2018年高中数学必修2期末考试

2018年高中数学必修2期末考试考试时间 2小时满分150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若α⊥β,m⊥β，则m//αB. 若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，则α//βC. 若m//α,n⊥m，则n⊥αD. 若m//β,m⊂α,α⋂β=n，则m//n2.平面α//平面β，它们之间的距离为12，A,B∈α，点D∈β，点C是点B在β的射影，且AB=2,AD=13，则CD的最小值是()A. 2B. 3C. √21D. √293.经过点M(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A. x−y=0B. x+y−2=0C. x+y−2=0或x−y=0D. x=1或y=14.过点且平行于直线的直线方程为()A. B. C. D.5.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A. 体积为2的三棱锥B. 体积为2的四棱锥C. 体积为4的三棱锥D. 体积为4的四棱锥6.已知长方形ABCD的一组邻边长分别是1,√3，沿对角线AC折成一个三棱锥B−ACD，则该三棱锥外接球的表面积是()A. 4πB. 3πC. 2πD. π7.已知ΔABC的一个顶点A(3，−1)，∠B，∠C的角平分线方程分别是x=0,y=x,则BC的直线方程为()A. 2x−y+3=0B. 2x−y+5=0C. 3x−y+5=0D. 2x+3y−5=08.在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2−4x+2y=0，若直线y=3x+b上存在一点P，且过P作圆的两条切线相互垂直，则实数b的取值范围是()A. [−11,−3]B. [3,11]C. [−17,3]D. [−3,17]9.圆O1：x2+y2−4x−6y+12=0与圆O2：x2+y2−8x−6y+16=0的位置关系是( )A. 内切B. 外离C. 内含D. 相交10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的()A. 若//，//，则//B. 若，，，则C. 若，，则//D. 若//，，则//11.如图，已知∠AOB=60∘，点C在∠AOB内，且OC=5，若半径为1的圆C与∠AOB的两边没有交点，点X,Y分别在射线OA,OB上异于O的动点，则|PX|+|PY|+|XY|的最小值是()A. 2√3B. 4C. 3D. 4√312.在平面直角坐标系xoy中，已知AB是圆O:x2+y2=1直径，若直线l:kx−y−3k+1=0上存在点P，连接AP与圆O交于点Q，且满足BP//OQ，则实数k的取值范围是()A. k≥−34B. k≥−43C. k≤−34D. k≤−43二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，水平放置的ΔABC的斜二测直观图是图中的，已知，则AB边的实际长度是________．14.已知圆M:x2+y2−2x−2y−2=0，点P是直线x+y−6=0上的动点，若在圆M上存在点Q，使得∠OPQ=30∘，则点P横坐标的取值范围是______．15.已知A(4,3),B(4,−3)，点P在圆x2+y2=4上运动，则的最小值是________．16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，动点P在正方形及其内部运动，且保持AP=AC，在点P运动中，线段AP扫过的曲面的面积等于_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知点P(2，2)，圆C:x2+y2−8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(Ⅰ)求M的轨迹方程；(Ⅱ)当|OP|=|OM|时，求直线l的方程．18.已知曲线C1：x2+y2−2x−4y+m=0．(Ⅰ)若曲线C1是一个圆，且点P(1，1)在圆C1外，求实数m的取值范围；(Ⅱ)当m=2时，曲线C1关于直线x+1=0对称的曲线为C2.设P为平面上的点，满足：存在过P点的无穷多对互相垂直的直线l1,l2，它们分别与曲线C1和曲线C2相交，且直线l1被曲线C1截得的弦长与直线l2被曲线C2截得的弦长总相等．(ⅰ)求所有满足条件的点P的坐标；(ⅰ)若直线l1被曲线C1截得的弦为MN，直线l2被曲线C2截得的弦为RS，设∆PMR与∆PNS的面积分别为S1与S2，试探究S1·S2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19.已知平行四边形ABCD对角线的交点是M(−1,−1)，AB边所在直线的方程为x+y−1=0，AD边所在直线的方程为2x−y−2=0．(Ⅰ)求BC边所在的直线的方程；(Ⅱ)求平行四边形ABCD的面积．20.今有边长为12尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为2尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接。

如图，记正方形水池的剖面图为矩形ABCD，芦苇根部O为池底AB的中点，顶端为P(注：芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P向水岸边点D的过程中，当芦苇经过DF的三等分点E(靠近D点)时，设芦苇的顶端为Q，(Ⅰ)以AB所在的直线为x轴，OP所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求圆弧DP的方程；(Ⅱ)求点Q在水面上的投影离水岸边点D的距离(精确到0.01尺)(参考数据：√5≈2.236，√3≈1.732)21.22.答案和解析【答案】1. D2. B3. C4. A5. B6. A7. B8. C 9. A 10. D 11. D 12. A13. 1014. [1，5] 15. 26 16. 4√2π17. 解：(I)圆C 的方程可化为(x −4)2+y 2=16，所以圆心为C(4，0)，半径为4，设M(x ，y)，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4，y)，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x ，2−y)， 由题设知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故(x −4)(2−x)+y(2−y)=0， 即(x −3)2+(y −1)2=2． 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x −3)2+(y −1)2=2．(II)由(1)可知M 的轨迹是以点N(3，1)为圆心，√2为半径的圆． 由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ． 因为ON 的斜率为13，所以l 的斜率为−3，故l 的方程为y −2=−3(x −2)，即为3x +y −8=0． 18. 解：(Ⅰ)依题意得{4+16−4m >02−2−4+m >0，解得4<m <5，即实数的取值范围是(4,5)(Ⅱ)当m =2时，圆:(x −1)2+(y −2)2=3，圆心C 1(1,2)，半径r 1=√3，圆C 2:(x +3)2+(y −2)2=3，圆心C 2(−3,2)，半径r 2=√3． (ⅰ)因为要存在存在过点的无穷多对互相垂直的直线l 1,l 2，所以必有无穷多对的斜率存在.设直线l 1的斜率为k ，P(m,n)则直线l 1:kx −y −mk +n =0，同理直线l 2:x +ky −m −kn =0，由于两圆半径相等， 要使得直线l 1被曲线截得的弦长与直线l 2被曲线截得的弦长总相等，即d C 1−l 1=d c 2−l 2，即，即|k −2−mk +n|=|−3+2k −m −kn|，所以k −2−mk +n =−3+2k −m −kn 或整理得k(n −m −1)+(n +m +1)=0或k(3−m −n)+(n −m −5)=0 因为对无穷个k 都成立，所以{n −m −1=0n +m +1=0或{3−m −n =0n −m −5=0，解得{m =−1n =0或{m =−1n =4即P 1(−1,0)，P 2(−1,4) (ⅰ)设C 1到MN 的距离为d ，则，所以同理所以S 1⋅S 2=(12PM ⋅PN)⋅(12PR ⋅PS)=254(定值)19. 解：(Ⅰ)联立{x +y −1=02x −y −2=0解得{x =1y =0，即A(1,0)，因为AC 中点为M ，则C(−3,−2) 又因为BC//AD ，所以BC 所在的直线方程为y +2=2(x +3)，即2x −y +4=0， (Ⅱ)联立{x +y −1=02x −y +4=0解得{x =−1y =2，即B(−1,2)，所以|BC|=2√5， 点M 到BC 的距离为√5=√5，则A 点到BC 的距离为2√5， 则S △ABC =12√52√5=6， 所以平行四边形ABCD 的面积是12．20. 解：(Ⅰ)设水深为x 尺，则x2+62 =(x +2)2，解得，x =8．∴水深为8尺，芦苇长为10尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以O 为圆心，半径为10的圆弧，其方程为x 2 +y 2=100(−6≤x ≤0，8≤y ≤10) (Ⅱ)E 点的坐标为(−4，8)，∴OE 所在的直线方程为y =−2x ，设Q 点坐标为(x ，y)，联立{x 2+y 2=100y =−2x 解得x =−2√5，DG =6−2√5≈1.53故点Q 在水面上的投影离水岸边点D 的的距离为1.53尺．21. 解：(１)∵四边形DCBE 为平行四边形，∴∵DC 平面ABC ∴ 平面ABC∴为AE 与平面ABC 所成的角，即=由R ｔ△ABE 为等腰直角三角形，又 得∵AB 是圆O 的直径 ∴∴∴∴(2)在CD 上存在点 ，使得MO//平面 ，该点 为的中点．证明：如图，取的中点，连MO、MN、NO，∵M、N、O分别为CD、BE、AB的中点，∴MN//DE.∵平面ADE，平面ADE，∴MN//平面ADE同理可得NO//平面ADE．∵，∴平面MNO//平面ADE.∵平面MNO，∴MO//平面ADE．22.【解析】1. 【分析】此题考查空间线面垂直、线面平行、面面垂直的判定，逐项判断真假即可，可利用举反例判断为假，属基础题．【解答】解：A.若α⊥β,m⊥β，m可能在α内，故错误；B.若m//α,n//α,m⊂β,n⊂β，少了m与n相交的条件，故错误；C.若m//α,n⊥m，n在α内也可与m异面垂直，故错误；D.若m//β,m⊂α,α⋂β=n，由线面平行的性质可得m//n，故正确．故选D.2. 【分析】本题考查了空间中两点间的距离问题，考查了数形结合解题能力，考查了空间想象能力，为中档题．本题关键为D点在面β上的轨迹为为圆心，以5为半径的圆．【解答】解：作图如下：过A做垂直β面，垂足为，可知，，，则D点在面β上的轨迹为为圆心，以5为半径的圆，∴当D落在的反向延长线上时，CD最短，即为5−2=3．故选B．3. 【分析】因为过点A(1，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程，要分截距为零，或者截距不为零两种情况来解决．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=x．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A(1，1)代入直线的方程可得k=2，故直线方程是x+y−2=0．综上，所求的直线方程为x+y−2=0，或y=x，故选C．4. 【分析】此题考查利用直线平行的判断求直线方程，关键是利用待定系数法．【解答】解：因为直线平行于x−2y+3=0，所以设直线方程为x−2y+c=0，因为直线过点(−1，3)，所以−1−2×3+c=0，所以c=7，直线方程为x−2y+7=0．故选A．5. 【分析】本题考查由三视图还原几何体，求其体积，为基础题.考查学生空间想象能力．借助正方体为背景还原原几何体．【解答】解：正方体中还原为下图：原图为以A为顶点，CED1D为底的四棱锥，V=13×2×(2+1)2×2=2．故选B．6. 【分析】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，为中档题，考查学生空间想象能力．本题关键为求外接球的半径，由直径所对的圆周角为直角的理论可知，三棱锥B−ACD 外接球的球心为AC的中点．【解答】解：由题意可知A、C、B三点都在球面上，∠B为直角∴三棱锥B−ACD外接球的球心为AC的中点，=1，三棱锥外接球的半径r=√3+12故三棱锥外接球的表面积S=4π×12=4π．故选A．7. 【分析】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．分析题意，求出A关于x=0，y=x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．【解答】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC 对于y=x对称.A(3，−1)关于x=0的对称点在直线BC上，A关于y=x的对称点也在直线BC上.由两点式，所求直线BC的方程：y= 2x+5．故选B．8. 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，转化为圆心与直线的距离来研究，考查学生的问题转化能力．过P作圆的两条切线相互垂直，令切点分别为A、B则四边形CAPB是正方形，转化为≤√10．圆心C到直线y=3x+b的距离d=√10【解答】解：圆C：(x−2)2+(y+1)2=5，过P作圆的两条切线相互垂直，令切点分别为A、B则四边形CAPB是正方形，且CP=√2r=√10，≤√10，则圆心C到直线y=3x+b的距离d=√10解得−17≤b≤3．故选C．9. 【分析】本题考查了两圆的位置关系，根据圆心距与半径之间的大小关系可判断，首先把两圆化为标准形式，得到两圆的圆心坐标及半径，即可判断结果．【解答】解：∵圆C1:(x−2)2+(y−3)2=1,圆C2:(x−4)2+(y−3)2=9，∴圆C1:圆心(2，3)，半径r1=1，圆C2:圆心(4，3)，半径r2=3，∴圆心距为2，r2−r1=2，∴两圆内切．故选A．10. 【分析】本题考查了空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系，注意面面垂直，线线垂直，线面垂直的判定定理以及性质定理的应用．【解答】解：A命题中平行于同一平面的两条直线可以相交，异面，平行;B命题中两条直线可以相交，平行，异面，垂直;C命题不正确，直线可以在平面内；D命题正确．故选D．11. 【分析】本题考查了和圆有关的最值问题，圆外一点与圆上一点的距离转化为圆外一点与圆心的距离加减半径，为中档题．本题关键为作P关于OB的对称点M，作P关于OA的对称点N，连接MN，则|PX|+|PY|+ |XY|最小值是|MN|．【解答】解：如图作P关于OB的对称点M，作P关于OA的对称点N，连接MN，则|PX|+|PY|+|XY|最小值是|MN|，在ΔMON中，OM=ON=OP,∠MON=120∘，|MN|=√3|OM|=√3|OP|，因为，所以|PX|+|PY|+|XY|最小值是4√3．故选D．12. 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了学生转化问题的能力，为中档题．由题意可知P的轨迹是以B为圆心，半径为2的圆即(x−1)2+y2=2，由于P为直线l与圆B的交点，转化为B到l的距离小于等于2．【解答】解：设A(−1,0),B(1,0)，连接AP与圆O交于点Q，且满足BP//OQ可得OQ为△ABP的中位线，即||BP|=2|OQ|=2，所以P的轨迹是以B为圆心，半径为2的圆即(x−1)2+y2=2，所以P为直线l与圆B的交点，即d B−l≤2，即，．解得k≥−34故选A．13. 【分析】本题考查了斜二测画法直观图的应用问题，掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键．根据直观图中A′C′与B′C′，得出原平面图形是Rt△，并由勾股定理求出AB的值．【解答】解：直观图中的△A′B′C′，A′C′=6，B′C′=4，所以原图形是Rt△ABC，且AC=6，BC=8由勾股定理得AB=10．故答案为10．14. 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，为中档题．考查学生转化问题能力，若在圆M上存在点Q，使得∠OPQ=300，则直线PQ与圆M相交或相切，在转化为|PM|≤4，可求P横坐标的取值范围．【解答】解：依题意得M:(x−1)2+(y−1)2=4，若在圆M上存在点Q，使得∠OPQ=300，则直线PQ与圆M相交或相切，则d m−PQ≤r，即|PM|≤4，设P(x0,6−x0)，则(x0−1)2+(6−x0−1)2≤16，解得1≤x0≤5．故答案为[1，5]．15. 【分析】本题考查了与圆有关的最值问题，转化为两点之间的距离，用函数来研究，为中档题．【解答】解：令P坐标为(m，n)，有m2+n2=4，(−2≤m≤2)则|PA|2+|PB|2=(m−4)2+(n−3)2+(m−4)2+(n+3)2=2m2−16m+32+2n2+18=2×4+32+18−16m=58−16m，又∵−2≤m≤2，则58−16m的最小值为58−32=26，则|PA|2+|PB|2的最小值是26．故答案为26．16. 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，考查了学生的空间想象能力，为中档题．本题关键为线段AP扫过的曲面的面积是圆锥在正方体内的部分【解答】解：线段AP扫过的曲面的面积是圆锥在正方体内的部分，即1个圆锥的侧面积，如图所示，4所以线段AP扫过的曲面的面积．故答案为4√2π．17. 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程和性质的合理运用．(I)圆C 的方程可化为(x −4)2+y 2=16，由此能求出圆心为C(4，0)，半径为4，设M(x ，y)，求出向量CM ，MP 的坐标，由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M 的轨迹方程；(II)由(Ⅰ)知M 的轨迹是以点N(3，1)为圆心，√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上，可得ON ⊥PM ，由直线垂直的条件：斜率之积为−1，再由点斜式方程可得直线l 的方程．18. 本题考查圆的方程，考查了直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．(Ⅰ)依题意列关于m 的不等式组，求解不等式组得答案；(Ⅱ)当m =2时，求出圆C 1的方程，得到圆心坐标和半径，进一步求出关于x +y =0对称的圆C 2方程，得到C 2(−3，2).(i)要存在无穷多对直线L 1与L 2，必有无穷多对的斜率都存在，设L 1的斜率为k ，P(m ，n)，则L 2的斜率为−1k ，求出L 1，L 2的方程，由两圆半径都相等，因此，若相交弦长相等，则两圆心到对应直线的距离必相等，列式可得(m −n −1)k −(m +n +1)=0或(3−m −n)k +(n −m −5)=0对无穷多个k 值成立.由此求得m 值，得到 点P 的坐标；(ii)设C 1到MN 的距离为d ，则，同理PR ⋅PS ，代入S 1⋅S 2=(12PM ⋅PN)⋅(12PR ⋅PS)=254得S 1⋅S 2为定值254. 19. 本题考查了点斜式求直线方程与平行四边形的面积，为基础题．(1)求C 点坐标C(−3,−2)，又因为BC//AD ，由点斜式求直线方程；(2)平行四边形ABCD 的面积，拆成两个三角形的面积，以BC 为底，A 到BC 的距离为高，求面积．20. 本题为与圆相关的应用题，考查学生建模解决实际问题的能力，为中档题． (Ⅰ)以AB 所在的直线为x 轴，OP 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以O 为圆心，半径为10的圆弧，注意范围；(Ⅱ)OE 所在的直线方程为y =−2x ，直线和圆联立方程组，求交点坐标，数形结合，转化为求DG 的长．21. (1)由于EB 也是圆面的垂线，所以三棱锥看成以EB 为高的，△ABC 为底的，线面角指线与它在面内的射影所成的角，所以可知即AE 与面ABC 所成的角，即 = ，即可在△ABE 中求得EB ，由AB 为直径可知△ABC 为直角三角形，所以易求得面积，即可求出三棱锥体积．(2)因为O 为中点，所以可先猜测M 是否为中点，要证MO 与面ADE 平行，可先证得MO 所在的面与面ADE 平行，可继续找中点，找EB 的中点，利用中位线证得线线平行，再证得线面平行，再证得平面MNO//平面ADE平行即可得面MNO内的直线MO与面ADE平行．22. 本题主要考察的是通过直线斜率判定两直线平行与垂直，对于有参数时要考虑直线斜率是否存在．①平行时，应考虑是否重合．②垂直时，应考虑斜率为0的情况．。