基于临界域内禀损伤耗散的新型应力场强理论

博士学位论文
DOCTORAL DISSERTATION
论文题目基于临界域内禀损伤耗散的新型应力场强理论
作者姓名李浩然
学科专业机械设计及理论
指导教师彭艳教授
2019年12月
中图分类号：O346.2 学校代码：10216 UDC：082501 密级：公开
工学博士学位论文
基于临界域内禀损伤耗散的新型
应力场强理论
博士研究生：李浩然
导师：彭艳教授
申请学位：工学博士
学科专业：机械设计及理论
所属学院：机械工程学院
答辩日期：2019年12月
授予学位单位：燕山大学
A Dissertation in Machinery Design and Theory
A NEW THEORY OF STRESS FIELD INTENSITY BASED ON INTERNAL DAMAGE DISSIPATION IN
CRITICAL DOMAIN
by Li Hao Ran
Supervisor: Professor Peng Yan
Yanshan University
December, 2019
燕山大学博士学位论文原创性声明
本人郑重声明：此处所提交的博士学位论文《基于临界域内禀损伤耗散的新型应力场强理论》，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读博士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。

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对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。

本声明的法律结果将完全由本人承担。

作者签字：日期：年月日
燕山大学博士学位论文使用授权书
《基于临界域内禀损伤耗散的新型应力场强理论》系本人在燕山大学攻读博士学位期间在导师指导下完成的博士学位论文。

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本学位论文属于
不保密□。

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作者签名：日期：年月日
导师签名：日期：年月日
摘要
摘要
疲劳失效作为最严重的材料破坏形式之一，危及着构件安全运行并可能造成巨大的经济损失。

在现代工业领域，约有80%以上的结构强度破坏都是由于疲劳造成的，如铁轨、飞机、航天器、汽轮机及轧机传动轴等都不同程度受到疲劳失效的威胁。

由于现代机械构件大多数需要满足长寿命使用要求，使得高周疲劳损伤成为了构件主要损伤形式之一。

过低估计结构件高周疲劳强度无法发挥其强度潜能，不利于提高经济效益，而过高估计则威胁结构件服役安全性，可能导致安全事故，因此，开展结构件高周疲劳强度高精度预测具有深远的工程应用价值，而构建相应的理论模型是解决上述问题的关键科学问题。

以应力不变量法、临界损伤面法、细观积分法、能量法和损伤力学法等为代表的临界点法，聚集危险点处应力应变，以危险点应力应变构建损伤控制参数从而建立高周疲劳破坏准则。

结构件高周疲劳损伤是发生于某一特定区域的、渐变的、并伴有裂纹萌生和扩展的过程，因此，临界点法与高周疲劳破坏物理现象不吻合，而临界域方法聚焦某一特定区域疲劳损伤历程，与疲劳破坏物理现象相吻合。

以传统应力场强法为代表的临界域方法，虽有较强的物理意义，但场域破坏应力函数及其权函数缺乏相应的力学机理，缺乏破坏力学基础。

本文基于连续介质损伤力学及其不可逆热力学框架，以均布临界域全寿命内禀损伤耗散能量作为评估疲劳寿命指标，并结合临界域理论建模思想，构建新型应力场强理论。

建立以最大剪切应力幅平面正应力描述考虑拉压异性的有效应力张量，此种描述刻画了裂纹萌生平面上正应力对促使裂纹萌生扩展的拉压异性，具有确定的物理意义，克服了以主应力法描述拉压异性的不足之处。

基于连续介质损伤力学及其不可逆热力学框架，并考虑拉压异性，构建内禀损伤耗散演化模型的D型描述。

提出刻画循环损伤驱动力交变特性和材料属性新型损伤内变量临界值。

这些工作为基于内禀损伤耗散构建新型应力场强理论打下基础。

以均布临界域全寿命损伤耗散作为等寿命条件，推演考虑拉压异性的叠加平均应力的拉伸高周疲劳和纯扭高周疲劳以及复合弯曲扭转高周疲劳的新型应力场强表述形式，分别利用铝合金（LC4和LC9）单轴拉伸、金属材料（76S-T61、2A12-T4
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和34CrNiMo6）纯扭和金属材料（Hard Steel、Mild Steel、34Cr4、30NCD16、C20、EN-GJS800-2和Ti–6Al–4V）对比论证应用三种载荷形式下的新型应力场强预测疲劳强度（寿命）的适用性，验证结果表明，新型应力场强法预测疲劳强度（寿命）均优于现有模型。

其次，将新型应力场强理论推广到变幅载荷工况，建立了基于新型应力场强理论的变幅载荷路径下损伤累积模型。

利用3种常见金属材料单轴变幅疲劳试验数据和L Y12CZ铝合金复合拉伸扭转以及载荷块下变幅疲劳试验数据分别对比论证了新的损伤累积模型在单轴变幅和多轴变幅载荷工况下的适用性，结果表明，新模型均表现最优。

最后，以典型双缺口件为分析算例，应用新型应力场强理论分析其高周疲劳强度，通过ABAQUS提供的子程序UMAT和Excel-VBA开发工具，对两种典型双缺口试件疲劳强度进行了理论预测。

预测结果表明：新型应力场强理论可精准预测多缺口件疲劳断裂位置，预测效果明显优于传统应力场强法，更适合于缺口件疲劳强度预测。

关键词：损伤力学；内禀损伤耗散；新型应力场强，高周疲劳强度
Abstract
Fatigue failure, one of the most serious forms of material damage, endangers the safe operation of components and may cause huge economic losses. In the field of modern industry, more than 80% of structural strength damage is caused by fatigue, such as rail, aircraft, spacecraft, steam turbine and rolling mill transmission shaft are threatened by fatigue failure to varying degrees. Because most of the modern mechanical components need to meet the requirements of long life, high cycle fatigue damage has become one of the main damage forms of components. Underestimation of high-cycle fatigue strength of structural components can not bring its strength potential into full play, which is not conducive to improving economic benefits, while, overestimation threatens the service safety of structural components and may lead to safety accidents. Therefore, it has far-reaching engineering application value to carry out high-precision prediction of high-cycle fatigue strength of structural components, and the construction of corresponding theoretical model is the key scientific problem to solve the above problems.
The critical point method, represented by stress invariant method, critical damage surface method, meso-integration method, energy method and damage mechanics method, aggregates stress and strain at dangerous points, constructs damage control parameters with stress and strain at dangerous points, and establishes high cycle fatigue failure criteria. The high cycle fatigue damage of structural components occurs in a specific region and is gradual, accompanied by crack initiation and propagation. Therefore, the critical point method does not coincide with the physical phenomena of high cycle fatigue damage, while the critical region method focuses on the fatigue damage process of a specific region, which coincides with the physical phenomena of fatigue damage. The critical region method represented by the traditional stress field intensity method has strong physical significance, but the failure stress function and its weight function in the field lack the corresponding mechanical mechanism and the foundation of failure mechanics.
Based on the damage mechanics of continuum and its irreversible thermodynamic framework, combining with the idea of critical region theory modeling, a new stress field
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intensity theory is constructed in this paper, in which the dissipated energy of intrinsic damage of uniform critical region for the whole life is taken as the index of evaluating fatigue life.
The effective stress tensor considering the tension-compression anisotropy is described by the plane normal stress with the maximum shear stress amplitude. This description describes the tension-compression anisotropy of the normal stress on the crack initiation plane, which has definite physical significance and overcomes the shortcomings of the principal stress method in describing the tension-compression anisotropy. Based on the continuum damage mechanics and its irreversible thermodynamic framework, D-type description of the intrinsic damage dissipation evolution model considering the tension-compression heterogeneity, is constructed. A new critical value of internal damage variable is proposed to characterize the cyclic damage driving force and material properties. These work lay a foundation for constructing a new stress field intensity theory based on intrinsic damage dissipation.
Taking the damage dissipation of whole life in the uniform critical region as the equal-life condition, a new expression of stress field intensity is deduced for high-cycle fatigue under tension superposed mean stress and high-cycle fatigue under pure torsion superposed mean shear stress and high-cycle fatigue under combined bending and torsion, which takes into account tension-compression anisotropy. The suitability of the new stress field intensity under three loading forms for predicting fatigue strength (life) was demonstrated by comparing uniaxial tension of aluminium alloy (LC4 and LC9), pure torsion of metal materials (76S-T61, 2A12-T4 and 34CrNiMo6) and metal materials (Hard Steel, Mild Steel, 34Cr4, 30NCD16, C20, EN-GJS800-2 and Ti-6Al-4V), respectively. The results show that the new stress field intensity method is superior to the existing models in predicting fatigue strength (life).
Secondly, the new stress field intensity theory is extended to the condition of variable amplitude load, and the damage accumulation model for variable amplitude load path based on the new stress field intensity theory is established. The applicability of the new damage cumulative model for uniaxial and multiaxial variable amplitude loads is demonstrated by comparing the uniaxial variable amplitude fatigue test data of three
common metal materials and variable amplitude fatigue test data under combined tensile torsion and under loading block of LY12CZ aluminum alloy. The results show that the new model performs the best.
Finally, the high-cycle fatigue strength of typical double-notched specimens is analyzed by using the new stress field intensity theory. The fatigue strength of two typical double-notched specimens is predicted theoretically through the development tools of UMAT and Excel-VBA provided by ABAQUS. The prediction results show that the new stress field intensity theory can accurately predict the fatigue fracture location of multi-notched parts, and the prediction effect is better than the traditional stress field intensity method, which is more suitable for the fatigue intensity prediction of notched parts.
Keywords: Damage Mechanics; Internal Damage Dissipation; New Stress Field Intensity, High Cycle Fatigue Strength
目录
摘要 (I)
Abstract (III)
目录 (VII)
第1章绪论 (1)
1.1 引言 (1)
1.2 高周疲劳强度预测研究现状 (2)
1.2.1常幅高周疲劳强度破坏准则 (3)
1.2.1.1 临界点法 (3)
1.2.1.2 临界域法 (8)
1.2.2变幅高周疲劳损伤累积模型 (8)
1.2.2.1 线性模型 (9)
1.2.2.2 非线性模型 (10)
1.3 本文主要研究内容及研究思路 (11)
第2章损伤力学基础理论 (14)
2.1 引言 (14)
2.2 损伤力学基础及不可逆热力学框架 (15)
2.2.1考虑拉压异性的有效应力 (15)
2.2.2热力学自洽性 (17)
2.2.3损伤演化动力率 (22)
2.3 均布临界域全寿命内禀损伤耗散统一形式 (23)
2.3.1 损伤内变量初边值 (23)
2.3.2 内禀损伤耗散演化D型描述 (24)
2.4 本章小结 (24)
第3章单轴高周疲劳新型应力场强理论 (26)
3.1 引言 (26)
3.2 单轴疲劳新型应力场强理论 (27)
3.2.1考虑拉压异性的单轴拉伸新型应力场强 (27)
3.2.2 纯扭转疲劳新型应力场强 (31)
3.2.3 材料参数识别 (37)
3.3 单轴疲劳新型应力场强理论验证 (38)
3.3.1单轴疲劳试件和试验条件 (38)
3.3.2拉伸疲劳强度(寿命)预测 (39)
3.3.4对称扭转疲劳强度与对称旋弯疲劳强度比例关系 (44)
3.4 本章小结 (45)
第4章多轴高周疲劳新型应力场强理论 (47)
4.1 引言 (47)
4.2 多轴高周疲劳新型应力场强理论 (48)
4.2.1 复合旋转弯扭载荷路径 (49)
4.2.2 复合平面弯扭载荷路径 (56)
4.3 新模型论证与讨论 (62)
4.4 本章小结 (69)
第5章考虑载荷顺序的非线性损伤累积模型 (70)
5.1 引言 (70)
5.2 考虑载荷顺序的非线性损伤累积模型 (72)
5.2.1损伤累积内驱动力 (72)
5.2.2 两级变载工况 (72)
5.2.3 多级变载工况 (74)
5.2.4 多级载荷块工况 (77)
5.3 新模型论证与讨论 (79)
5.3.1 单轴应力变载 (84)
5.3.2 多轴应力变载 (87)
5.4 本章小结 (90)
第6章典型缺口件寿命预测 (92)
6.1 引言 (92)
6.2 临界域场径与当量应力幅分析 (93)
6.3 典型缺口件新型应力场强计算 (94)
6.3.1 双缺口试验件及试验结果 (94)
6.3.2 UMAT子程序与VBA程序开发 (96)
6.3.3 有限元模型建立及其计算结果 (100)
6.4 分析与讨论 (106)
6.5 本章小结 (107)
结论 (108)
参考文献 (111)
攻读博士学位期间承担的科研任务与主要成果 (119)
致谢 (120)
作者简介 (121)
第1章绪论
1.1 引言
随着科技进步和国民经济发展，人们对机械装备提出了更为苛刻的使用寿命、安全性能以及经济效益等方面要求。

《中国制造2025》明确指出，要实施工业产品质量提升行动计划，组织攻克一批长期困扰产品质量提升的共性问题，使重点实物产品的性能稳定性、质量可靠性、环境适应性、使用寿命等指标达到国际先进水平。

围绕《中国制造2025》工业产品质量提升行动计划，《国家自然科学基金“十三五”发展规划》也已将固体的变形与强度理论列为未来五年重点项目和重点项目群立项来源之一。

疲劳失效作为最严重的材料破坏形式之一，危及着构件安全运行并可能造成巨大的经济损失。

历史上发生与疲劳有关的重大事故屡见不鲜：如1998年，德国一高速列车因车轮疲劳失效导致列车出轨，造成100多人遇难的严重事故。

2007年，一架美军F15-C鹰式战斗机在做空中缠斗飞行训练时，飞机因关键结构支撑元件-桁梁出现金属疲劳问题而凌空解体。

在现代工业领域，约有80%以上的结构强度破坏都是由于疲劳造成的[1]，如铁轨、飞机、航天器、汽轮机及轧机传动轴等都不同程度受到疲劳失效的威胁。

疲劳按照结构件受载形式可分为单轴疲劳和多轴疲劳。

所谓多轴疲劳是指构件在比例或非比例多向载荷作用下发生疲劳失效现象，也称复合疲劳[2]。

从疲劳寿命长短可将疲劳划分为低周疲劳和高周疲劳，其中高周疲劳寿命一般高于10000次。

由于现代机械构件大多数需要满足长寿命使用要求及服役于复杂的受载环境(非比例多向荷载)[3]，非比例多轴高周疲劳损伤成为构件主要损伤形式之一。

机械构件多轴应力场分布不完全依赖于外载，即一些特殊结构形式构件(比如缺口件)由于自身特征形式不连续导致应力集中产生，使得即使该类构件外载为单轴荷载在其局部区依然为多轴应力场分布[4]。

高周疲劳循环应变响应通常以弹性变形为主，宏观塑性变形微乎其微，但在细观尺度上，只要应力超过材料疲劳极限，就会有微塑性产生，也会积累损伤。

非比例载荷作用下的多轴高周疲劳寿命远低于比例或单轴载荷下高周疲劳寿命，非比例加载使得构件较比例或单轴加载具有更快的损伤累积和更短的疲劳寿
命，存在非比例附加强化效应。

究其原因，非比例加载过程中主应变轴在循环变形中连续旋转，导致多滑移系开动，多系驻留滑移带的相互交割，阻碍了构件材料内部形成稳定的位错结构，从而产生非比例附加强化现象，导致疲劳寿命降低[5]。

此外，构件疲劳强度依赖于加载历史，平均应力和变幅荷载均对结构件疲劳强度产生影响。

平均应力，尤其平均剪应力，影响疲劳强度效应与材料属性密切相关。

试验研究表明，平均剪应力对钛合金Ti6-Al4-V纯扭疲劳强度有显著影响[6-7]，而对30NCD16钢的纯扭疲劳强度影响不明显[8]。

而现有的纯扭强度预测模型大部分，认为当最大剪应力低于材料纯扭屈服极限，平均剪应力影响可忽略[9-10]，仅与剪应力幅相关。

变幅荷载，顾名思义，即往复循环荷载不是单一应力幅，存在多个应力幅或平均应力。

变幅荷载作用下，构件全寿命预测较常幅荷载复杂[11]，载荷步交互作用导致材料表层强化[12]。

针对变幅疲劳寿命预测，国内外学者提出了大量损伤累积模型，但仍不够成熟[13]，预测精度仍需提高。

目前，对复杂应力场下结构件疲劳强度预测力学建模研究尚不够透彻，使得模型预测精度不能令人满意，制约结构件抗疲劳优化设计。

因此，研究高周疲劳强度预测模型对结构件抗疲劳优化设计至关重要，也是《中国制造2025》中强调的“工业强基工程”所需要解决的重大科学技术，而金属构件高周疲劳强度高精度预测模型是解决上述问题的关键科学问题。

1.2 高周疲劳强度预测研究现状
变幅疲劳损伤累积模型一般以常幅高周疲劳强度破坏准则为基础，常幅高周疲劳强度破坏准则将考虑单个载荷步的损伤行为，包括应力梯度[14-15]、非比例附加强化[16-18]、平均应力[19-20]等效应，而变幅疲劳损伤累积模型将考虑各个变幅载荷步交互作用而引起的载荷顺序效应[21-23]。

归纳起来，常幅高周疲劳强度破坏准则主要有：应力不变量法、临界损伤面法、细观积分法、能量法、损伤力学法以及应力场强法等。

大体上而言，可将应力不变量法、临界损伤面法、细观积分法、能量法和损伤力学法划归临界点法，临界点法聚集危险点处应力应变，以该点应力应变构建损伤控制参数[24]，而应力场强法属于临界域法则，提取围绕危险点区域(临界域)的应力应变形成损伤控制参数。

1.2.1常幅高周疲劳强度破坏准则
1.2.1.1 临界点法
应力不变量法，利用考虑平均应力效应的静水应力H σ和表征材料弹塑性应变状
态的应力偏张量第二不变量2,a J 作为损伤控制参数构建多轴高周疲劳破坏准则[25]，试
图将静力学强度理论推广应用于往复荷载下材料强度预测。

代表性的有：Sines 准则
[26]、Crossland 准则[27]以及Kakuno 准则[28]等。

Sines 准则采用往复荷载的平均静水应力H,m σ和应力偏张量第二不变量幅值均方
线性构建疲劳破坏准则，即
()-10H,m 16f τστ-⎡-≤⎣ (1-1)
式中 H,m σ—— 平
均静水应力(MPa)；
0f —— 脉动拉伸疲劳极限(MPa)； 1τ-—— 对
称纯扭疲劳极限(MPa)。

Crossland 准则，是在Sines 准则的基础之上的修正改进形式，将循环荷载最大静水应力H,max σ作为考虑平均应力效应参数指标，表述如下
()11H,max 13τσστ---⎡+-≤⎣ (1-2)
式中 H,max σ—— 最
大静水应力(MPa)； 1σ-—— 对
称拉压疲劳极限(MPa)。

考虑到较大拉应力使得材料具有较低的疲劳寿命，因此式(1-2)仅适合于
11τσ-->的金属材料。

Kakuno 等人利用Sines 准则和Crossland 准则各自优点，将循环荷载最大静水应力H,max σ和平均静水应力都作为考虑平均应力效应参数指标，建立了三参数线性组合多轴疲劳破坏准则，即
()()11H,max -10H,m -136f τσστστ--⎡⎡+-+-≤⎣⎣ (1-3) 上述应力不变量法在处理非比例载荷作用下的高周疲劳误差较大，无法满足预测精度，从而限制了该准则应用于多轴高周疲劳寿命预测[29]。

Camilla 等人[28]分析认为，非比例加载下材料具有更短的疲劳寿命，更易于疲劳裂纹萌生扩展，而控制裂纹萌
参量无法表达载荷非比例特性，Freitas 等人建议将循环荷载下偏应力张量
第二不变量2J 幅值的最小值和最大值平方和取均方根以表述载荷的非比例特性，从
而形成新的2J 参量幅值[31]。

将循环荷载下2J 参量幅值Freitas 表述形式与Sines 准则、
Crossland 准则以及Kakuno 准则线性组合，可形成多种Freitas 准则形式，如与Crossland 结合，Freitas 准则表述如下
(
)11H,max 13τσστ---⎡+-≤⎣ (1-4)
式中 l s ,R R —— 分别为偏应力张量第二不变量
2J 幅值的最小值和最大值(MPa)。

应当指出的是，比例荷载下，式(1-4)和式(1-2)完全一致，而在非比例荷载，Freitas 准则预测精度明显优于Crossland 准则。

Freitas 准则，依然是属于应力不变量法，刻画了多轴载荷的非比例特性对疲劳强度的影响。

应力不变量法，待定材料常数较少，便于工程应用，但上述预测准则均未考虑平均剪应力对纯扭疲劳强度的影响。

根据多轴疲劳试验裂纹萌生和扩展的位向角观测，1973年，Brown [32]、Lohr [33]等人先后提出临界损伤面法，这种研究方法具有确定的物理意义。

临界损伤面法，认为多轴高周疲劳破坏发生于特定取向的材料平面，一般选取最大剪切应力幅平面，选择该平面上剪切应力幅、最大正应力、正应力幅等组合形成损伤控制参数，从而构建疲劳破坏准则。

代表性的有：Matake 准则[34]、Susmel 准则[35]以及Zhang 预测模型[36]等。

Matake 准则选取最大剪切应力幅所在平面为临界损伤面，以该平面上最大正应力和最大剪切应力幅的线性组合为损伤控制参数构建多轴疲劳破坏准则，即 ()()}{()()c c a 11max c c 1,max ,21,C αβαβτσαβτ---+-≤⎡⎤⎣⎦ (1-5)
式中 ()max c c ,σαβ—— 临
界损伤面上最大正应力(MPa)；
()a ,C αβ—— 剪切应力幅(MPa)； ()c c ,αβ—— 最
大剪切应力幅平面位向(rad)。

考虑到较大正应力具有较短的疲劳寿命，Matake 准则适用于1112τ-->金属材料。

Susmel 等人研究表明，疲劳裂纹萌生与临界损伤面(最大剪切应力幅平面)上最大正应力与剪应力幅之比存在关联性，提出了如下多轴高周疲劳破坏准则
()()}{()()()}{c c c c max c c 1a 11,a ,,max ,2max ,C C αβαβσαβσαβτταβ---⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭ (1-6)
考虑到临界面上最大正应力与剪应力幅之比与疲劳寿命关系，Susmel 准则适合于1112τσ-->金属材料。

Zhang 等人对临界损伤面损伤控制参数研究表明，线性组合临界损伤面上应力应变形成破坏准则，与部分加载路径下试件疲劳强度不吻合[37]，提出了非线性组合临界损伤面上应力应变形成损伤参数，建立多轴高周疲劳破坏准则
1τ-≤
(1-7)
Marquis 和Socie [38]等人对铸铁和低碳钢的多轴疲劳试验研究表明，韧性材料和脆性材料的失效平面并不一致，临界损伤面选取存在争议。

细观积分法，认为疲劳损伤得以不断进行归因于临界体积内特征滑移带塑性应变的不断累积。

特征滑移带位错滑移与其细观剪应力和静水应力密切相关，Papadopoulos [39]等人将促使疲劳裂纹萌生扩展的各向细观剪应力幅向特征滑移带方向投影，进而提出广义剪切应力幅为
()a ,T αβ=(1-8) 式中 ()a ,,ταβγ——
材料平面(位向角(,αβ)剪应力路径向位向角为γ的特征滑移带投影幅值(MPa)；
()a
,T αβ—— 广义剪切应力幅(MPa)。

考虑到金属材料细观尺度上的各向异性，Papadopoulos 等人将材料平面上的广义剪切应力幅的平方根与最大静水应力线性组合形成了细观积分法多轴高周疲劳损伤破坏准则，即
11H,max 13τσστ---⎡+-≤⎣ (1-9)
细观积分法虽有很强的金属学背景，但预测精度仍待进一步提升。

上世纪80年代，鉴于应力准则和应变准则都不能描述应力和应变之间的关系，Garud [40]等人研究了单次循环塑性应变能与疲劳寿命之间的关联性，开启了能量法研究疲劳寿命预测的先河。

利用能量法建模思路，针对多轴高周疲劳损伤特征，Pan 等人[41]、Banvillet 等人[42]和Sun 等人[43]相继提出多轴疲劳破坏准则。

Pan 准则和Sun 准则均是临界损伤面-能量法相结合的破坏准则，该类方法认为应变能是促使裂纹沿临界面萌生扩展的动力源。

Pan 准则，是将临界损伤面剪应变能作为促使裂纹沿临界面萌生扩展的动力源，考虑了最大正应力和最大剪应力均对裂纹萌生扩展行为的影响，表述如下
()()}{
()()()()()c c a a c c ,max c c f max c c f 2
2f f f f f 11max ,,1,1,22c c d C σN N G
αβαβγαβταβταβσττγ+⎛⎫+= ⎪--⎝⎭+ (1-10) 式中
()max c c ,ταβ—— 临界面上最大剪应力(MPa)； f f f ,,τσγ—— 分
别为材料剪切疲劳强度系数、疲劳强度系数和剪切疲劳延性系数(MPa)；
()a c c ,γαβ—— 临界面上剪应变幅； ,c d —— 分别为剪切疲劳强度指数和剪切疲劳强度延性指数。

Sun 准则，考虑了平均应力对裂纹萌生扩展行为的影响，表述如下
()()()
()}{()()()()()()()()()c c a c c a c c a a c c ,22f m c c f f m c c f f 22f m c c f f m c c f f ,,max ,,,2,2,2,2a a b c c d
q C N N E
N N G αβσαβεαβαβγαβσσαβσσαβετταβτταβγ+++=-⎡⎤⎣⎦
+-+⎡⎤⎣⎦-⎡⎤⎣⎦
+-⎡⎤⎣⎦ (1-11) 式中
()m c c ,σαβ—— 临界面上平均正应力(MPa)；
()a c c ,εαβ—— 临界面上正应变幅；
()a c c ,σαβ—— 临界面上正应力幅(MPa)；
,a b —— 分别为疲劳强度指数和疲劳强度延性指数；
f N —— 疲劳寿命(Cycles)；
()m c c ,ταβ—— 临界面上平均剪应力(MPa)； q —— 材
料常数。

Banvillet 准则，不属于临界损伤面-能量法相结合的破坏准则，是将材料临界点处的体积应变能作为疲劳等寿命条件，构建了基于总应变能等效的疲劳强度理论，该理论可简述如下
()H L *f d ij ij ij ij W N εεσε=⎰ (1-12)
式中 ()*f W N —— 疲劳寿命为
f N 的光滑拉压试样的体积应变能(J/m 3)； L H ,ij ij εε—— 分别为在单周次加载段所对应的应变初值和应变终了值。

Banvillet 准则，认为等同的材料临界点体积应变能密度的构件具有相等的疲劳寿命。

疲劳损伤，作为一种必然伴随能量耗散的过程[44]，这一能量耗散又分为塑性应变能和其他非弹性应变能[45]。

往复循环载荷下材料应力应变迟滞洄线包络面积构建耗散能量指标，包括塑性耗散和损伤耗散。

考虑到部分塑性耗散能贡献于材料塑性硬化，因此，以材料循环稳定状态应力应变迟滞洄线包络面积形成的耗散能量指标，不全是有效损伤能耗[46]，无法与寿命形成一一映射，制约了能量法的预测精度。

近些年，作为一种被公认为有前途的研究方法—损伤力学法发展较快[47]。

损伤力学试图在材料细观结构演化与宏观力学行为响应建立起某种联系，对材料的本构行为进行宏细微观相结合的描述，从而追踪材料从变形、损伤到失稳或破坏的全过程。

损伤力学法以微观机制为基础，采用连续介质力学基本理论并结合热力学框架，推导损伤演化方程，从而克服预测模型在描述细微观损伤机制以及力学意义上不足之处，体现了损伤力学法在分析疲劳损伤的多尺度性。

损伤力学发端于上世纪50年代，经过几代力学研究学者研究，基于损伤力学理论建立多轴高周疲劳强度破坏准则成果较多，并成功应用于材料的疲劳寿命预测。

Ayoub 等人[48]针对橡胶材料并结合其本构关系建立了自由能损伤耗散等效条件下的多轴高周疲劳损伤演化方程等效应力表述形式，模型预测结果与实验吻合较好。

卫志勇等人[49]根据微塑性和弹性之间有部分耦合和热力学自洽理论，建立了计及微塑性应变的自由能密度函数和损伤演化方程的应力增量描述。

Do 等人[50]建立了计及残余应力的高周疲劳损伤演化模型并得到了其封闭解，引例计算表明，模型预测精度较高。

彭艳等人[51]针对多轴高周疲劳非比例附加强化效应，建立了修改循环微塑性本构关系，从而构建多轴高周疲劳破坏准则，并成功运用于材料疲劳寿命预测。

这些研究成果为运用损伤力学开展多轴高周疲劳强度破坏准则研究奠定了重要基础。

以应力不变量法、临界损伤面法、细观积分法、能量法和损伤力学法等为代表的临界点法，聚集危险点处应力应变，以该点应力应变构建损伤控制参数，构建多轴高周疲劳破坏准则，而疲劳损伤是发生于某一特定区域的、渐变的、并伴有裂纹。