2020版高考数学(江苏版)新攻略总复习课标通用练习：第七章-第三节 基本不等式及其应用

第三节 基本不等式及其应用
课时作业练
1.当x>1时,函数y=x+1
x -1的最小值是 . 答案 3
解析 当x>1时,x-1>0, y=x+
1x -1=(x-1)+1x -1+1≥2√(x -1)·1
x -1
+1=3, 当且仅当x-1=1
x -1,即x=2时等号成立.
2.(2018江苏高考信息预测)函数y=x+12x -1(x >1
2)的最小值是 . 答案 √2+1
2
解析 ∵x>1
2,∴2x -1>0.∴y=x+1
2x -1=(x -1
2)+1
2x -1+1
2≥2√12+1
2=√2+1
2,当且仅当x=√2+1
2
时取等号.
∴函数y=x+1
2x -1(x >1
2)的最小值是√2+1
2.
3.函数y=log a (x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2
n 的最小值为 . 答案 8
解析 ∵函数y=log a (x+3)-1的图象恒过点(-2,-1),
∴A(-2,-1).又点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn>0,∴m>0,n>0.∴1m +2n =2m+n m +4m+2n n =2+n m +2+4m
n
≥4+2√4=8,当且仅当n=12,m=14时,等号成立,∴1m +2
n
的最小值为8.
4.若正数x,y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是 . 答案 5
解析 由x+3y=5xy,得3x +1
y
=5(x>0,y>0), 则3x+4y=1
5(3x+4y)(3
x +1
y ) =1
5(13+
12y x +3x y )≥1
5(13+2√
12y x ·3x
y
) =15×(13+12)=5, 当且仅当
12y x =3x
y
,即x=2y 时,等号成立,
此时由{x =2y ,
x +3y =5xy ,解得{
x =1,y =12.
5.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2√ab -(4a 2+b 2)的最大值是 . 答案
√2-1
2
解析
由√(2a )2
+b 2
2≥2a+b 2≥√2a ·b ,得√2ab ≤1
2,且
4a 2+b 2≥1
2,所以S=2√ab -(4a 2+b 2)=√2·√2ab -
(4a 2+b 2)≤√22-12,当且仅当2a=b=1
2时,等号成立.
6.(2018江苏无锡调研)已知正数a,b,直线l 1:(a-b)x+aby+1=0,l 2:(a+3b)x+y=0,若l 1∥l 2,则b 的最大值为 . 答案 1
3
解析 由l 1∥l 2得a-b=ab(a+3b),则1b -1
a =a+3b.∵a>0,∴1
b -3b=a+1
a ≥2√a ·1
a =2,整理得3
b 2+2b-1≤0.又b>0,解得0<b≤1
3,即b 的最大值为1
3. 7.(2018徐州高三模拟)已知正实数m,n 满足m+n=3,则m 2+1m +n 2
n+1的最小值为
.
答案 3
解析 令n+1=t,t>1,则
n=t-1,m+n=m+t-1=3,m+t=4,则m 2+1m +n 2n+1=m+1m +
(t -1)
2
t =m+1
m +t+1t
-
2=2+1m +1
t =2+1
4(m+t)(1
m +1
t )=2+1
4(2+t
m +m
t )≥2+12+1
4×2√t
m ·m
t =3,当且仅当m=t=2时取等号,故
m 2+1m
+n 2
n+1的最小值为3.
8.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)设m>0,n>0,2m+n=1,则4m 2+n 2+√mn 的最大值与最小值之和为 . 答案
25+4√2
16
解析 由m>0,n>0,2m+n=1得
1≥2√2mn ,0<mn≤1
8,0<√mn ≤√2
4,4m 2+n 2+√mn =(2m+n)2-4mn+√mn
=-4mn+√mn +1=-4(√mn -18)2+1716,当√mn =18时,取得最大值1716;当√mn =√2
4时,取得最小值12+√24,所以
最大值与最小值之和为1716+12+√24=
25+4√2
16
. 9.(2017兴化一中高三12月月考)等比数列{a n }的首项为1,公比为2,前n 项的和为S n ,若log 2[14a n (S 4m +1)]=7,则1n +4
m 的最小值为 . 答案 5
2
解析 由题意得a n =2
n-1
,S 4m =1-24m 1-2=24m -1,则14a n (S 4m +1)=1
4×2n-1×24m =24m+n-3=27,则
4m+n=10,所以
1n +4m =110(1n +4m )(4m+n)=110(17+
4m n +4n m )≥1
10
(17+2√
4m n ·4n m
)=5
2,当且仅当m=n=2时取等号,故
1n +4m 的最小值为52
. 10.(2017镇江高三期末)已知a,b∈R,a+b=4,则1a 2+1+1b 2+1
的最大值为 .
答案
2+√5
4
解析 由基本不等式可得
ab≤(a+b 2)2
=4,则
1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+2(a 2+1)(b 2+1)=(a+b )2
-2ab+2(ab )2+(a+b )2-2ab+1=18-2ab (ab )2-2ab+17
, 令9-ab=t,t≥5,则ab=9-t,1
a 2+1+1
b 2+1=2t t 2-16t+80=2t+80t
-16≤8√5-16
=√5+2
4,当且仅当
t=4√5时取等号,
故1
a 2+1+
1
b 2
+1
的最大值是
2+√5
4
. 11.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数y=x+m
x -1(m>0). (1)若m=1,求当x>1时函数的最小值; (2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m 的值. 解析 (1)m=1时,y=x+1
x -1=x-1+1
x -1+1.
因为x>1,所以x-1>0.所以y=x-1+1
x -1+1≥2√(x -1)·1
x -1+1=3. 当且仅当x-1=1
x -1,即x=2时取等号.所以当x>1时函数的最小值为3. (2)因为x<1,所以x-1<0.
所以y=x-1+m
x -1+1=-(1-x +m
1-x )+1≤-2√(1-x )·m
1-x +1=-2√m +1. 当且仅当1-x=m 1-x ,即x=1-√m 时取等号.
即函数的最大值为-2√m +1,所以-2√m +1=-3,解得m=4.
12.如图,等腰直角三角形区域ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC=1百米.现准备划出一块三角形区域CDE,其中D,E 均在斜边AB 上,且∠DCE=45°.记三角形CDE 的面积为S. (1)①设∠BCE=θ,试用θ表示S; ②设AD=x,试用x 表示S; (2)在②的基础上,求S 的最大值.
解析 (1)①以CB 所在直线为x 轴,CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系, 则直线CE:y=(tan θ)·x,直线CD:y=(tan (θ+π
4))·x,0≤θ<π
4,直线AB:y=-x+1, 联立解得E (1
1+tanθ,tanθ
1+tanθ),D (1-tanθ2
,1+tanθ
2), 所以S=12×√22×|DE|=1+tan 2θ4(1+tanθ).
当
θ=π4时,S △CDE =1
4,满足
S=1+tan 2θ4(1+tanθ),
所以
S=1+tan 2θ4(1+tanθ),0≤θ≤π4.
②如图,以AB 为斜边另作等腰直角三角形AOB,延长CD 交AO 于F,延长CE 交BO 于G,设∠ACF=α,∠BCG=β,AF=m,BG=n,
所以tan α=m=AF AC =AF BC =AD
DB =√2-x
,同理tan β=n=
√2-x -DE
x+DE
.
由tan(α+β)=m+n
1-mn =1, 代入化简得
DE=2√2x+1√
2-x ,0≤x≤√2
2,所以
S=12×√22×|DE|=√2x 2√24(√
2-x ),0≤x≤√22.
(2)令t=√2-x,√2
2≤t≤√2,则S=√2
4(t +1
t -√2)≥√2-1
2
,当且仅当t=1,即x=√2-1时取到等号.
答:三角形CDE 面积S 的最大值为
√2-1
2
百米2.
13.(2019徐州铜山高三模拟)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机的降落准确、安全,在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记,已知两楼的地面距离AC=50 m,在A,C 之间取一导航标志观测点P,当点P 在AC 中点时,测得两楼顶导航标记的张角∠BPD=45°,若∠ACB=45°.
(1)求两导航标记距离地面的高度AB 、CD;
(2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角∠BPD 最大,点P 应在何处?
解析 (1)因为点P 是AC 的中点,AC=50 m,所以AP=PC=25 m, 在Rt△ABC 中,AC=50 m,∠ACB=45°,可得AB=AC=50 m,
在Rt△APB 中,tan∠APB=AB AP =5025=2,在Rt△CPD 中,tan∠DPC=CD PC =CD
25,因为∠BPD=45°,所以∠APB+∠DPC=135°,
于是tan(∠APB+∠DPC)=tan∠APB+tan∠DPC
1-tan∠APB ·tan∠DPC =2+CD
251-2·
CD 25=-1,解得CD=75.
(2)设AP=x m,则PC=(50-x)m,在Rt△APB 中,tan∠APB=AB AP =50
x , 在Rt△CPD 中,tan∠DPC=CD PC =75
50-x ,
于是tan∠BPD=tan(180°-∠APB -∠DPC)=-tan(∠APB+∠DPC)
=-tan∠APB+tan∠DPC
1-tan∠APB ·tan∠DPC =-50
x +75
50-x 1-50x ·
75
50-x
=25(x+100)
x 2-50x+50×75,
设100+x=t,则tan∠BPD=f(t)=25t
t -250t+252×30
,
f(t)=
25
t+
252×30
t
-250≤
2√t ·252
×30
t
-250
=2
√30-10
,
当且仅当t=252×30
t
时取等号,于是当t=25√30时,函数f(t)取最大值,
此时100+x=25√30,x=25√30-100,
又因为t2-250t+252×30>0恒成立,所以tan∠BPD=f(t)>0,
从而∠BPD∈(0,π
2),而正切函数在(0,π
2
)上为增函数,
所以当f(t)取最大值时∠BPD也最大.
答:(1)两导航标记距离地面的高度AB,CD分别为50 m,75 m.
(2)当AP=(25√30-100)m时,在点P处看两楼顶导航标记的张角∠BPD最大.
基础滚动练
(滚动循环夯实基础)
1.已知集合A={x|x≥3}∪{x|x<-1},则∁
R
A= .
答案 {x|-1≤x<3}
2.函数f(x)=√2x-4的定义域为 .
答案[2,+∞)
解析由2x-4≥0⇒x≥2,得原函数的定义域为[2,+∞).
3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.
答案9
解析由函数f(x)=x2+ax+b的值域是[0,+∞),所以判别式Δ=a2-4b=0(*),又不等式x2+ax+b-c<0的解集是(m,m+6),所以2m+6=-a,m(m+6)=b-c,得a=-(2m+6),b=m(m+6)+c,代入(*)解得c=9.
4.已知{a
n }为等比数列,a
4
+a
7
=2,a
5
a
6
=-8,则a
1
+a
10
= .
答案-7
解析∵a
4+a
7
=2,由等比数列的性质可得,a
5
a
6
=a
4
a
7
=-8,∴a
4
=4,a
7
=-2或a
4
=-2,a
7
=4,当a
4
=4,a
7
=-2
时,q3=-1
2,∴a
1
=-8,a
10
=1,∴a
1
+a
10
=-7.当a
4
=-2,a
7
=4时,q3=-2,则a
10
=-8,a
1
=1,∴a
1
+a
10
=-7,综上可得
a 1+a
10
=-7.
5.(2018扬州中学第一学期阶段性测试)设函数y=sin ωx(ω>0)在区间[-π
6,π
4
]上是增函数,则
ω的取值范围为. 答案(0,2]
解析因为ω>0,所以{-π
6
ω≥-π
2
,
π
4
ω≤π
2
,
解得0<ω≤2.
6.函数y=2x-log
0.5
(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为.
答案 4
解析因为函数y=2x-log
0.5
(x+1)在区间[0,1]上递增,所以x=0时,y取得最小值1,当x=1时,y取得最大值3,所以最大值和最小值之和为4.
7.(2018盐城时杨中学高三月考)若变量x,y满足约束条件{y≤x,
x+y≤1,
y≥-1,
且z=2x+y的最大值和最小
值分别为m和n,则m-n= .
答案6
解析作出不等式组对应的平面区域如图.
由z=2x+y,得y=-2x+z,
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小,
由{
y =-1,y =x 解得{x =-1,
y =-1,
即A(-1,-1),此时z=-2-1=-3,此时n=-3.
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z 经过点B 时, 直线y=-2x+z 的截距最大,此时z 最大, 由{
y =-1,x +y =1
解得{x =2,
y =-1,
即B(2,-1),此时z=2×2-1=3,即m=3.则m-n=3-(-3)=6.
8.(2018常州教育学会学业水平检测)在△ABC 中,已知B=π
3,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 答案 [-1
4,+∞)
解析 以点B 为坐标原点,BA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则C(1,√3),设A(x,0),x>0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,0)·(1-x,√3)=x 2-x=(x -12)2
-14≥-14
,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-1
4
,+∞). 9.(2018江苏苏州高三上学期期中)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知sin B+sin C=msin A(m∈R),且a 2-4bc=0. (1)当a=2,m=5
4时,求b,c 的值;
(2)若角A 为锐角,求实数m 的取值范围.
解析 (1) 由题意得b+c=ma,a 2-4bc=0.当a=2,m=5
4时,b+c=5
2,bc=1,
解得{
b =2,
c =1
2
或{b =1
2,c =2.
(2) cos A=
b 2
+c 2-a 22bc
=
(b+c )2-2bc -a 22bc
=
(ma )2-a 22-a 2a 22
=2m 2-3.
因为A 为锐角,所以cos A=2m 2-3∈(0,1),所以3
2<m 2<2.
又由b+c=ma可得m>0,所以√6
<m<√2.
2。