2022年最新鲁教版(五四制)九年级数学下册第五章圆综合练习试卷(含答案详解)

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（）
A．4πB．21
2
πC．17πD．
55
2
π
2、已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
3、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB＝2CE＝3AF，过F作FG⊥BE于P交BC 于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：
①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF＝2∠PFE；④
2
=
3
PHG
PDE
S
S
∆
∆
．
其中正确的结论（）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有③④D．①②③④
4、直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（）
A．12 B．14 C．16 D．18
5、已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
6、如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠ABC＝44°，则∠OAC的度数为（）
A．46°B．44°C．40°D．50°
7、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知6
EF CD
==cm，则球的半径为（）
A ．3cm
B ．134cm
C ．154cm
D ．174
cm 8、若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（ ）
A ．2
B ．4
C ．2π
D ．4π
9、如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．18+10、如图，在平面直角坐标系中，()0,3A -，()2,1B -，()2,3C ．则△ABC 的外心坐标为
（ ）
A ．()0,0
B ．()1,1-
C ．()2,1--
D ．()2,1-
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、分别以等边ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边ABC 的边长为2cm ，则图中阴影部分的面积为______2cm ．
2、如图，线段2AB =，点C 为平面上一动点，且90ACB ∠=︒，将线段AC 的中点P 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BQ ，则线段BQ 的最大值为______．
3、小华为参加元旦晚会演出，准备制作一顶圆锥形彩色纸帽，如果纸帽的侧面展开图是半径为9cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 _____cm ．
4、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，a =10，⊙O 内切于Rt △ABC ，且半径为4，则a +b +c =_____．
5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD =8，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ´F ，连接B ´D ，则B ′D 的最小值是_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 上的一点，以AD 为直径的⊙O 与BC 相切于点E ，连接AE ，DE ．
(1)求证：AE 平分∠BAC ；
(2)若30B ∠=︒，求CE DE
的值． 2、如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 在⊙O 上，AC CD =，AD 与BC 相交于点E ，AF 与⊙O 相切于点A ，与BC 延长线相交于点F ．
(1)求证：AE ＝AF ．
(2)若EF ＝12，sin ∠ABF ＝35
，求⊙O 的半径． 3、如图所示，⊙O 的弦BD ，CE 所在直线相交于点A ，若AB ＝AC ，求证：BD ＝CE ．
4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线BM 交AE 于点M ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点M ，交BC 于点G ，交AB 于点F ．
(1)求证：AE 为⊙O 的切线；
(2)当BC ＝4，AC ＝6时，求线段BG 的长．
5、在平面直角坐标系中，点O 为坐标系的原点，抛物线223y ax ax a =--交x 轴于点A 和点B ，交y
轴于点C ，12
OC OB =．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D 为抛物线的顶点，连接BD ，点E 为线段BD 上一点，连接AE ，设点E 的横坐标为t ，ABE △的面积为s ．求s 与t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AD ，点G 在第四象限，连接AG 、DG ，AG AD =，点F 为直线AG 下方一点，,⊥⊥FG DG FA DA ．若,:8:9∠=∠=FAG DAE DE AF ，求点E 的坐标．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据题意找出半径的变化规律，进而求出第8步所画扇形的半径，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，…
第6步半径为3+5=8（cm ）；
第7步半径为5+8=13（cm ）；
第8步半径为8+13=21（cm）；
由题意得：第8步所画扇形的半径21cm，
∴第8步所画扇形的弧长＝902121
1802
π
π
⨯
=（cm），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是弧长的计算、数字的变化规律，根据题意找出半径的变化规律是解题的关键．2、C
【解析】
【分析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，
所以这个正多边形是正十边形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理，正n边形的各个外角都相等，并且等于360
n
︒
．
3、D
【解析】
【分析】
如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，就有AM＝CE，由勾股定理可以求出EF的值，通过证明△EFB≌△MFB就可以求出①；根据△BPG∽△BCE就可以求出PG、BG从而求出GC，再求
△HPG∽△DPF得出GH的值就可以得出HC的值，从而得出②的结论；由△BCE≌△DCH可以得出∠1＝∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4＝∠5，进而由角的关系得出∠9＝∠5而得出③成立；根据
△BHP≌△DEP就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．【详解】
解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，
∴AM＝CE，BE＝BM，∠1＝∠2．∠BAM＝∠BCE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．AD BC
∥．
∴∠BAM＝∠BCE＝90°，
∴∠MAF＝180°，
∴点M、A、F在同一直线上．
∵AB＝2CE＝3AF，设AF＝x，
∴AB＝3x，CE＝1.5x，
∴MF＝1.5x+x＝2.5x，FD＝3x﹣x＝2x，ED＝1.5x．
在Rt△DFE中，由勾股定理得EF＝2.5x，
∴EF＝MF．
∵在△EFB和△MFB中，
EF MF
BE BM
，
BF BF
∴△EFB≌△MFB（SSS），
∴∠EBF＝∠MBF．
∵∠MBF＝∠2+∠3，
∴∠MBF＝∠1+∠3，
∴∠EBF＝∠1+∠3．
∵∠EBF+∠1+∠3＝90°，
∴∠EBF＝45°．
∵FG⊥BE，
∴∠FPB＝∠BPG＝90°，
∴∠BFP＝45°，
∴∠BFP＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；
在Rt△AFB中，由勾股定理得BF
，
在Rt△BFP中，由勾股定理得PF＝PB
，
在Rt△BEC中，由勾股定理得BE
，
∵∠1＝∠1，∠BPG＝∠BCE＝90°，∴△BPG∽△BCE，
∴PG PB BG CE BC BE
，
∴
5
3
1.535
PG x BG
x x x，
∴PG，BG＝2.5x．∴GC＝0.5x．
∵AD BC
∥，
∴△HPG∽△DPF，
∴GH PG DF PF
，
∴2
25x
GH
x x
，
∴GH＝x，
∴HC＝1.5x，
∴2HC＝3x，
∴2HC＝BC，
∴H是BC的中点．故②正确；
∵AB＝2CE，
∴2HC＝2CE，
∴HC＝CE，
在△BCE和△DCH中，
BC DC
C C
CE CH
，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴∠1＝∠4．
过点E作QR FG
∥交AD于Q，交BC的延长线于R．
∴∠BER＝∠BPG＝90°，∠5＝∠6．
∴∠7+∠8＝90°．
∵∠1+∠7＝90°，
∴∠1＝∠8．
∵∠8＝∠9，
∴∠1＝∠9，
∴∠4＝∠9．
JP JD 如图，∵∠FPE＝∠FDE＝90°，取EF的中点,J连接,,
JP JF JE JD
,
∴F、P、E、D四点共圆，
∴∠4＝∠5．
∴∠9＝∠5，
∴∠DEF＝2∠5，
即∠DEF＝2∠PFE．故③正确；
∵在△BHP和△DEP中，
14
BPH DPE
，
BH DE
∴△BHP ≌△DEP （AAS ），
∴S △BHP ＝S △DEP ．
作PS ⊥BC 于S ，
∴S △BHP ＝2BH PS ，S △PHG ＝2HG PS ． ∴S △BHP ＝1.52x PS ，S △PHG ＝2x PS ， ∴221.53
2PHG PHG
PDE PHB x PS
S S x PS
S S ，故④正确． ∴①②③④都是正确的．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定及性质的运用，圆的确定以及圆的基本性质．解答时作出恰当的辅助线是关键．
4、B
【解析】
【分析】
⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，得出正方形CDIF 推出CD=CF =1，根据切线长定理得出AD=AE ，BE=BF ，CF=CD ，求出AD+BF=AE+BE=AB =6，即可求出答案．
【详解】
解：如图，⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，
则∠CDI =∠C =∠CFI =90°，ID=IF =1，
∴四边形CDIF 是正方形，
∴CD=CF =1，
由切线长定理得：AD=AE ，BE=BF ，CF=CD ，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD ，
即△ABC 的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB =6+1+1+6=14，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．
5、C
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出直线MN 的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】
解：设直线MN 的解析式为y kx b =+，
将点(1,2),(3,3)M N -代入得：233k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得5292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则直线MN 的解析式为5922y x =-+，
A 、当3x =时，5
933522y =-⨯+
=-≠，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
B 、当3x =-时，59(3)12522y =-⨯-+=≠，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C 、当1x =时，591222y =-⨯+=，则此时点,,M N P 在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
D 、当1x =时，5912222
y =-⨯+
=≠-，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
6、A
【解析】
【分析】
先利用圆周角定理求出AOC ∠的度数，然后再利用等腰三角形的性质求出OAC ∠即可．
【详解】 解：AC 所对的圆周角是ABC ∠，AC 所对的圆心角是AOC ∠， 288AOC ABC ∴∠=∠=︒，
OA OC =，
46OAC OCA ∴∠=∠=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
7、C
【解析】
【分析】
取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x cm，则OM=(6-x)cm，MF=3cm，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】
解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=6cm，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=(6-x)cm，MF=3cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（6-x）2+32=x2
解得：x=15 4
即球的半径为15
4
cm
故选：C．
【点睛】
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8、A
【解析】
【分析】
直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
290
360
r
π
π
⨯
=，
∴扇形的半径为2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
9、A
【解析】
【分析】
如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．
由题意AB 垂直平分线段OK ，
∴AO ＝AK ，
∵OA ＝OK ，
∴OA ＝OK ＝AK ，
∴∠OAK ＝∠AOK ＝60°．
∴AH ＝OA ∵OH ⊥AB ，
∴AH ＝BH ，
∴AB ＝2AH ＝
∵OC ＋OH ≥CT ，
∴CT ≤6＋3＝9，
∴CT 的最大值为9，
∴△ABC 的面积的最大值为192⨯=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．
10、D
【解析】
【分析】
由BC 两点的坐标可以得到直线BC ∥y 轴，则直线BC 的垂直平分线为直线y =1，再由外心的定义可知△ABC 外心的纵坐标为1，则设△ABC 的外心为P （a ，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到()()()222
22222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，由此求解即可． 【详解】
解：∵B 点坐标为（2，-1），C 点坐标为（2， 3），
∴直线BC ∥y 轴，
∴直线BC 的垂直平分线为直线y =1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC 外心的纵坐标为1，
设△ABC 的外心为P （a ，1），
∴()()()222
22222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，
∴221648a a a +=-+，
解得2a =-，
∴△ABC 外心的坐标为（-2， 1），
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
二、填空题
1、2π-【解析】
【分析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其阴影面积=三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积，求出即可．
【详解】
解：过A 作AD BC ⊥于D ，
ABC ∆是等边三角形，
2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，
AD BC ⊥，
1BD CD ∴==，AD ==
ABC ∴∆的面积为11222
BC AD ⋅=⨯ 260223603
BAC S ππ⨯∴==扇形，
∴阴影部分的面积2
3323S ππ=⨯--，
故答案为：2π-
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，解题的关键是能根据图形得出阴影部分的面积=三
块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积．
2
【解析】
【分析】
先证明△PAM≌△QAE(SAS)，再根据勾股定理得出BE的长，最后得出结论．【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD=1
2
AB=1，
取AD的中点M，连接PM，P为AC的中点，∴PM为△ACD的中位线，
∴PM=1
2CD=1
2
，PM∥CD，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AM，连接PE，BE，
∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴∠QAC=90°，QA=AP，,
∵∠EAD=90°，
∴∠QAE=∠CAD，
∴△PAM≌△QAE(SAS)，
∴QE=PM=1
2
，
∵AB=2，AE=AD=1
2
，
∴BE=
∴BQ≤BE+QE+1
2
∴BQ
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
3、3
【解析】
【分析】
设该圆锥底面圆的半径为r cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程求解
【详解】
解：设该圆锥底面圆的半径为r cm，
根据题意得2πr= 1209
180
π
⨯⨯
，
解得r=3，
即该圆锥底面圆的半径为3cm．故答案为：3．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4、60
【解析】
【分析】
设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，Rt△ABC中，
AC²+BC²=AB²，可得b²+10²=(b+2)²，解得b=24，进而可得答案．
【详解】
解：设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，
∵∠C=90°，
∴四边形OECD是正方形，
∴CE=CD=r=4，
∴AD=b-4，BE=10-4=6，
根据切线长定理可得：
AF=AD=b-4，BF=BE=6，AB=c=b-4+6=b+2，
Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴b²+10²=(b+2)²，
解得b=24，c=b+2=26，
∴a+b+c=10+24+26=60．
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了切线的性质和切线长定理，利用勾股定理列出方程是解题关键．
53
【解析】
【分析】
如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，即可求出B′D．
【详解】
解：如图：
由折叠可得：EB´＝EB，
∵E是AB边的中点，AB＝6，
∴AE＝EB=EB´＝3，
∴点B´在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，B′D的值最小，
∵四边形ABCD矩形，
∴∠A=90º，
在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE =3，
∴DE ＝
=
∴B ´D 3．
3．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、两点之间线段最短、圆的性质的综合运用.确定点B ′在何位置时，B ′D 的值最小是解决问题的关键．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)CE DE =【解析】
【分析】
（1）连接OE ，根据切线的性质得到∠OEB =90°，进而得到OE //AC ，根据平行线的性质得到∠OEA =∠EAC ，根据等腰三角形的性质得到∠OEA =∠OAE ，根据角平分线的定义证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠AED =90°，证明△DAE ∽△EAC ，根据相似三角形的性质得到
CE AE DE AD
=，根据余弦的定义计算，得到答案．
(1)
证明：连接OE ，
∵BC 是⊙O 的切线，
∴OE ⊥BC ，即∠OEB =90°，
∵∠C =90°，
∴OE //AC ，
∴∠OEA =∠EAC ，
∵OE =OA ，
∴∠OEA =∠OAE ，
∴∠OAE =∠EAC ，即AE 平分∠BAC ；
(2)
∵AD 为⊙O 的直径，
∴∠AED =90°，
∵∠OAE =∠EAC ，∠C =90°，
∴△DAE ∽△EAC ， ∴CE AE DE AD
=， ∵∠C =90°，∠B =30°，
∴∠BAC =90°-30°=60°，
∴∠DAE =1
2∠BAC =30°，
∵cos AE DAE AD ∠==cos30︒=
∴CE AE DE AD == 【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，根据圆的
切线垂直于经过切点的半径得到OE⊥BC是解题的关键．2、 (1)见解析
(2)20 3
【解析】
【分析】
（1）由切线的性质得出∠FAB=90°，由圆周角定理得出∠CAE=∠D，∠D=∠B，证得∠F=∠CEA，则可得出结论；
（2）由锐角三角函数的定义得出
63
5
CE
AE AE
==，求出AE=10，由勾股定理求出AC，则可求出AB的
长．
(1)
证明：∵AF与⊙O相切于点A，∴FA⊥AB，
∴∠FAB=90°，
∴∠F+∠B=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵AC CD
=，
∴∠CAE=∠D，
∴∠D+∠CEA=90°，
∵∠D=∠B，
∴∠B+∠CEA=90°，
∴∠F=∠CEA，
∴AE=AF；
(2)
解：∵AE=AF，∠ACB=90°，
∴CF=CE=1
2
EF=6，
∵∠ABF=∠D=∠CAE，
∴sin∠ABF=sin∠CAE=3
5
，
∴
63
5 CE
AE AE
==，
∴AE=10，
∴AC，
∵sin∠ABC=
83
5 AC
AB AB
==，
∴AB=40
3
，
∴OA=1
2
AB=
20
3
．
即⊙O的半径为20
3
．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
3、见详解
【解析】
【分析】
如图，连接DE，BC．证明∠ADE=∠AED，推出AD=AE，可得结论．
【详解】
证明：如图，连接DE，BC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，
∴∠ADE=∠C，
同法可证，∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴BD=EC．
【点睛】
本题考查圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD=AE．4、 (1)见解析
(2)1
【解析】
【分析】
（1）连接OM，证明OM∥BC即可；
（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用BG
BF
=sin∠GFB=sin∠BAE即可得到答案．
【小题1】
解：连接OM，如图：
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵OM=OB，
∴∠ABM=∠BMO，
∴∠BMO=∠CBM，
∴BC∥OM，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
【小题2】
连接GF，如图：
∵AB =AC ，AE 平分∠BAC ，
∴BE =CE =12BC ，∠AEB =90°，
∵BC =4，AC =6，
∴BE =2，AB =6，
∴sin ∠EAB =13
，
设OB =OM =r ，则OA =6-r ，
∵AE 是⊙O 切线，
∴∠AMO =90°，
∴sin ∠EAB =13OM OA =， ∴163
r r =-，解得r =1.5， ∴OB =OM =1.5，BF =3，
∵BF 为⊙O 直径，
∴∠BGF =90°，
∴GF ∥AE ，
∴∠BFG =∠EAB ，
∴sin ∠BFG =13，即
13
BG BF =， ∴BG =1．
【点睛】 本题考查圆的切线判定及圆中线段的计算，解题的关键是求出圆的半径．
5、 (1)21
322
y x x =-++ (2)s =-2t +6
(3)点E 坐标为（
3115，1415
） 【解析】
【分析】
（1）根据解析式可得C 点坐标为（0，-3a ），根据12OC OB =可表示出点B 坐标，代入解析式求出a 值即可得答案；
（2）根据（1）中解析式可求出A 、B 、D 坐标，可得AB 的长，利用待定系数法可得出直线BD 解析式，根据点E 横坐标可得点E 纵坐标，根据三角形面积公式即可得出s 与t 的函数解析式；
（3）如图，过点B 作BH ⊥AF ，交AF 延长线于H ，延长AG 、DG ，分别交BH 于P 、Q ，过点E 作EM ⊥x 轴于M ，连接DF ，根据直线BD 解析式可证明△DAB 是等腰直角三角形，即可证明四边形AHBD 是正方形，利用正方形的性质及ASA 可证明△ADE ≌△AHP ，可得DE =PH ，根据,⊥⊥FG DG FA DA 可证明点A 、F 、G 、D 四点共圆，进而可得∠AFD =∠DQB =∠PGQ ，PG =PQ ，利用AAS 可证明△ADF ≌△BDQ ，可得BQ =AF ，设DE =8k ，AF =9k ，根据线段的互相关系及勾股定理可得出AH =15k ，可求出k 值，即可求出BE 的长，根据等腰直角三角形的性质可得EM 、BM 的长，即可得出OM 的长，即可得答案．
(1)
∵抛物线223y ax ax a =--交x 轴于点A 和点B ，交y 轴于点C ，
∴当x =0时，y=-3a ，
∴C 点坐标为（0，-3a ），
∵12
OC OB =， ∴点B 坐标为（-6a ，0），
∴a （-6a ）2-2a （-6a ）-3a =0，
解得：a 1=0，a 2=16
，a 3=12-， ∵抛物线开口向下， ∴12
a =-， ∴抛物线的解析式为21
322
y x x =-++． (2) ∵抛物线的解析式为21
322
y x x =-++， ∴当y =0时，21
3022
x x -++=， 解得：x 1=-1，x 2=3，
∴A （-1，0），B （3，0），
∴AB =4，
∵点D 是抛物线顶点，
∴D （1，2），
设直线BD 解析式为y =kx +b ，
∴230k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩
，
∴直线BD的解析式为y=-x+3，∵点E的横坐标为t，
∴点E的纵坐标E y=-t+3，
∵ABE
△的面积为s，
∴s=1
2E
AB y⋅=
1
4(3)
2
t
⨯⨯-+=-2t+6．
(3)
如图，过点B作BH⊥AF，交AF延长线于H，延长AG、DG，分别交BH于P、Q，过点E作EM⊥x轴于M，连接DF，
∵直线BD的解析式为y=-x+3，
∴∠DBA=45°，
∵点D为抛物线顶点，
∴AD=BD，
∴∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∵FA DA
⊥，BH⊥AF，
∴四边形AHBD是正方形，
∵AB=4，AD=AG，
∴AD=BD=AH=BH=AG AB=ADG=∠AGD，
设DE=8k，
∵:8:9
DE AF=，
∴AF=9k，
在△ADE 和△AHP 中，DAE FAG AD AH ADE AHP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE ≌△AHP ，
∴PH =DE =8k ，
∵,⊥⊥FG DG FA DA ，
∴点A 、F 、G 、D 四点共圆，
∴∠AFD =∠AGD =∠PGQ ，
∵AD //BH ，
∴∠ADQ =∠DQB ，
∴∠AFD =∠DQB =∠PGQ ，
∴PG =PQ ，
在△ADF 和△BDQ 中，90AFD DQB QAF DBQ AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△ADF ≌△BDQ ，
∴BQ =AF =9k ，
∴BH =BQ +PH -PQ =17k -PQ ，
∴AP =AG +PG =BH +PG =17k -PQ +PG =17k ，
∴AH
k
=
解得：k =2√215
， ∴BE =BD -DE =15k -8k =7k =14√215
，
∴EM=BM=√2
2kk=
14
15
，
∴OM=OB-BM=3-14
15
=
31
15
，
∴点E坐标为（31
15
，
14
15
）．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、四点共圆的证明及正方形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．。