安徽省安庆市示范高中2013届高三4月联考数学文试题(扫描版)

2013年安庆市示范中学联考
数学（文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

11、21
12、5 13、2 14、52 15、③④⑤
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本题满分12分）
解：（1）
b
x f ⋅=)(21
)42sin(2222sin 22cos 1cos sin sin 2+-=+-=
+=πx x x x x x ，
由
224222πππππ+≤-≤-
k x k ，解得8
38π
πππ+≤≤-k x k ，
故函数)(x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-83,8ππππ …………………..6分
（2）由条件可知
4
3424,20ππππ<
-<-∴<
<A A 142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-∴πA ，
2122142sin 220+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<∴πA ，故)(A f 的取值范围为 ⎝⎛⎥
⎦⎤+212,0 ……..12分
17、（本题满分12分） 解：（1）男生人数：女生人数=28：21=4:3
则抽取男生人数为
4747=⨯
（名），抽取女生人数为373
7=⨯（名）； …………2分
（2）①样本的平均数为=4
75
342312110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
样本的标准差为()()()()[]
714
245344243427
1
2222=-+-+-+-；…………..6分 ②由于样本中由2个4分，3个5分，不妨设2个4分编号为41，42，将3个5分编号为
51，52，53，则基本事件有（2，3），（2，41）（2，42），（2，51），（2，52），（2，53），（3，41），（3，42），（3，51），（3，52），（3，53），（41，42），（41，51），（41，52），（41，53），（42，51）（42，52），（42，53），（51，52），（51，53），（52，53）共21个，满足条件2
||
=-x y
的基本事件有
（2，41）（2，42），（3，51），（3，52），（3，53）共5个，故满足条件的概率为215
...12分
18、（本题满分12分）
解：（1）由椭圆的离心率为22
，于是222b a =，椭圆C 的方程可化为12222
2=+b y b x ，将点
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛22,3代入，解得22=b ， 故椭圆C 的标准方程为1
242
2=+y x .…………………5分
（2）由题意可知直线l 的方程为2+=x y
结合图形将直线l 上、下平移，使之与椭圆C 相切，此时发现切点到直线l 的距离最大 故可设切线为m x y
+=，
联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1242
2y x m x y ，得0424322=-++m mx x
0848)42(34)4(222=-=-⨯⨯-=∆∴m m m ，解得6±=m
结合图形可知当6-=m 时，切点到直线l 的距离最大，此时
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,362P ，点P 到直线l 的距离为
13+.
故椭圆上存在点
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,362P ，它到直线l 的距离最大，距离为13+ .………12分 19、（本题满分13分）
证明：（1）连AC 交BD 于O ，连结PO . 在正四棱锥ABCD P -，⊥PO 平面ABCD ，BD PO ⊥∴
又O PO AC AC BD
=⋂⊥,，
⊥∴BD 平面PAC 又⊂BD 平面BDQ
故平面⊥PAC
平面BDQ ； ………………5分
（2）①连OQ ，则OQ 是PAC ∆的中位线，OQ ∴∥PA
又⊄PA 平面BDQ ，⊂OQ 平面BDQ ，故PA ∥平面BDQ …………9分
②当5=PA 时，
33
43431,3=
⨯⨯==-ABCD P V PO ， 33
23231=
⨯⨯=-BCD Q V ，
故多面体PABQD 的体积为3.…………13分
20、（本题满分13分） 解：（1）当1=n
时，k S a +==411
当2≥n 时，()1
114344---⨯=+-+=-=n n n n n n k k S S a
于是48,1232==a a ，又数列{}n a 是等比数列，故3122a a a ⋅=即48)4(122
⨯+=k 解得1-=k ，
)(431*
-∈⨯=N n a n n .…………6分 （2）由（1）可知
n
n a 431
⨯=+，将其代入()n
n b a n k a +=+531，
n b a n n =∴
⎪
⎭⎫
⎝⎛+⋅⋅⋅+++=∴n n n T 44342413432 ① ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++=∴+143244342413441n n n T ② ①-②，得⎪⎭⎫
⎝⎛⨯+-=
⎪⎭⎫
⎝⎛-+⋅⋅⋅+++=++1132434331344414141413443n n n n n n T
1427432716-⨯+-=
∴n n n T )(*
∈N n …………13分
21、（本题满分13分）
解：（1）函数的定义域为R ，
22222)5(54)(a x a ax x x f ++--='2
22)5()
)(5(a x a x a x +-+-=
令
0)(='x f ，则a x =或a x 5-=
n n n n
a n
b 4
34⋅==
∴
当0>a 时，a a 5->
()f x '的符号，)(x f 的函数值随着x 的变化如下表：
故函数
)(x f 的单调递减区间为),(),5,(+∞--∞a a ，单调递增区间为()a a ,5-；
当0<a 时，a a 5-<
()f x '的符号，)(x f 的函数值随着x 的变化如下表：
故函数
)(x f 的单调递减区间为),5(),,(+∞--∞a a ，单调递增区间为a a 5,- …8分
（2）当2=a 时，
204)(2++=
x x x f ，
由（1）可知函数
)(x f 在[]2,5-上单调递增，在[)+∞,2上单调递减.
所以函数
)(x f 的最大值为
41)2(=
f
又0>x
时，0)(>x f ，
451
)5(-
=-f 即为函数)(x f 的最小值.
由对任意[)+∞-∈,5,2
1x x ，不等式m x f x f ≤-)()(21恒成立，
只需
[][]1804945141)()(min max =
+=
-≥x f x f m ，
故实数m 的最小值为18049
.…………13分。