2020年湖北省黄石市中考数学试卷-普通用卷

2020年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.3的相反数是()
A. 3
B. −3
C. 1
3D. −1
3
2.下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.如图所示，该几何体的俯视图是()
A. B. C.
D.
4.下列运算正确的是()
A. 8a−3b=5ab
B. (a2)3=a5
C. a9÷a3=a3
D. a2⋅a=a3
5.函数y=1
x−3
+√x−2的自变量x的取值范围是()
A. x≥2，且x≠3
B. x≥2
C. x≠3
D. x>2，且x≠3
6.不等式组{x−1<−3
2x+9≥3的解集是()
A. −3≤x<3
B. x>−2
C. −3≤x<−2
D. x≤−3
7.在平面直角坐标系中，点G的坐标是(−2,1)，连接OG，将线段OG绕原点O旋转
180°，得到对应线段OG′，则点G′的坐标为()
A. (2,−1)
B. (2,1)
C. (1,−2)
D. (−2,−1)
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H、E、F分别是边AB、
BC、CA的中点，若EF+CH=8，则CH的值为()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分
别为D、E，若∠DCE=40°，则∠ACB的度数为()
A. 140°
B. 70°
C. 110°
D. 80°
10.若二次函数y=a2x2−bx−c的图象，过不同的六点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+
1)、D(√2,y1)、E(2,y2)、F(4,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是()
A. y1<y2<y3
B. y1<y3<y2
C. y2<y3<y1
D. y2<y1<y3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
)−1−|1−√2|=______．
11.计算：(1
3
12.因式分解：m3n−mn3=______．
13.据报道，2020年4月9日下午，黄石市重点园区(珠三角)云招商财富推介会上，我
市现场共签项目20个，总投资137.6亿元．用科学记数法表示137.6亿元，可写为______元．
14.某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：
3：5的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分．
15.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方
形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则BC⏜的长
等于______．
16.匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos,1913−1996)
曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成
等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点
集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、
O构成的爱尔特希点集(它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成)，则∠ADO的度数是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17.先化简，再求值：x2+2x+1
x2−1−x
x−1
，其中x=5．
18.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房
AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度．已知甲栋楼
房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=18√3米，小丽在甲
栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底
部C点的俯角是45°，求乙栋楼房CD的高度(结果保留根号)．
19.如图，AB=AE，AB//DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
(1)求∠DAE的度数；
(2)若∠B=30°，求证：AD=BC．
(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a)、20.如图，反比例函数y=k
x
B两点，点C在第四象限，BC//x轴．
(1)求k的值；
(2)以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
21.已知：关于x的一元二次方程x2+√mx−2=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设方程的两根为x1、x2，且满足(x1−x2)2−17=0，求m的值．
22.我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从2名男生2名女生共4
名学生中选派2名学生参赛．
(1)请列举所有可能出现的选派结果；
(2)求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．
23.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊
五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，
请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点
D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于
点E、F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BE=8，sinB=5
，求⊙O的半径；
13
(3)求证：AD2=AB⋅AF．
25.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+kx−2k的顶点为N．
(1)若此抛物线过点A(−3,1)，求抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位
于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE=ED，求点C坐标；
(3)已知点M(2−4√3
,0)，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN=60°
3
时，求抛物线的解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号．
【解答】
解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是−3．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义的内容是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：该几何体的俯视图是
故选：B．
根据俯视图的概念求解可得．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4.【答案】D
【解析】解：A.不是同类项不能合并，选项错误；
B.原式=a2×3=a6，选项错误；
C.a9÷a3=a9−3=a6，选项错误；
D.a2⋅a=a2+1=a3，选项正确．
故选：D．
根据合并同类项法则和幂的运算法则进行解答便可．
本题主要考查了合并同类项法则和幂的运算法则，熟记法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x−2≥0，且x−3≠0，
解得x≥2，且x≠3．
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6.【答案】C
【解析】解：不等式组{x−1<−3 ①2x+9≥3 ②
，
由①得：x<−2，
由②得：x≥−3，
则不等式组的解集为−3≤x<−2，
故选：C．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意G与G′关于原点对称，
∵G(−2,1)，
∴G′(2,−1)，
故选：A．
根据中心对称的性质解决问题即可．
本题考查旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴EF=1
2AB，CH=1
2
AB，
∵EF+CH=8，
∴CH=EF=1
2
×8=4，
故选：B．
根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得即可．
本题考查了直角三角形的性质以及三角形的中位线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．9.【答案】C
【解析】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠DCE=40°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−40°=140°，
∴∠P=1
2
∠AOB=70°，
∵A、C、B、P四点共圆，
∴∠P+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°−70°=110°，
故选：C．
先根据四边形的内角和为360°求∠AOB=360°−90°−90°−40°=140°，再由同弧所
对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=a2x2−bx−c的图象过点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)，∴抛物线的对称轴直线x满足2<x<2.5，抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
∵D(√2,y1)、E(2,y2)、F(4,y3)，
则y2<y1<y3，
故选：D．
由解析式可知抛物线开口向上，点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)求得抛物线对称
轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
11.【答案】4−√2
【解析】解：原式=3−(√2−1)
=3−√2+1
=4−√2．
故答案为：4−√2．
原式利用负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.【答案】mn(m+n)(m−n)
【解析】解：原式=mn(m2−n2)
=mn(m+n)(m−n)．
故答案为：mn(m+n)(m−n)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】1.376×1010
【解析】解：137.6亿元=137********元=1.376×1010元，
故答案为：1.376×1010．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】85
【解析】解：90×2
2+3+5+90×3
2+3+5
+80×5
2+3+5
=85(分)，
故答案为：85．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
15.【答案】√5
2
π
【解析】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB=2√5，AC=√10，BC=√10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴连接OC，则∠COB=90°，
∵OB=√5，
∴BC⏜的长为：90⋅π×√5
180=√5
2
π，
故答案为：√5
2
π.
由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC=90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出BC⏜的长了．
本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
16.【答案】18°
【解析】解：∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
∴根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD，
∴△AOB≌△BOC≌△COD(SSS)，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵正五边形每个角的度数为：(5−2)×180°
5
=108°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=(180°−2×54°)=72°，
∴∠AOD=360°−3×72°=144°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=(180°−144°)=18°，
故答案为：18°．
先证明△AOB≌△BOC≌△COD，得出∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=
∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，然后求出正五边形每个角的度数为108°，从而可得∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，∠AOB=∠BOC=∠COD= 72°，可计算出∠AOD=144°，根据OA=OD，即可求出∠ADO．
本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠AOB=∠BOC=∠COD=72°是解题关键．
17.【答案】解：原式=(x+1)2
(x+1)(x−1)−x
x−1
=
x+1
x−1
−
x
x−1
=1
x−1
，
当x=5时，原式=1
4
．
【解析】原式第一项约分后，两项利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示：
由题意得：BE=AC=18√3，CE=AB，∠DBE=30°，∠CBE=
45°，
在Rt△EDB中，∠DBE=30°，DE
BE
=tan30°，
∴DE=BE×tan30°=18√3×√3
3
=18，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°−45°=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CE=AB=AC=18√3，
∴CD=DE+CE=18+18√3(米)；
答：乙栋楼房CD的高度为(18+18√3)米．
【解析】由三角函数定义求出DE=BE×tan30°=18，证出△ABC是等腰直角三角形，得出CE=AB=AC=18√3，进而得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定与性质等知识；解题的关键是借助仰角构造直角三角形，利用三角函数定义解直角三角形．19.【答案】解(1)∵AB//DE，∠E=40°，
∴∠EAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
(2)证明：在△ADE与△BCA中，
{∠B=∠DAE AB=AE
∠BAC=∠E
，
∴△ADE≌△BCA(ASA)，
∴AD=BC．
【解析】(1)根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
(2)根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应角相等．
20.【答案】解：(1)∵点A(1,a)在直线y=2x上，
∴a=2×1=2，
即点A的坐标为(1,2)，
∵点A(1,2)是反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象与正比例函数y=2x图象的交点，
∴k=1×2=2，
即k的值是2；
=2x，
(2)由题意得：2
x
解得：x=1或−1，
经检验x=1或−1是原方程的解，
∴B(−1,−2)，
∵点A(1,2)，
∴AB=√(1+1)2+(2+2)2=2√5，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC//x轴，
∴AD=AB=2√5，
∴D(1+2√5,2)．
【解析】(1)根据点A(1,a)在y=2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y=
k
(k≠0)的图象与反比例函数y=2x的图象相交于A(1,a)，即可求得k的值；
x
(2)因为B是反比例函数y=2
和正比例函数y=2x的交点，列方程可得B的坐标，根据
x
菱形的性质可确定点D的坐标．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+√mx−2=0有两个实数根，
∴△=[√m]2−4×1×(−2)=m+8≥0，且m≥0，
解得：m≥0．
(2)∵关于x的一元二次方程x2+√mx−2=0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=−√m，x1⋅x2=−2，
∴(x1−x2)2−17=(x1+x2)2−4x1⋅x2−17=0，即m+8−17=0，
解得：m=9．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m≥0，从而得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系可得x1+x2=−√m，x1⋅x2=−2，结合(x1−x2)2−17=0即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合(x1−x2)2−17=0
找出关于m 的一元一次方程．
22.【答案】解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
(2)共有12种可能出现的结果，其中“一男一女”的有8种，
∴P (一男一女)=
812=23．
【解析】(1)用列表法表示所有可能出现的结果；
(2)从所有可能出现的结果中，找出“一男一女”的结果，进而求出相应的概率． 本题考查列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的前提． 23.【答案】解：(1)设每头牛值x 两银子，每只羊值y 两银子，
根据题意得：{5x +2y =192x +5y =16
， 解得：{x =3y =2
． 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
(2)设购买a 头牛，b 只羊，依题意有
3a +2b =19，
b =19−3a 2，
∵a ，b 都是正整数，
∴①购买1头牛，8只羊；
②购买3头牛，5只羊；
③购买5头牛，2只羊．
【解析】(1)设每头牛值x 两银子，每只羊值y 两银子，根据“假设有5头牛、2只羊，
值19两银子；
2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
(2)可设购买a 头牛，b 只羊，根据用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，列出方程，再根据整数的性质即可求解．
本题考查了二元一次方程(组)的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程(组)是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，连接OD，EF，
则OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
(2)∵∠BDO=90°，
∴sinB=OD
BO =OD
BE+OD
=5
13
，
∴OD=5，
∴⊙O的半径为5；(3)连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE=90°=∠ACB，
∴EF//BC ，
∴∠AEF =∠B ，
又∵∠AEF =∠ADF ，
∴∠B =∠ADF ，
又∵∠OAD =∠CAD ，
∴△DAB∽△FAD ， ∴AD AB =AF AD ， ∴AD 2=AB ⋅AF ．
【解析】(1)先判断出OD//AC ，得出∠ODB =90°，即可得出结论；
(2)由锐角三角函数可得sinB =OD BO =OD BE+OD =513，即可求解；
(3)通过证明△DAB∽△FAD ，可得AD AB =AF AD ，可得结论．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 25.【答案】解：(1)把A(−3.1)代入y =−x 2+kx −2k ，
得−9−3k −2k =1．
解得k =2，
∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +4；
(2)设C(t,−t 2−2t +4)，则E(t,−t 2
2−t +2)，
设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A(−3,1)，(0,4)代入
得到，
{−3k +b =1b =4
， 解得{k =1b =4
， ∴直线AB 的解析式为y =x +4，
∵E(t,−
t 22−t +2)在直线AB 上， ∴−t 2
2−t +2=t +4，
解得t =−2，
∴C(−2,4)．
(3)由y=−x2+kx−2k=k(x−2)−x2，
当x−2=0时，x=2，y=−4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H(2,−4)，
二次函数的顶点N(k
2,k2
4
−2k)，
①如图1中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若k
2
>2时，则k>4，
∵M(2−4√3
3
,0)，H(2,−4)，
∴MI=4√3
3
，HI=4，
∴tan∠MHI=4√3
3
4
=√3
3
，
∴∠MHI=30°，∵∠MHN=60°，∴∠NHI=30°，即∠GNH=30°，
由图可知，tan∠GNH=GH
GN =
k
2
−2
k2
4
−2k+4
=√3
3
，
解得k=4+2√3或4(不合题意舍弃)．
②如图3中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G．
若k
2
<2，则k<4，
同理可得，∠MHI=30°，
∵∠MHN=60°，
∴NH⊥HI，
即k2
4
−2k═−4，
解得k=4(不符合题意舍弃)．
=2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
③若k
2
综上所述，抛物线的解析式为y=−x2+(4+2√3)x−(8+4√3).
【解析】(1)把A(−3.1)代入y=−x2+kx−2k即可求解．
(2)根据题意作图，求出直线AB的解折式，再表示出E点坐标，代入直线可求解．
(3)先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．
本题考查二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。