2020年山西省晋中市平遥县段村中学高三数学理月考试卷含解析

2020年山西省晋中市平遥县段村中学高三数学理月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量=（2,1），=（-1,），（2-）=0，则=
A. -12
B. -
6 C. 6 D. 12
参考答案：
D
略
2. 设全集为R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（?R B）=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）
参考答案：
B
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：分别求出关于A，B的集合，再求出B在R的补集，从而求出则A∩（?R B）．
解答：解：∵A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，
B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
∴?R B={x|x≥1}，
∴A∩（?R B）=[1，2）．
故选：B．
点评：本题考查了集合的补集，交集的运算，是一道基础题．
3. 定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则
等于
A.-1
B.0
C.1
D.4
参考答案：
B
4. 已知集合，则A中元素的个数为（）．
A. 1
B. 5
C. 6
D. 无数个
参考答案：
C
【分析】
直接列举求出A和A中元素的个数得解.
【详解】由题得，
所以A中元素的个数为6.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．
参考答案：
C
6. 二项式（x2﹣）6的展开式中不含x3项的系数之和为（）
A．20 B．24 C．30 D．36
参考答案：
A
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；二项式定理．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式含x3项的系数和，再用所有现代系数和减去此值，即为所求．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r?x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x3项的系数为?（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x3项的系数之和为20，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
7. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为3，则x的值为（）
A．B．C．1 D．
参考答案：
D
【考点】构成空间几何体的基本元素．
【分析】由题意，直观图为以俯视图为底面的四棱锥，利用体积为3，建立方程，即可求出x．
【解答】解：由题意，直观图为以俯视图为底面的四棱锥，体积
==3，
∴x=，
故选：D．
【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，正确求体积是关键．
8. 若，则角
是
（）
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第二或第四象限角
参考答案：
D
略
9. 已知点P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为的内心（三角形内切圆的圆心），若
（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）
A．(1,2] B．(1,2) C．(2,3) D．(2,3]
参考答案：
A
如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则
，，
，又，，
，，又，故选A.
10. ．已知函数f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1] B．[12，+∞）C．[﹣1，12] D．
参考答案：
D
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注
意C、D选项，故将代入验证即可；从而得到答案．
【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，
故a可以取0，
故排除A，B；
当时，，
，
所以f（x）在[﹣1，1]上递减，
所以，满足条件，
故排除C，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若=3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）= ．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题．
【分析】把已知的第1个等式左边的分子分母都除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanα的方程，即可求出tanα的值，然后把所求的式子中的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α后，利用两角差的正切函数公式化简，将求出的tanα的值和已知的tan（α﹣β）=2代入即可求出值．
【解答】解：∵==3，
∴tanα=2．
又tan（α﹣β）=2，
∴tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]
=﹣tan[（α﹣β）+α]
=﹣=．
故答案为：
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道综合题．本题的突破点是将所求式子的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α的形式．
12. 定义在上的函数满足，，则f（3）= .
参考答案：
-1
13. 均为单位向量，且它们的夹角为60°，设满足，
，则的最小值为______.
参考答案：
【分析】
根据的几何意义判断在一个半径为的圆上，根据判断的终点在过的终点且平行于的直线上.根据圆和直线的位置关系，以及的几何意义，求得的最小值.
【详解】由于，即，即与两个向量终点的距离为，即的终点在以的终点为圆心，半径为的圆上.由于，根据向量加法的平行四边形法则可知，的终点在过的终点且平行于的直线上.画出图像如下图所示.由于均为单位向量，且它们的夹角为，故圆心到直线的距离
，表示两个向量终点的距离，所以最短距离也即的最小值为.
【点睛】本小题主要考查平面向量减法模的几何意义，考查平面向量加法运算的平行四边形法则，考查考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
14. 已知函数与都是定义在R上的奇函数，当时，，
则（4）的值为____．
参考答案：
2
【分析】
根据题意，由f（x﹣1）是定义在R上的奇函数可得f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），结合函数为奇函数，分析可得f（x）＝f（x﹣2），则函数是周期为2的周期函数，据此可得f（）＝f
（）＝﹣f（），结合函数的解析式可得f（）的值，结合函数的奇偶性与周期性可得f（0）的值，相加即可得答案．
【详解】根据题意，f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，
则有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），
又由f（x）也R上的为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0；
则有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2），
则函数是周期为2的周期函数，
则f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，则f（）＝2，f（4）＝f（0）＝0，
故f（）+f（4）＝2+0＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性的判定，属于难题.
15. 化简的结果为__________.
参考答案：
25
略
16. 已知函数.
（1）若a=0，x∈[0，4]，则f（x）的值域是；
（2）若f（x）恰有三个零点，则实数a的取值范围是．
参考答案：
[﹣1，1]；（﹣∞，0）
【考点】函数零点的判定定理；函数的值．
【分析】（1）求出f（x）在[﹣4，4]上的单调性，利用单调性求出最值即可得出值域；（2）对x讨论，分别求出f（x）的零点，令其零点分别在对应的定义域上即可．
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，
∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，
∵f（0）=0，f（1）=﹣1，f（4）=1，
∴f（x）在[0，1]上的值域是[﹣1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，
∴f（x）在[0，4]上的值域是[﹣1，1]．
（2）当x≤1时，令f（x）=0得x=2a或x=a，
当x＞1时，令f（x）=0得=1﹣a，∴x=（1﹣a）2（1﹣a＞1），
∵f（x）恰好有三个解，
∴，解得a＜0．
故答案为：[﹣1，1]；（﹣∞，0）．
17. 某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从调查的1000人中抽出100人作电话询访，则（百元）月工资收入段应抽出人.
参考答案：
15
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：
（1）设x=，根据表1的数据，求出y 关于x的回归方程；
（参考公式：；其中，）
（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．
参考答案：
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可求得线性回归方程；
（2）确定每月的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望．
【解答】解：（1）=（9+7+3+1）=5， =（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，
则==﹣1.05，
=5﹣（﹣1.05）×5=10.25，
故．
（2）由表2知AQI指数不高于200的频率为=0.1，
AQI指数在200至400的频率为=0.2，
AQI指数大于400的频率为0.7．
设每月的收入为X，则X的分布列为
即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500．
19. 某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天.
（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式;
（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意得所以.…………… 4分（Ⅱ）设总损失为……… 8分
当且仅当时,即时,等号成立.
所以应派52名工人去抢修,总损失最小.
20. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）（2）
当时，由，解得；
当时，，不成立；
当时，由，解得．
所以不等式的解集为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵，∴，
又不等式的解集不是空集，
所以，，所以，
即实数的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：绝对值定义，绝对值三角不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
21. 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A，B分别为椭圆的左，右顶点，设点P在第一象限，且轴，连接PA交椭圆于点C，直线PA的斜率为k.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求k的值；
（Ⅲ）设点N为AC的中点，射线NO（O为原点）与椭圆交于点M，满足
，求k的值.
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【分析】
（I）根据抛物线的准线求得，根据短轴长求得，由此求得，进而求得椭圆方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的坐标，令
求得点坐标.利用三角形的面积公式计算出和的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得的值.（III）根据（II）求得
点坐标，由此求得的斜率，设所在直线方程为，代入椭圆方程，求得
点坐标，计算出到直线的距离，的长度，化简
得到，利用列方程，解方程求得的值.
【详解】解：（Ⅰ）由已知得，，故，椭圆方程为：，（Ⅱ）设直线方程为∴
∴∴
∴，令∴
∴
∴
∵∴
（Ⅲ）由（II）和中点坐标公式，得，设所在直线方程为，则
，∴∴，
到直线的距离：，
，
∴
即，
，化简得，
∵，∴.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.
22. （本题满分12分）
已知函数
(1)求函数的单调增区间：
( 2)设中，角对边分别为，且
求的面积的最大值
参考答案：
解：（I）-------------2分
------------------------4分由可得--------5分
的单调递增区间为：-------------------------6分
（II）------------------------8分
在中，由余弦定理：----10分
所以面积的最大值为-----------------------------------------------12分
略。