2015高考数学一轮总复习课件：3.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式

C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)(2014·安徽合肥模拟)若 α 是第二象限
10 角，sin(π－α)＝ 10 .
α
αα
α
2sin2 2＋8sin 2cos 2＋8cos22－5
求
π
的值；
2sinα－ 4
π
π
(2)已知函数
f(x)＝tan(2x＋
2×csoins4π4－－xx·cos2π4－x
4sin4－xcos4
－x
第十七页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向一 三角函数的化简
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
cos22x
＝ π
2sin2
－2x
cos22x ＝2cos 2x
1 ＝2cos 2x.
第十八页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
第二十页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
10
10
3 10
(1)由 sin(π－α)＝ 10 ，得 sin α＝ 10 ，又 α 是第二象限角，∴cos α＝－ 10 .
α
αα
α
α
αα
α
α
2sin2 2＋8sin 2cos 2＋8cos22－5 2sin2 2＋8sin 2cos 2＋2cos2 2＋6cos2 2－5
π
tan 4＋tan α
∴
π
＝2.
1－tan 4tan α
1＋tan α ∴1－tan α＝2.
2
2tan α
3
3
∴tan 2α＝1－tan2α ＝ 1 ＝4.
1－9
1 ∴tan α＝3.
第二十五页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
变式训练
sin（α＋β）－2sin αcos β sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cos（α＋β） ＝ 2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
第十页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
指点迷津
cos α2＝±
1＋cos 2
α，sinα2＝±
1－cos α 2
tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sicnosα
α＝1－sicnosα
α.(半角公式)
π sin α±cos α＝ 2sinα±4等．
第十一页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
梳理自测1
1 1．(教材改编)下列各式的值为4的是(
D
)
π A．2cos212－1
2tan 22.5° B．1－2sin275° C.1－tan222.5°
D．sin 15°cos 15°
2
5
2．已知 sin α＝3，则 cos(π－2α)等于( B ) A．－ 3
1
1
B．－9 C.9
5 D. 3
3．(cos 15°－cos 75°)(sin 75°＋sin 15°)＝( C
C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
4× 因此原式＝
11110000＋－3－×3－130110010＝－54.
π
(2)由
α π f2 ＝tanα＋ 4 ＝2cos
2α，得
sinα＋
4π＝2(cos2α－sin2α)．
co2)非特殊角转化为特殊角．
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C 聚焦考向透析
考向一 三角函数的化简
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
α
α α α
α
2cos22＋2sin 2cos 2sin 2－cos 2
(1)原式＝
α
2·2cos22
α α
α α
α
2cos
cos 2
2＋sin
2sin
第二十四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
变式训练
π
1
2．(2014·亳州质检)已知 tan4＋α＝2，tan β＝2.
sin（α＋β）－2sin αcos β (1)求 tan 2α的值；(2)求2sin αsin β＋cos（α＋β）的值．
π 解析：(1)∵tan4＋α＝2，
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaann
β β
.
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaann
β β
.
第五页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理 梳 理二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
而
π
＝
π
π
2sinα－ 4
2sin
αcos
4－cos
αsin
4
α
1＋cos α
2＋4sin α＋6cos22－5 4sin α＋6× 2 －3 4sin α＋3cos α
＝ sin α－cos α ＝
sin α－cos α
＝ sin α－cos α
第二十一页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向一 三角函数的化简
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)化简：
α
α
（1＋sin
α＋cos
α）sin
2－cos
2
2＋2cos α
(0＜α＜π)．
(2)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋
3tan 10°)]· 2sin280°.
第十二页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
第十六页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向一 三角函数的化简
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
1
2cos4x－2cos2 x＋2
1．化简： π π .
2tan
4
－xsin24
＋x
1
2（4cos4x－4cos2x＋1）
（2cos2 x－1）2
解析：原式＝
π
＝ π π
3sin 10°）·
2sin 80°
2cos 10°cos 40°＋2sin 10°sin 40°
＝
cos 10°
· 2cos 10°
＝2 2cos(10°－40°)＝2 2cos 30°＝ 6.
第十五页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向一 三角函数的化简
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
第四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理 梳 理一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础知识系统化1
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)C(α－β)：cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
(3)T2α：tan
2tan α 2α＝1－tan2α．
第七页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理 梳 理三 形如 asin α＋bcos α的化简
基础知识系统化3
asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
a
b
其中 cos φ＝
，sin φ＝
，
a2＋b2
a2＋b2
b
即 tan φ＝a.
C 考纲 点击
1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正
切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它 们的内在联系．
第三页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理 梳 理一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2－cos
2
＝
α
2cos
2
α
cos 2·（－cos α）
＝
α
.
cos
2
πα
α
又∵π＜α＜2π，∴2＜2＜π.∴cos 2＜0.
第十四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向一 三角函数的化简
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2)原式＝
2sin
sin
50°＋
10°（cos 10°＋ cos 10°
)
1 A.2
2 B. 2
3 C. 2
D．1
第六页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理 梳 理二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础知识系统化2
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；
三角函数式的化简要遵循“三看”原则． (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进 行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见 的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见 的有“遇到分式要通分”等．
第八页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
指点迷津
1．一个源头
公式 cos(α－β)是所有公式的源头，其它公式可以利用角的变换、公式变形等手段得出．
2．两个技巧
α＋β α－β α－β (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝ 2 － 2 ； 2 ＝α＋β2－α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．
α
2sin2 2＋8sin 2cos 2＋8cos22－5
求
π
的值；
2sinα－ 4
π
π
(2)已知函数
f(x)＝tan(2x＋
4)，设
α∈0，
4
，
α 若 f2＝2cos 2α，求 α 的大小．
(1)寻找已知值与所求代数式的关系．
(2)由 fα2＝2cos 2α，切化弦，求 sin 2 α的值进而求角 α.
C 聚焦考向透析
考向一 三角函数的化简
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)化简：
α
α
（1＋sin
α＋cos
α）sin
2－cos
2
2＋2cos α
(0＜α＜π)．
(2)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋
3tan 10°)]· 2sin280°.
(1)把分母 2＋2cos α开方，通过约 分而化简．
梳理自测1
1．(2012·高考重庆卷)设 tan α，tan β是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 tan(α＋β)的值为( A )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
2
1 tan α
7
2．已知 sin(α＋β)＝3，sin(α－β)＝－5，则tan β的值为___1_3____．
3
3．(课本精选)化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝___2_____．
第三章 三角函数、 解三角形
第 3 课时 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
第一页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
考纲点击
基础知识梳理
聚焦考向透析
学科能力提升 微课助学
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第二页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
4)，设
α∈0，
4
，
α 若 f2＝2cos 2α，求 α 的大小．
第十九页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)(2014·安徽合肥模拟)若 α 是第二象限
10 角，sin(π－α)＝ 10 .
α
αα
π
整理得cos
α－sin
α＝2(cos
α－sin
α)(cos
α＋sin
α)，又∵α∈0，
4
，∴sin
α＋cos
α≠0.
第二十二页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
1
1
∴(cos α－sin α)2＝2， ∴sin 2α＝2.
π
π
π
π
又∵α∈0，
4
，
∴2α∈0，2， ∴2α＝6， 即 α＝12
第二十三页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 聚焦考向透析
考向二 三角函数式求值或求角问题
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消， 从而化为特殊角的三角函数． (2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适 当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式， 便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． (3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间， 从而达到解题的目的．
第九页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
C 基础知识梳理
指点迷津
3．三种应用
公式有正用、逆用、变形用．如： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)， tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)． cos2α＝1＋c2os 2α→cos2α2＝1＋c2os α sin2α＝1－c2os 2α→sin2α2＝1－c2os α (降幂公式)