山西省高三理数一模试卷附解析

高三理数一模试卷
一、单项选择题
1.集合，集合，那么〔〕
A. B.
C. D.
2.点是角的终边与单位圆的交点，那么〔〕
A. B. C. D.
3.高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，该
函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．以下关于高斯函数的性质表达错误的选项是〔〕
A. 值域为Z
B. 不是奇函数
C. 为周期函数
D. 在R上单调递增
4.某公司方案招收600名新员工，共报名了2000人，远超方案，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取．现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：
那么录取分数线可估计为〔〕
A. 70
B. 73
C. 75
D. 77
5.在同一直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是〔〕
A. B.
C. D.
6.双曲线的两条渐近线夹角为，且，那么其离心率为〔〕
A. B. 2或 C. D. 或
7. ，且，那么的最小值是〔〕
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
8.木工师傅将一个长方体形的木块切去一局部，得到一个新木件，其三视图如下列图，那么这个木件的切面与底面所成锐二面角的正切值为〔〕
A. B. C. D.
9.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的根底．著名的“康托三分集〞是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集〞我们可以构造一个“四分集〞，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个区间
，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的根底上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不
断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集〞．假设使去掉的各区间长度之和不小于，
那么需要操作的次数n的最小值为〔参考数据：〕〔〕
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
10.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，圆锥的底面面积与球面面积比值为，那么这个圆锥体积与球体积的比值为〔〕
A. B. C. 或 D. 或
11.函数〔，且〕有两个零点，那么a的取值范围为〔〕
A. B. C. D.
12.数列中，对于，且，有，假设
〔，且互质〕，那么等于〔〕
A. 8089
B. 8088
C. 8087
D. 8086
二、填空题
13.假设〔其中i为虚数单位〕，那么________．
14.观察以下各式：
，
，
，
，
……
照此规律，当时，________．
15.函数，那么以下关于展开式的命题中，所有真命题的序号是________．
①当时，展开式共有11项；
②当时，展开式第3项与第6项的二项式系数之比为；
③当时，展开式中，各项系数之和为-1；
④当时，展开式中，系数最小的项是．
16.抛物线的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于两点，
假设，且，那么________．
三、解答题
17.在中，分别是角的对边．假设，再从条件①与②中选择一个作为条件，完成以下问题：
〔1〕求的值；
〔2〕求角A的值及的面积．
条件①：；条件②：．
18.在四棱锥中，四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，，
，．
〔1〕求证：；
〔2〕求直线与面所成角的正弦值．
19.6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数．〔1〕在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求的概率；
〔2〕求X的分布列与数学期望．
20.椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕假设直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且
，求的值．
21.函数．
〔1〕当时，求的最大值；
〔2〕当时，
〔i〕判断函数的零点个数；
〔ii〕求证：有两个极值点，且．
22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为〔t为参数，为直线l的倾斜
角〕，以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
〔1〕求曲线C的直角坐标方程；
〔2〕假设点，直线l与曲线C相交于两点，且，求直线l的方程．
23.函数．
〔1〕假设关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围；
〔2〕如果不等式的解集非空，求的取值范围．
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由不等式，解得，所以
，
又由集合，所以．
故答案为：C.
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
2.【解析】【解答】由三角函数的定义得，
所以．
故答案为：A
【分析】先根据三角函数的定义得sinα和cosα的值，再由二倍角公式，得解．
3.【解析】【解答】由高斯函数的定义可知其值域为Z，A正确，不符合题意；
不是奇函数，B正确，不符合题意；
易知，所以是一个周期为1的周期函数，C正确，不符合题意；
当时，，所以在R上不单调，D错误，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据题意，写出f〔x〕的解析式，依次分析选项，综合可得答案．
4.【解析】【解答】根据题意，录取率为，故应录取成绩最高的30%的报名者．
根据频率直方图可知，分占总体的比例可估计为分占总体的比例可估计为
，故录取分数线在之间.
设录取分数线为x，那么，解得．
故答案为：C.
【分析】应录取成绩最高的30%的报名者，根据频率直方图可得，80～100分及以上占总体的比例可估计为20%，70～100分及以上占总体的比例可估计为40%，设录取分数线为x，列方程能估计该公司此次招聘的录取分数线．
5.【解析】【解答】指数函数图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数
，有零点．A，B选项中，指数函数在R上单调递增，故
，A不符合题意、B符合题意．C，D选项中，指数函数在R上单调递减，故，C，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据指数函数和二次函数的单调性和对称性分别进行判断即可．
6.【解析】【解答】由题意双曲线的两条渐近线夹角为，可得，
由，解得或〔舍去〕，
当双曲线的焦点在x轴上时，即，
那么；
当双曲线的焦点在y轴上时，即，
那么.
故答案为：D．
【分析】先由双曲线的两条渐近线的夹角为α，且，得出a，b关系，然后利用离心率的公式，即可得到结论．
7.【解析】【解答】因为，且，
所以,
由，可得，所以，
代入，得解得，
又因为，所以．此时“等号〞成立，
故所求最小值为8．
故答案为：A.
【分析】根据题意，化简，结合根本不等式，即可求解。

8.
【解析】【解答】如图，过B作点A所在侧棱的垂线，垂足为E，连接，易知平面长
方体的底面，故二面角即为所求二面角．
由题意可知，取
中点O，那么由可知，故即为二面角
的平面角，于是即为所求．
故答案为：C
【分析】截面为ABCD，过点B作点A所在侧棱的垂线，垂足为E，连结DE，那么平面BDE与长方体的底面平行，故二面角A-BD-E即为所求的二面角，然后利用二面角的定义找到其平面角，然后在三角形中，利用边角关系求解即可．
9.【解析】【解答】第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉3个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉个长度为的区间，长度和为；
…，
第n次操作去掉个长度为的区间，长度和为．
于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为
．
由题意知：，化简得，
又n为整数，的最小值为11．
故答案为：A
【分析】利用题中的条件可知，每一次操作去掉的区间长度成等比数列，即可解出．
10.【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
∵圆锥的底面面积与球面面积比值为，∴，那么；
设球心到圆锥底面的距离为d，那么，
所以圆锥的高为或，
设圆锥体积为与球体积为，
当时，圆锥体积与球体积的比为，
当时，圆锥体积与球体积的比为.
故答案为：D
【分析】设球的半径为R，圆锥底面半径为r，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，运用球的截面性质，可得球心到截面的距离，进而得到所求体积之比．
11.【解析】【解答】，得，即．由题意知函数图象与函
数图象有两个交点．
当时，草图如下，显然有两交点．
当时，函数图象与函数图象有两个交点时，注意到
互为反函数，图象关于直线对称，可知函数图象与直线相切，设切点横坐标，
那么，解得
综上，a的取值范围为.
故答案为：B．
【分析】由，得，即，可得函数图象与函数
图象有两个交点，对a分类画出图形，数形结合可得a的取值范围．
12.【解析】【解答】对的两边取倒数，
得，
即，
故数列为等差数列，
其首项，
公差为，
故，
于是，
所以．
故答案为：D.
【分析】对的两边取倒数，利用等差中项的结论可得数列为等差数列，利用条件求出首项和公差即可得出数列a n的通项公式，求出a2021即可得出结果。

二、填空题
13.【解析】【解答】由复数，可得，
进而可得.
故答案为：8
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
14.【解析】【解答】由等式观察，等式右边为形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，
照此规律，当时，．
故答案为：.
【分析】观察等式，归纳推理出结果即可．
15.【解析】【解答】对于①，易知当时，展开式共有12项，故①错误；
对于②，时，展开式第3项与第6项的二项式系数之比为，故②正确；
对于③，时，设，令，得
，故③错误；
对于④，时，展开式的通项，其中
，显然当时，系数为正数，时，的系数为负数；
当时，时，时，，
故系数最小的项是，④正确．
故答案为：②④
【分析】利用二项式定理的通项公式及二项式系数的性质，对①②③④四个选项逐一分析即可得到答案．
16.【解析】【解答】设的方程为，
那么由得，
，
，又为锐角，
．
不妨设，如图，作轴，垂足为H，过M作直线轴，
，垂足为，
那么
，
，
，故．
故答案为：6
【分析】设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根和之及两根之积，求出直线AM，BM的斜率之和，可得斜率之和为0，可得直线AM，BM关于x轴对称，过A作x轴，准线的垂线，由题意可得
可得直线AB的参数m=1，再由弦长公式求出p的值．
三、解答题
17.【解析】【分析】假设选条件①：
〔1〕由正弦定理，两角和的正弦公式化简等式可得a的值，利用余弦定理即可求解c的值，进而可求b 的值;
〔2〕利用同角三角函数根本关系式可求sinC，由正弦定理可得sinA，进而可求A，利用三角形的面积公式即可求解．
假设选条件②：
〔1〕由可求得解得c的值，进而可求b的值;
〔2〕由〔1〕可得a，利用同角三角函数根本关系式可求sinC，由正弦定理可得sinA，进而可求A，利用三角形的面积公式即可求解．
18.【解析】【分析】〔1〕取AB的中点O，连接PO与DO，利用线面垂直的判定定理可证得AB⊥平面POD，再由线面垂垂直的性质定理可知AB⊥OD，结合边长的关系，证得△ABD为等腰直角三角形，进而
得证；
〔2〕以D为原点，所在直线为轴，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，
过D在所在平面内作的垂线为z轴建立空间直角坐标系,求出
，再求出平面PAD的一个法向量，由两向量所成角的余弦值可得直线BD与面PAD所成角的正弦值．
19.【解析】【分析】〔1〕由题意可得第一只阳性且x=3对应的可能事件为两只患病小鼠在第一次和第三次测，其余4只任意排，求出对应的结果数，再求出总的结果数，根据条件概率公式即可求解；
〔2〕求出X的可能取值，再求出对应的概率，由此即可求解．
20.【解析】【分析】〔1〕设椭圆C2的标准方程为：，所以过C2的右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C2截得的线段长，再求出椭圆C1的离心率，结合a2=b2+c2，列出关于a，b，c 的方程组，解出a．b．c的值，即可得到椭圆C2的标准方程；
〔2〕设、、、，由椭圆的对称性可知AC|=|BD|，所以
|CD|-|AB|=2|AC|联立直线l与椭圆C1方程，联立直线l与椭圆C2方程，利用韦达定理和弦长公式表达出|CD|和|AB|，代入上式，即可求出m的值．
21.【解析】【分析】〔1〕对求导，利用导数求得的单调性，进而可求得最大值；
〔2〕〔i〕对求导，利用导数求得的单调性与最值，利用零点存在定理即可判断零点个数；
〔ii〕由〔i〕可知有两个变号零点，那么有两个极值点由，
可得，分析可得要证，只需证
，令，，即可得证.
22.【解析】【分析】〔1〕直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；〔2〕利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的值的应用求出结果.
23.【解析】【分析】〔1〕通过讨论x的范围，求出函数的单调性以及函数的最值，确定a的取值范围即可；
〔2〕求出M的坐标，得到直线OM的斜率为，根据直线与函数f〔x〕相交，求出b的取值范围即可．。