★试卷3套精选★常德市2018年中考数学第三次联考试题

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A ．a 12÷a 3=a 4
B ．（3a 2）3=9a 6
C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣ab+b 2
D ．2a•3a=6a 2
【答案】D
【解析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.
【详解】A 、原式=a 9，故A 选项错误，不符合题意；
B 、原式=27a 6，故B 选项错误，不符合题意；
C 、原式=a 2﹣2ab+b 2，故C 选项错误，不符合题意；
D 、原式=6a 2，故D 选项正确，符合题意，
故选D ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．
2．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）
A ．2CD AC =
B ．3CD A
C = C ．4C
D AC = D ．不能确定 【答案】B
【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC.
【详解】∵AB=CD ，
∴AC+BC=BC+BD ，
即AC=BD ，
又∵BC=2AC ，
∴BC=2BD ，
∴CD=3BD=3AC.
故选B ．
【点睛】
本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
3．对于两组数据A ，B ，如果s A 2＞s B 2，且A B x x =，则（ ）
A ．这两组数据的波动相同
B ．数据B 的波动小一些
C ．它们的平均水平不相同
D ．数据A 的波动小一些 【答案】B
【解析】试题解析：方差越小，波动越小.
22,A B s s
数据B 的波动小一些.
故选B.
点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．一次函数y 1＝kx+1﹣2k （k≠0）的图象记作G 1，一次函数y 2＝2x+3（﹣1＜x ＜2）的图象记作G 2，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G 1与G 2有公共点时，y 1随x 增大而减小；
②当G 1与G 2没有公共点时，y 1随x 增大而增大；
③当k ＝2时，G 1与G 2平行，且平行线之间的距离为．
下列选项中，描述准确的是（ ）
A ．①②正确，③错误
B ．①③正确，②错误
C ．②③正确，①错误
D ．①②③都正确
【答案】D
【解析】画图，找出G 2的临界点，以及G 1的临界直线，分析出G 1过定点，根据k 的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．
【详解】解：一次函数y 2＝2x+3（﹣1＜x ＜2）的函数值随x 的增大而增大，如图所示，
N （﹣1，2），Q （2，7）为G 2的两个临界点，
易知一次函数y 1＝kx+1﹣2k （k≠0）的图象过定点M （2，1），
直线MN 与直线MQ 为G 1与G 2有公共点的两条临界直线，从而当G 1与G 2有公共点时，y 1随x 增大而减小；故①正确；
当G1与G2没有公共点时，分三种情况：
一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；
二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；
三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；
当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x轴，可知，tan∠PNM ＝2，
∴PM＝2PN，
由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2
∴（2PN）2+（PN）2＝9，
∴PN＝，
∴PM＝.
故③正确．
综上，故选：D．
【点睛】
本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．
5．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）
A．（3 ，1）B．（3 ，2）C．（2 ，3）D．（1 ，3）
【答案】D
【解析】解决本题抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．【详解】由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．
故选D．
6．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC 的度数是（）
A．85°B．105°C．125°D．160°
【答案】C
【解析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
7．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为1
3
．小张
这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )
A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定【答案】D
【解析】由于中奖概率为1
3
，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定
.故选D．
【点睛】
解答此题要明确概率和事件的关系：
()
P A0
=
①，为不可能事件；
()
P A1
=
②为必然事件；
()
0P A1
③<<为随机事件．
8．已知a为整数，且3<a<5，则a等于()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】直接利用3，5接近的整数是1，进而得出答案．
【详解】∵a为整数，且3<a<5，
∴a=1．
故选：B．
【点睛】
考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
9．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【答案】C
【解析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
10．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何。

”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问木条长多少尺”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（）
A．
4.5
1
1
2
x y
y x
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
B．
4.5
1
1
2
x y
y x
+=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
C．
4.5
1
1
2
x y
x y
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
D．
4.5
1
1
2
x y
x y
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
【答案】A
【解析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长
-
12
×绳长=1，据此列方程组即可求解． 【详解】设绳子长x 尺，木条长y 尺，依题意有 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
． 故选A ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，CB=CA ，∠ACB=90°，点D 在边BC 上(与B 、C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC=FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG =1：2；③∠ABC=∠ABF ；④AD 2=FQ•AC ，其中正确的结论的个数是______．
【答案】①②③④ ．
【解析】由正方形的性质得出∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，证出∠CAD ＝∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，
得出AC ＝FG ，①正确；
证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB ＝12FB•FG ＝12
S 四边形CBFG ，②正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确；
证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出④正确．
【详解】解：∵四边形ADEF 为正方形，
∴∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，
∴∠CAD ＋∠FAG ＝90°，
∵FG ⊥CA ，
∴∠GAF ＋∠AFG ＝90°，
∴∠CAD ＝∠AFG ，
在△FGA 和△ACD 中，
G C AFG CAD AF AD ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC＝FG，①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝1
2FB•FG＝
1
2
S四边形CBFG，②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
12．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=1
2
，则sinB=______．
【答案】
25
【解析】分析：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．详解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA=1
2
，
∴设BC=x，则AC=2x，故5，
则sinB=
25
5
5
AC
AB x
==.
25
．
点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
13．在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA－1
2
|＋(sinB－
2
2
)2＝0，则∠C＝_________．
【答案】75°
【解析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA及sinB的值，从而得出∠A及∠B的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】∵|cosA－1
2
|＋(sinB－
2
2
)2＝0，
∴cosA=1
2
，sinB=
2
2
，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为：75°.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA及sinB 的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．
14．如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长度为_____
【答案】18 5
【解析】分析题意,如图所示,连接BF,由翻折变换可知,BF⊥AE,BE=EF,由点E是BC的中点可知BE=3,根据勾
股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式11
22
AB BE AE BH
⨯⨯=⨯⨯可求得BH,进而可得到BF的长度;结
合题意可知FE=BE=EC,进而可得∠BFC=90°,至此,在Rt△BFC中,利用勾股定理求出CF的长度即可【详解】如图,连接BF.
∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的,
∴BF⊥AE,BE=EF.
∵BC=6,点E 为BC 的中点,
∴BE=EC=EF=3
根据勾股定理有AE 2=AB 2+BE 2
代入数据求得AE=5 根据三角形的面积公式1122AB BE AE BH ⨯⨯=⨯⨯
得BH=125
即可得BF=245
由FE=BE=EC,
可得∠BFC=90°
再由勾股定理有BC 2-BF 2=CF 2
代入数据求得CF=
185 故答案为185 【点睛】
此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则AB 的长为_____．
【答案】24
π． 【解析】由点A(1，1)，可得OA 的长，点A 在第一象限的角平分线上，可得∠AOB=45°，，再根据弧长公式计算即可．
【详解】∵A(1，1)，
∴22112+=A 在第一象限的角平分线上，
∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，
∴∠AOB=45°，
∴AB 的长为452180π=24
π，
．
故答案为：
4
【点睛】
本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.本题中求
出∠AOB=45°也是解题的关键．
16．|-3|=_________；
【答案】1
【解析】分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．
解答：解：|-1|=1．
故答案为1．
17．某个“清涼小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分別是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮科的数量（单位：瓶）是B 饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分別比一个工作日的上货量增加了50%、60%、50%，且全部售出．但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料一瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了503元．则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是_____元．
【答案】950
【解析】设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，得到工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x＝19x元，和周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，再结合题意得到10.1x﹣（5﹣3）＝503，计算即可得到答案.
【详解】解：设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，
工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x＝19x元，
周六C饮料数量为1.5x瓶，则B饮料数量为3.2x瓶，A饮料数量为6x瓶，
周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，
周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x﹣19x＝10.1x元，
由于发生一起错单，收入的差为503元，因此，503加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，
所以这起错单发生在B、C饮料上（B、C一瓶的差价为2元），且是消费者付B饮料的钱，取走的是C饮料；
于是有：10.1x﹣（5﹣3）＝503
解得：x＝50
工作日期间一天的销售收入为：19×50＝950元，
故答案为：950.
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是由题意得到等量关系.
18．使分式的值为0，这时x=_____．
【答案】1
【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.
答案为1.
考点：分式方程的解法
三、解答题（本题包括8个小题）
19．某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目频数(人数) 羽毛球30
篮球
乒乓球36
排球
足球12
请根据以上图表信息解答下列问题：频数分布表中的，；在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为度；全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？
【答案】(1)24，1；(2) 54；（3）360.
【解析】（1）根据选择乒乓球运动的人数是36人，对应的百分比是30%，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得a，用总人数减去其它组的人数求得b；
（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得；
（3）求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解．
【详解】（1）抽取的人数是36÷30%＝120（人），
则a＝120×20%＝24，
b＝120﹣30﹣24﹣36﹣12＝1．
故答案是：24，1；
（2）“排球”所在的扇形的圆心角为360°×＝54°，
故答案是：54；
（3）全校总人数是120÷10%＝1200（人），
则选择参加乒乓球运动的人数是1200×30%＝360（人）．
20．手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷•某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素
质的大讨论，三月份的损坏率下降为1
4
a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．
【答案】（1）7000辆；（2）a的值是1．
【解析】（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，根据损坏率不低于10%，可得不等量关系：一月初投入的自行车-一月底可用的自行车≥一月损坏的自行车列不等式求解；
（2）根据三月底可使用的自行车达到7752辆，可得等量关系为：（二月份剩余的可用自行车+三月初投入的自行车）×三月份的损耗率=7752辆列方程求解.
【详解】解：（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，
x﹣（7500﹣110）≥10%x，
解得x≥7000，
答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆；
（2）由题意可得，
[7500×（1﹣1%）+110（1+4a%）]（1﹣1
4
a%）=7752，
化简，得
a2﹣250a+4600=0，
解得：a1=230，a2=1，
∵1%20%
4
a<，
解得a＜80，
∴a=1，
答：a的值是1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，根据一月底的损坏率不低于10%找出不等量关系式解答（1）的关键；根据三月底可使用的自行车达到7752辆找出等量关系是解答（2）的关键. 21．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
求证：DE是⊙O的切线；若DE＝3，CE＝2. ①求BC
AE
的值；②若点G为AE上
一点，求OG+1
2
EG最小值．
【答案】（1）证明见解析（2）①2
3
②3
【解析】（1）作辅助线，连接OE．根据切线的判定定理，只需证DE⊥OE即可；
（2）①连接BE．根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两
个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以
2
3 BC CE
AE DE
==；
②连接OF，交AD于H，由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边
形AOEF是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=1
2
EG，OG+
1
2
EG=GF+GM,根据两
点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+1
2
EG=GF+GM=FM最小，此时FM =3.故OG+
1
2
EG最小值是
3.
【详解】（1）连接OE
∵OA=OE ，∴∠AEO=∠EAO
∵∠FAE=∠EAO ，∴∠FAE=∠AEO
∴OE ∥AF
∵DE ⊥AF ，∴OE ⊥DE
∴DE 是⊙O 的切线
（2）①解：连接BE
∵直径AB ∴∠AEB=90°
∵圆O 与BC 相切
∴∠ABC=90°
∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°
∴∠EAB=∠CBE
∴∠DAE=∠CBE
∵∠ADE=∠BEC=90°
∴△ADE ∽△BEC ∴23
BC CE AE DE == ②连接OF ，交AE 于G ，
由①，设BC=2x ，则AE=3x
∵△BEC ∽△ABC ∴
BC CE AC BC = ∴22322x x x
=+ 解得：x 1=2，212x =-
（不合题意，舍去） ∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8
∴AB=3∠BAC=30°
∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60°
∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF ，则△AOF 、△EOF 都是等边三角形，∴四边形AOEF 是菱形
由对称性可知GO=GF,过点G 作GM ⊥OE 于M ，则GM=12EG ，OG+12
EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，
当F 、G 、M 三点共线，OG+
12EG=GF+GM=FM 最小，此时FM=FOsin60o =3. 故OG+12
EG 最小值是3. 【点睛】
本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．
22．已知关于x 的一元二次方程 2(1)(4)30m x m x -+--=(m 为实数且1m ≠)．求证：此方程总有两个
实数根；如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数．．．m 的值．
【答案】 (1)证明见解析；(2)2m =或4m =．
【解析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x 的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数求出m 的值即可．
【详解】(1)依题意，得()()()2
4413m m =---⨯- 28161212m m m =-++-，
244m m =++，
()22m =+．
∵()220m +≥，
∴方程总有两个实数根．
(2)∵()()1130x m x ⎡⎤+--=⎣⎦，
∴11x =-，231
x m =-． ∵方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数，
∴11m -=或13m -=．
∴2m =或4m =．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 的关系是解答此题的关键．
23．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.第一批饮料进货单价多少元？若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.
【解析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为m 元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，则：1600600032
x x ⨯
=+ 解得：8x =
经检验：8x =是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元.
（2）设销售单价为m 元，则： ()()8200106001200m m -⋅+-⋅≥，
化简得：()()2861012m m -+-≥，
解得：11m ≥，
答：销售单价至少为11元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.
24．对于方程＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得3x ﹣2（x ﹣1）＝1 ①
去括号，得3x ﹣2x ﹣2＝1 ②
合并同类项，得x ﹣2＝1 ③
解得x ＝3 ④
∴原方程的解为x ＝3 ⑤上述解答过程中的错误步骤有 （填序号）；请写出正确的解答过程．
【答案】（1）错误步骤在第①②步．（2）x ＝4.
【解析】（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；
（2）注重改正错误，按以上步骤进行即可．
【详解】解：（1）方程两边同乘6，得3x ﹣2（x ﹣1）＝6 ①
去括号，得3x ﹣2x+2＝6 ②
∴错误步骤在第①②步．
（2）方程两边同乘6，得3x ﹣2（x ﹣1）＝6
去括号，得3x ﹣2x+2＝6
合并同类项，得x+2＝6
解得x ＝4
∴原方程的解为x ＝4
【点睛】
本题考查的解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，符号也经常是出现错误的原因． 25．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝
m x
的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴于D ，若OB ＝1，OD ＝6，△AOB 的面积为1．求一次函数与反比例函数的表达式；当x ＞0时，比较kx+b 与m x
的大小．
【答案】 (1) 223y x =-,12y x
=;(2) 当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【解析】（1）根据点A 和点B 的坐标求出一次函数的解析式，再求出C 的坐标6，2）
，利用待定系数法求解即可求出解析式 （2）由C （6，2）分析图形可知，当0＜x ＜6时，kx+b ＜
m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【详解】（1）S △AOB ＝
12
OA•OB ＝1， ∴OA ＝2，
∴点A 的坐标是（0，﹣2），
∵B （1，0）
∴230b k b =-⎧⎨+=⎩ ∴232
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴y ＝23
x ﹣2． 当x ＝6时，y ＝
23 ×6﹣2＝2，∴C （6，2） ∴m ＝2×6＝3．
∴y ＝12x
． （2）由C （6，2），观察图象可知： 当0＜x ＜6时，kx+b ＜
m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x ． 【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C 的坐标
26．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长
BA 与⊙O 相交于点F ．若EF 的长为2π，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】S 阴影＝2﹣2
π． 【解析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA ⊥AC ，∠ACB=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求出结果.
【详解】如图，连接AC ，∵CD 与⊙A 相切，
∴CD ⊥AC ，
在平行四边形ABCD 中，∵AB=DC,AB ∥CD ∥BC ，
∴BA ⊥AC ，∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD ∥BC,
∴∠FAE=∠B=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ，
∴EF EC =
∴EF 的长度为
45=1802
R ππ 解得R=2， S 阴=S △ACD-S 扇形=2214522-=2-23602
ππ⨯⨯
【点睛】
此题主要考查圆内的面积计算，解题的关键是熟知平行四边形的性质、切线的性质、弧长计算及扇形面积的计算.
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．详解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
2．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面的，左面看得到的图形:
几何体的左视图是：
．
故选D.
3．如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是( )
A ．70°
B ．60°
C ．55°
D ．50°
【答案】A 【解析】试题分析：∵AB ∥CD ，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE 的外角，
∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A ．
考点：平行线的性质．
4．已知=2{
=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，则2m n -的算术平方根为（ ） A ．±2
B ．
C ．2
D ．4 【答案】C
【解析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．
【分析】∵=2{
=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ． ∴2=232=4=2m n -⨯-．即2m n -的算术平方根为1．故选C ．
5．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x
= (x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( )
A ．92
B ．74
C ．245
D ．12
【答案】C
【解析】设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （
4
a ，
b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.
【详解】∵四边形OCBA 是矩形，
∴AB=OC ，OA=BC ，
设B 点的坐标为（a ，b ），
∵BD=3AD ，
∴D （4a ，b ）， ∵点D ，E 在反比例函数的图象上，
∴4
ab =k ， ∴E （a ， k a ）， ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-
12•4ab -12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=245
， 故选：C
【点睛】
考核知识点：反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
6．如图，4张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，若S 2＝2S 1，则a ，b 满足（ ）
A ．a ＝32b
B ．a ＝2b
C ．a ＝52b
D ．a ＝3b
【答案】B
【解析】从图形可知空白部分的面积为S 2是中间边长为（a ﹣b ）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b ）和b 的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a 和b 的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S 1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S 2＝2S 1，便可得解．
【详解】由图形可知，
S 2=（a-b ）2+b （a+b ）+ab=a 2+2b 2，
S 1=（a+b ）2-S 2=2ab-b 2，
∵S 2＝2S 1，
∴a 2+2b 2＝2（2ab ﹣b 2），
∴a 2﹣4ab+4b 2＝0，
即（a ﹣2b ）2＝0，
∴a ＝2b ，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式
分解．
7．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x =（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论：
①ΔADB ΔADC S S =；
②当0＜x ＜3时，12y y <；
③如图，当x=3时，EF=83； ④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，
﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，
∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确； ∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x =
，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误；
当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83
，选项③正确； 当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
8．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．【答案】D 【解析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，
∴DB=DC ，
∴∠C=∠DBC ，
∵BD 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC ，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴，
故选D ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
9．若一个圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的全面积为（ ）
A ．15πcm 2
B ．24πcm 2
C ．39πcm 2
D ．48πcm 2 【答案】B
【解析】试题分析:底面积是:9πcm 1,
底面周长是6πcm,则侧面积是:12
×6π×5=15πcm 1． 则这个圆锥的全面积为:9π+15π=14πcm 1．
故选B ．
考点:圆锥的计算．
10．cos30°=（ ）
A ．12
B ．2
C ．2
D 【答案】C
【解析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.
【详解】3cos302︒= 故选C. 【点睛】 考点：特殊角的锐角三角函数
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．关于x 的方程x 2－3x ＋2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＋x 1x 2的值为______．
【答案】5
【解析】试题分析：利用根与系数的关系进行求解即可.
解：∵x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，
∴x 1+ x 2＝3b a -=，x 1x 2＝2c a
=， ∴x 1＋x 2＋x 1x 2＝3+2＝5.
故答案为：5.
12．分解因式：32a 4ab -= ．
【答案】()()a a 2b a 2b +-
【解析】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a 后继续应用平方差公式分解即可：()()()3222a 4ab a a 4b a a 2b a 2b -=-=+-． 13．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为________．
【答案】42
【解析】已知BC=8， AD 是中线，可得CD=4， 在△CBA 和△CAD 中， 由∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， 可判定△CBA ∽△CAD ，根据相似三角形的性质可得 AC CD BC AC
= ， 即可得AC 2=CD•BC=4×8=32，解得AC=42. 14．如图，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与CB 的延长线上的点E 重合连接CD ，则∠BDC 的度数为_____度．。