选一个自己喜欢的x 值，求原式的值． 19.（8分）
在不透明的A 箱中装有背面完全相同、正面上分别写有数字1、3、5、7 的四张卡片，充分混合后，小林从中随机地抽取一张，把该卡片上的数字做为被除数；在不透明的箱中装有形状、大小完全相同，分别标有数字1、3、5的三个乒乓球，充分混合后，小张从中随机地摸出一球，把该球上的数字做为除数．然后，他们计算出这两个数的商．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两数商为整数的概率；(2)小林与小张做游戏，游戏规则是：若这两数的商小于1，则小林赢，否则小张赢．你认为该游戏对双方公平吗?请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平(不必说明理由)．
A
D F
C
Ｂ Ｏ
Ｅ
第16题图
20、如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，高CE ，试根据图中数据，(1)求出坡角α和坝底宽AD;（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）
21 （8分）下面的方格图中，将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1
绕点A 1逆时针旋转90得到
A 1
B 2
C 2，请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2。

22 （8分）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源， 某市决定从今年开始，采取价格调控手段达到节水的目的 ．右表是该市今年生活用水的收费价目表，若小芳家1月份应交水费为30元，则她家1月份的用水量是多少3
m ?
23 (9分)D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE ＝AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ， ∠1＝∠2． （1）图中哪个三角形与△F AD 全等？并证明你的结论． （2）求证：DF 2＝FG ·AF ．
图
A
B
C
（第12题）
24 （9分）已知：关于x 的方程04)44(2
2=+-+x m x m ． （1）若方程有一个根为－1，求m 的值． （2）若方程有两个实数根，求m 的取值范围．
（3）若1x ，2x 是方程的两个实数根，且21x x =，求m 的值． 25. （10分）
已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形
ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.
（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（3分）
（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（3分） （3）在（2）的条件下，△GFC 的面积能否等于2？请说明理由.（4分）
26 （11分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．
（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为
6
5
，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
26题图
x
H
G
F E
D
C
B
A (第22题图 1）
H
G
F
E
D
C
B
A (第22题图 2）
数学参考答案及评分标准
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 3．解答题评分时，给分或扣分均以1分为基本单位． 一、选择题(本大题有7小题，每小题3分，共21分)
二、填空题(本大题有10小题，每小题4分，共40分)
8. ±4. 9. 2. 10. 4(x+1) 2
. 11.100π. 12. 65. 13 . -1 14. -2. 15. (-3 , -1) 16. (1),(2),(4). ； 17. 37或3
17 三、解答题(本大题有9小题，共89分) 18. (本题满分18分) (1)解： ()
︒+⎪⎭
⎫
⎝⎛---30sin 23111
2009
-︱2-3︱ ＝1-3 +1-2+ 3 ……4分(每个一分)
＝-3- 3 ……6分 (2)解：2
(2)(4)a a a -++
＝a 2 -4a+4+ a 2 +4a ……8分(每个一分)
＝2a 2 +4 ……9分
当a =
……10分
原式=2×(3)2+4 =10 ……12分
(3) 211
11x x x x x ⎛⎫--÷
⎪++⎝⎭
……13分 ＝112+-x x . 1
-x x
……15分
＝ x ……16分
当x ＝ 2时，原式=2 ……18分
（不能取0，1，-1）
19．(本题满分
列表或树状图 ……3分
P(两数商为整数)=
126=2
1
……5分 不公平 ……6分 两数商为整数，小张胜，否则小林胜 ……8分
20．(本题满分8分) (1) ∵tan α=1:
3
∴∠α=30° ……1分 在Rt △CED 中 ……2分 ∵tan α=1:
3=
ED
CE
,CE=4米 ……3分 ∴ED=43米 ……4分
做BF ⊥AD
如图BC=FE=4.5 CE=BF=4 ……5分
在Rt △ABF 中 ……2分(两个RT △共一分) FB 2+ AF 2= AB 2
AF=3米 ……6分 AD=AF+FE+ED=(7.5+43)米 ……7分 答：坡角为30°，坝底宽AD 长(7.5+43)米 ……8分
21 (本题满分8分)
画图每个4分
22．(本题满分8分)
解：若用户每月用水6 m3 ,则收水费为6×4=24元 < 30元
所以用户用水超过 6 m3 (1)
分
m……2设她家1月份的用水量是x3
分
2×6+3（x-6）=30 (5)
分
X=12 经检验符合题意 (7)
分
m……8答：她家1月份的用水量是123
分
23．(本题满分9分)
△FBE (1)
分
∵BE∥AC
∴∠1= ∠E (2)
分
∵ BE=AC
∠DFA ＝∠FEB ，
∴ △ADF ≌△EBF . ……4分 ∵ ∠1= ∠E, ∠1= ∠2
∴ ∠2= ∠E 又∵∠EFB=∠EFB ……5分 ∴ ΔFBG ∽ΔFEB ．
∴ FB:FG=FE:FB ……6分
∴ BF 2
＝FG ·EF ……7分
∵ △ADF ≌△EBF .
∴ BF=DF, EF=AF ……8分 ∴DF 2＝FG ·AF ……9分 24．(本题满分9分)
（1）由题意得X=1代入得 m 2
×1+(4-4m) ×(-1)+4=0
m1=0, m2=-4 ……2分(1个1分) （舍0扣1分）
(2)由题意得方程为一元二次方程，且有两个实根
m ≠0 ……3分
Δ= b 2
-4ac ≧0 ……4分
(4-4m)2 -16m 2
≧0
解得m ≦2 ……5分 (3) 21x x =
x1=x2,或x1= -x2 ……6分 若 x1=x2
Δ= 0 ，m=2 ……7分 若 x1= -x2 ,即x1+x2=0 . ……8分 (4-4m)=0,m=1 ……9分
25．(本题满分10分)
1）如图①，过点G 作GM BC ⊥于M . 在正方形EFGH 中，
90,HEF EH EF ∠==.
90.
90,.
AEH BEF AEH AHE AHE BEF ∴∠+∠=∠+∠=∴∠=∠ 又∵90A B ∠=∠=，
∴⊿AH E ≌⊿BEF . ………………………1分
同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF . ………………………2分
∴GM=BF=AE =2.
∴FC=BC-BF =10. ………………………3分 （2）如图②，过点G 作GM BC ⊥于M .连接HF .
//,.
//,.AD BC AHF MFH EH FG EHF GFH ∴∠=∠∴∠=∠
.AHE MFG ∴∠=∠ ………………………4分
又90,,A GMF EH GF ∠=∠==
∴⊿AHE ≌⊿MFG .
∴GM=AE =2. ………………………5分
11
(12)12.
22
GFC
S
FC GM a a ∴=⋅=-=- ………………………6分 （3）⊿GFC 的面积不能等于2. ………………………7分
∵若2,GFC
S
=则12- a =2，∴a =10.
此时，在⊿BEF 中，
EF = ……………8分
在⊿AHE 中，
12AH ===>.…9分
∴AH ＞AD .
即点H 已经不在边AB 上. 故不可能有 2.GFC
S
= ………………………………………10分
26解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，，
90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，
1
tan 2tan 212
AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯=．
∴(01)E ，． ……2分
设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2
(0)y ax bx c a =++≠． 将点E 的坐标代入，得1c =．
将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得
42129310.a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
，
解这个方程组，得56
136a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故抛物线的解析式为2513
166
y x x =-++．
……4分 （2）2EF GO =成立．
点M 在该抛物线上，且它的横坐标为
6
5
， ∴点M 的纵坐标为
125
． 设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠， 将点D M 、的坐标分别代入，得
1122612.5
5k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1123k b ⎧
=-⎪⎨
⎪=⎩，
． ∴DM 的解析式为1
32
y x =-+．
∴(03)F ，，2EF =． ……6分
过点D 作DK OC ⊥于点K ， 则DA DK =．
90ADK FDG ∠=∠=°， FDA GDK ∴∠=∠．
又90FAD GKD ∠=∠=°， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==． 1GO ∴=．
2EF GO ∴=． ……7分 （3）
点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，．
∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．
①若PG PC =，则2
2
2
2
(1)2(3)2t t -+=-+， 解得2t =．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合．
∴(22)Q ，． ……8分
②若PG GC =，则2
2
(1)22t 2
-+=， 解得 1t =，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴．
GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，
x
∴点Q 的纵坐标为73
． ∴713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． ……9分 ③若PC GC =，则222(3)22t -+=，
解得3t =，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，
则QH GH =，设QH h =，
(1)Q h h ∴+，．
2513
(1)(1)166h h h ∴-++++=． 解得127
25h h ==-，（舍去）．
12
755Q ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭，．
综上所述，存在三个满足条件的点Q ，
即(22)Q ，或713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或12
755Q ⎛⎫
⎪⎝⎭，．
……11分
x。