【教学随笔】谈综合法与分析法的应用

谈综合法与分析法的应用
综合法与分析法是数学中的重要方法，它是求解与分析数学问题思维基础，很多看似较难的问题通过合理、准确的使用综合法与分析法，都能使结论快速产生；本文再谈此两法的应用，进一步揭示两法的应用技巧，望对你的学习能有所帮助；
1、使用综合法
综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件、再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁？
例1、设22
3≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x 证明：由于,a b R +∈时，2
)2(222b a b a +≤+，得)(222b a b a +≤+ 那么，)31532(231532x x x x -+-≤-+-x 224-=
)22444(222412x x x x -++≤-++82142142=+≤+=x 上述第一个不等式中等号成立的条件为：]2,2
3[51831532∉=⇒-=-x x x 故原不等式成立。

点评：本题的证明不重要，产生这个证明方法的思维过程很重要；你知道是怎么产生的吗？是综合法的“功劳”，请看：欲从左边证到右边，必须消去x ；如何消？只有经过平方，才能将x 从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能；于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢的2
)2(2
22b a b a +≤+就“浮出水面”，解法自然也就诞生了；
2、使用分析法
分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等；可以看出，若使用分析法求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施；
例2、设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，
试证：S I S 432<≤
证明：由于ca bc ab c b a c b a I 222)(22222+++++=++=S c b a 2222+++= 欲证S I S 432<≤，只需S S c b a S 423222<+++≤，
只需证S c b a S 2222<++≤，即ca bc ab c b a ca bc ab 222222++<++≤++； 只需证ca bc ab c b a ++≥++222且ca bc ab c b a 222222++<++；
先看ca bc ab c b a ++≥++222，只需证ca bc ab c b a 2222222
22++≥++，即0)()()(222≥-+-+-a c c b b a ，显然，此式成立，
再看ca bc ab c b a 222222++<++，
只需证0222<--+--+--ca bc c bc ab b ac ab a ；
只需证0)()()(<--+--+--a b c c c a b b c b a a ；
只需证c b a +<且a c b +<且b a c +<，由于c b a ,,为三角形边长，显然，结论成立； 故S I S 432<≤
点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的S I S 432<≤，转化为较为亲切的ca bc ab c b a ca bc ab 222222++<++≤++，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多；
3、综合法与分析同时使用
综合法与分析法是数学中的两个“大法”，在求解具体数学问题时，不是孤立的，往往它们会联手出击；
例3、试证：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，并且方向相同，那么这两个角相等；
已知：如图，BAC ∠与///C A B ∠中，////B A AB
且////C A AC ，且两角的方向相同；
求证：=∠BAC ///C A B ∠
分析：（1）BAC ∠与///C A B ∠不可能用平行线
的性质，只有考虑构造两个全等的三角形，再设法证
明两三角形全等；为此，分别在////,,,B A C A B A AC 上截取//E A AE =，//D A AD =，连结//,E D DE ，得到///,E D A ADE ∆∆；
（2）欲证两三角形全等，只需证//E D DE =；
（3）只需证//D DEE 是平行四边形，也就是/DD 平行且等于/EE ；
（4）只需证“/DD 平行且等于/AA ”且“/EE 平行且等于/AA ”
（5）只需证//A ADD 与//A AEE 均为平行四边形，显然这是一个成立的结论；于是：
证明：由于//A ADD 是平行四边形，则/DD 平行且等于/AA ；
同理，得/EE 平行且等于/AA ；
于是/DD 平行且等于/EE ，那么//D DEE 是平行四边形，得//E D DE =
在ADE ∆与///E D A ∆中，由于//E A AE =、//D A AD =且//E D DE =，因此，ADE ∆全等于///E D A ∆，从而=∠BAC ///C A B ∠；
点评：分析法找思路较为自然，容易产生解题思路与方法，但由于是“逆行”往往叙述较为复杂；而综合法产生的解法往往又显得很突然，一时不知此法由何而来；于是，二者结合，互相弥补便成了大家提倡的，即“用分析找思路，用综合法写过程”是十分行之有效方法；
好了，对于综合法与分析法，本文就谈到此，你看后有收获吗？。