湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题及答案

湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期12月联
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．已知集合{}{}
2
2,1,0,1,2,4A B x x =--=∈<Z ，则A B =（ ）
A ．{2,1,0,1,2}--
B ．{1,0,1}-
C ．{0,1,2}
D ．{0,1}
2．若复数3
5
2i z =-（i 为虚数单位）则||z =（ ） A
B
C
D
3．已知向量(2,1),(,4)AB AC a ==，若AB AC ⊥，则||BC =（ ） A
B
C
．D ．5
4．已知11cos 22cos()
παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，则
2sin cos sin cos αα
αα
-=+（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．5
5．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中
1.618≈）
．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥P ABCD -的底面边长约为656英尺，顶点P 在底面上的投影为底面的中心O ，H 为线段BC 的中点，根据以上信息，
PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）
A ．302.7
B ．405.4
C ．530.7
D ．1061.4
6．函数2sin ()1
x x
f x x -=
+的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(2,)m 到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲
线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
C 的离心
率为（ ） A ．3
B
C
D
8．在等比数列{}n a 中，1234567845122
,55
a a a a a a a a a a +++++++==-，则12345678
11111111
a a a a a a a a +++++++=（ ） A ．6- B ．24
25
-
C ．
145
D ．2
二、多选题
9
．已知二项式2n
x ⎛
⎝的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）
A ．所有项的二项式系数和为128
B ．所有项的系数和为1
C ．二项式系数最大的项为第5项
D ．有理项共3项
10．已知函数()2cos 216f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原
来的3倍，纵坐标不变，再向左平移
2
π
个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则以下结论正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为1
B ．函数()g x 的单调递增区间为73,3()44k k k ππππ⎡⎤
-
+-+∈⎢⎥⎣⎦
Z C ．4
x π
=-
是函数()g x 的一条对称轴
D ．,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是函数()g x 的一个对称中心
11．已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:340l kx y k -+-=，则（ ） A ．直线l 与圆C 的位置关系无法判定
B ．当1k =时，圆
C 上的点到直线l
2+ C ．当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，0k =
D ．如果直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，则MN 的中点的轨迹是一个圆
12．已知图1中，正方形EFGH
的边长为A 、B 、C 、D 是各边的中点，分别沿
着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）．
A ．平面AEF ⊥平面CGH
B ．直线AF 与直线CG 所成的角为60°
C ．多面体ABC
D EFGH -
的体积为
63
+
D ．直线CG 与平面AEF 所成角的正切值为2 三、填空题
13．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，则()3f =_________. 14．从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为________．
15．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成
是一个球被一个棱长为心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径是__________．
四、双空题
16．已知22,30,
()1
ln ,0 3.1
x x x f x x x ⎧-+-≤<⎪
=⎨≤≤⎪
+⎩
（1）函数()f x 的零点个数为________个；
（2）若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为_______． 五、解答题
17．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若()17252,4a S a a ==+． (1)求{}n a 的通项公式；
(2)设22n a
n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．
18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2S BC =⋅（其中S 为
ABC 的面积）．
(1)求角B 的大小；
(2)若ABC 为锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围．
19．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为
2
3
，乙笔试部分每环节通过的概率依次为211
,,323，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面
试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为23，1
2，乙面试部分每个环节通过的概率依次为32,43
．若面试部分
的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
(1)求乙能参与面试的概率；
(2)记甲本次应聘通过的环节数为X ，求X 的分布列以及数学期望．
20．如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， 14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1DD 、BC 上·
(1)若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；
(2)若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为4
9
，求四面体ADPQ 的体积．
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为1e 2=．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左、右两个顶点分别为12,A A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为椭圆C 的左焦点，求证：FMN 的周长为定值．
22．已知函数ln ()1x f x a x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，（其中a 为非零实数）． (1)讨论()f x 的单调性；
(2)若函数()e ()x g x f x =-（e 为自然对数的底数）有两个零点． ①求实数a 的取值范围；
①设两个零点分别为1x 、2x ，求证：()12212e x x x x -+>．
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
计算得到B 集合的等价集合，然后求交集即可. 【详解】
{}
24B x x =∈<Z ，{}
{}{}24221,0,1B x x x x ∴=∈<=∈-<<=-Z Z ，
又
{}2,1,0,1,2A =--，{1,0,1}A B ∴=-．
故选：B 2．C 【解析】 【分析】
先对复数化简，然后再求复数的模 【详解】
由题意可知：3555(2i)
2i 2i 2i (2i)(2i)
z -====--++-，则|z |= 故选：C 3．D 【解析】 【分析】
根据AB AC ⊥求得a ，由此求得BC ，进而求得||BC . 【详解】
由题意可得240AB AC a ⋅=+=，解得2a =-，所以(4,3)BC AC AB =-=-，因此||(5BC =-=．
故选：D 4．D 【解析】 【分析】
利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。

【详解】 由题意
sin tan 2cos ααα
-==--，则2sin cos 2tan 1
5sin cos tan 1αααααα--==++．
故选：D ﹒ 5．C 【解析】 【分析】
结合已知条件，利用勾股定理列方程，化简求得PH 的长度. 【详解】
设2BC a =，PO h =，PH s =，由已知得2h as =，
又由勾股定理2
2
2
h s a =-，故2
2
as s a =-，即2
10s s
a a
⎛⎫--= ⎪⎝⎭，
因此可求得s a =
，则656530.72PH s ===≈． 故选：C 6．A 【解析】 【分析】
根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值来确定正确选项.
【详解】
由题意，函数2sin ()1
x x
f x x -=
+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11
x x x x
f x f x x x -----=
==--++，所以函数()f x 为奇函数， 其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项， 21
20212f π
ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，所以排除B 项． 故选：A 7．C 【解析】 【分析】
先由已知结合抛物线的定义求出2p =，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l 与两条渐近线的交点分别为1,,1,b b A B a a ⎛
⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后由题意可得1||12AOB
b
S
AB a
=⋅⋅== 【详解】
依题意，抛物线22(0)y px p =>准线:2
p l x =-
， 由抛物线定义知232p ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，解得2p =，则准线:1l x =-，
双曲线C 的两条渐近线为b
y x a
=±
，于是得准线l 与两条渐近线的交点分别为1,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛
⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，原点为O ，
则AOB
面积1||12AOB
b
S
AB a
=⋅⋅= 双曲线C 的半焦距为c ，离心率为e ，则有22
2
2213c b e a a
==+=
，解得e =
故选：C 8．A 【解析】 【分析】
结合等比数列的性质来求得正确答案. 【详解】
18273645
1234567818273645
11111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++=+++， ①等比数列{}n a 中4525
a a =-，而1827364525a a a a a a a a ====-，
①()12345678123456781111111155126225
a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=-+++++++=-⨯=-． 故选：A 9．AB 【解析】 【分析】
二项式展开式共8项，则n ＝7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案﹒ 【详解】
二项式2n
x
⎛
⎝的展开式中共有8项，则7n =，
选项A ：所有项的二项式系数和为72128=，故A 正确；
选项B ：令1x =，则7
211
⎛
⨯= ⎝，所以所有项的系数的和为1，故B 正确；
选项C ：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C 不正确； 选项D ：二项式的展开式的通项为37772
17
7C (2)
C (1)2r
r r
r
r r r r T x x
---+⎛==- ⎝
， 当0,2,4,6r =时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D 不正确． 故选：AB ﹒ 10．BC 【解析】 【分析】
根据三角函数图象变换求得()g x ，结合函数的最值、单调性、对称性对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】
()2cos 216f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
将画数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到2
2cos 13
6y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再向
左平移
2
π
个单位长度，向上平移2个单位长度得22
()2cos 12cos 13363
6g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
选项A ：()g x 的最大值为3，故A 错误； 选项B ：令222()36
k x k k π
πππ-+≤
+≤∈Z ，故733()44k x k k ππππ-+≤≤-+∈Z ． 故函数()g x 的单调递增区间为73,3()44k k k ππππ⎡⎤
-
+-+∈⎢⎥⎣⎦
Z ，故B 正确； 选项C ：因为max 22cos 13()4346g g x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⨯-++== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以4x π=-是函数()g x 的一
条对称轴，故C 正确；
选项D ：因为22cos 1314346g πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⨯-++=≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()g x 的一个
对称中心，故D 错误． 故选：BC 11．BCD 【解析】 【分析】
对于A ，由于直线恒过定点，所以判断此定点与圆的位置关系即可，对于B ，求出圆心到直线的距离再加上圆的半径即可，对于C ，由题意可得只要圆心(3,4)C 到直线l 距离为1即可，对于D ，设MN 的中点为P ，由垂径定理知PC PA ⊥，从而可得结论 【详解】
由2268210x y x y +--+=，得22(3)(4)4x y -+-=，所以圆心(3,4)C ，半径为2， 选项A ：由直线l 的方程可得，3(4)y k x -=-，则直线l 恒过定点(4,3)A ，此点在圆C 内，故直线l 与圆C 相交．故A 错误．
选项B ：1k =时，直线l 的方程为34y x -=-，即10x y --=．设圆心(3,4)C 到直线l 距
离为d ，则
d C 上的点到直线l 2+．故B 正确．
选项C ：当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，圆心(3,4)C 到直线l 距离为1，由
1d =
=，得0k =．故C 正确．
选项D ：直线l 恒过定点(4,3)A ，设MN 的中点为P ，由垂径定理知PC PA ⊥，故点P 的轨迹是以AC 为直径的圆，故D 正确． 故选：BCD 12．BD 【解析】 【分析】
根据题意建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面CGH 的一个法向量，即可根据向量法判断A 错误，B 正确，D 正确；对C ，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，即可求出多面体ABCD EFGH -的体积，从
而判断C 错误． 【详解】
取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，
在图1中，①A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则CH DH =，
①O 为CD 的中点OH CD ⊥， ①平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH
平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，
①OH ⊥平面ABCD ，在图1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ①O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则OC BM ∥且OC BM =，且90OCB ∠=︒， 所以四边形OCBM 为矩形，所以OM CD ⊥，
以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则()2,1,0A -、()2,1,0B 、()0,1,0C 、()0,1,0D -、
()1,1,1E -、()2,0,1F 、()1,1,1G 、()0,0,1H ．
选项A ，设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z =，()1,0,1AE =-，()0,1,1AF =， 由111100
m AE x z m AF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-． 设平面CGH 的一个法向量为()222,,n x y z =，()1,0,1CG =，()0,1,1CH =-， 由222200n CG x z n CH y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--．
()2
2111110m n ⋅=+--⨯=≠，
所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，故A 错误；
选项B ，()0,1,1AF =，()1,0,1CG =， 1
cos ,
2
AF CG =
=，直线AF 与CG 所成的角为60°，故B 正确； 选项C ，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，
则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，
因为2AB =，1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，
11211111
113326
A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，
因此，多面体ABCD EFGH -的体积为1110
44463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=，故C 错误；
选项D ，cos ,2CG m CG m CG m
⋅=
=
⨯⋅
设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ=cos θ
所以，sin tan cos θ
θθ
==D 正确． 故选：BD ． 13．2- 【解析】
求出()3f -的值，利用奇函数的定义可求得()3f 的值. 【详解】
因为()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，()23log 42f ∴-==， 因此，()()332f f =--=-. 故答案为：2-. 14．
101
110
【解析】 【分析】
先求出从12个点中任取3个点的取法，再求出三点共线的情况，从而可求出三个点能构成三角形的概率
【详解】
从12个点中任取三个点，有3
12C 种取法，
由图示得三个点在一条直线上的情况有3
463C 18+=，
所以所取的三个点能构成三角形的概率为3123
12C 18202101
C 220110
-==． 故答案为：101
110
15．6 【解析】 【分析】
设球心为O ，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可 【详解】
设球心为O
，作出过球心的截面图如图所示，则OA = 由截面圆的周长为6π，得26AB ππ⨯=，①3AB =，
6=． 故答案为：6
16． 1 ln 21,2e ⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ 【解析】 【分析】
由()0f x =直接求解函数的零点即可，由题意可得|()|f x 在[3,0)-上值域为(0,15]且单调递减；在[0,3]上值域为[0,ln 4]且单调递增，要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，画出函数的图象，根据图象求解即可
【详解】
（1）因为(0)0f =，所以零点个数为1；
（2）由题设，当-<3≤0x 时，2()(1)1f x x =--+，故值域为[15,0)-且单调递增； 当03x ≤≤时，1
()01
f x x =-
<+'，故()f x 值域为[ln 4,0]-且单调递减； ①|()|f x 在[3,0)-上值域为(0,15]且单调递减；在[0,3]上值域为[0,ln 4]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如图所示，由图知：要使函数图象有3个交，则(1)y a x =+与|()|f x 在[0,3]上有2个交点，
当03x ≤≤时，设1
()|()|ln ln(1)1
h x f x x x ==-=++， 则1
()1
h x x =
+'， 此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切，设切点为(,(1))m a m +， ①1,1ln(1)(1),
a m m a m ⎧
=⎪
+⎨⎪+=+⎩可得1e a =，
当(1)y a x =+过点(3,ln 4)时，有4ln 4a =，得ln 4ln 242a ==，①ln 21
2e
a ≤<． 故答案为：1，ln 21,2e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
17．(1)2n a n = (2)n T ()42(1)413
n
n n =++- 【解析】 【分析】
（1）、利用等差数列通项公式及前n 项和求出公差，即可求出{}n a 的通项公式； （2）、先求数列{}n b 的通项公式，再利用分组求和法求解. (1)
设等差数列{}n a 的公差为d ．
()7254S a a =+，()11176
7442
a d a d a d ⨯∴+
=+++，1a d ∴=， 又12a =，2d ∴=，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=．
{}n a ∴的通项公式为2n a n =.
(2)
由（1）可知2n a n =，
22n a n n b a =+，2224244a n n n n b a n n ∴=+=+=+，
123n n T b b b b =++++，
()()()1
2
4144(1)4
4(123)444=2(1)412143
n
n
n n n n T n n n ⨯-+∴=+++++++
+=+=++--，
()42(1)413
n
n T n n ∴=++
-． 18．(1)3
B π
=；
(2)(2,8). 【解析】 【分析】
（1）由已知条件可得sin cos ac B B ，则可得tan B =B ， （2）由角B 的大小和三角形是锐角三角形可求出,62C ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，再由正弦定理结三角函数
恒等变换公式可得2a =，再结正切函数的性质可得结果 (1)
依题意2S BC =⋅，则sin cos ac B B =，
又因为(0,),sin 0B B π∈≠，所以tan B =3
B π
=．
(2)
由ABC 为锐角三角形及3
B π
=，
得20,,0,322A C C πππ⎛⎫⎛⎫=
-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
①,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
由正弦定理得4
sin sin a A C
=，
①4sin 4sin 32sin sin C A a C C π⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭====． ①,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
①tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭
，
①1tan C ∈，
①2(2,8)，即所求a 的取值范围是(2,8)． 19．(1)1
2；
(2)分布列见解析，232
81
﹒ 【解析】 【分析】
(1)乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试；
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，依次计算出概率即可列出分布列﹒ (1)
若乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试，
故乙能参与面试的概率2112122111111
3233233233232
P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
(2)
X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， 3
11(0)327P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭
， 2
13
122
(1)C 339
P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
2
23
21112
(2)C 333227
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭， 32
2321121112122(3)C 33233323281
P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
32
232112121218(4)C 33232333227
P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
3
2218
(5)33281
P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭．
则X 的分布列为
故1222288232()0123452792781278181
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)证明见解析 (2)83
【解析】 【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知10AB PQ ⋅=，即可证得结论； （2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得74,,02Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再利用线面平行的已知条
件求得70,,12P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，利用锥体
的体积公式即可得解. (1)
以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,4,0D ，()10,2,4D ， 设()4,,0Q m ，其中m BQ =，04m ≤≤，
若P 是1DD 的中点，则()0,3,2P ，()12,0,4AB =，()4,3,2PQ m =--， 于是1880AB PQ ⋅=-=，①1AB PQ ⊥，即1AB PQ ⊥． (2)
由题设知，()4,4,0DQ m =-，()10,2,4DD =-，是平面PDQ 内的两个不共线向量． 设()1,,n x y z =是平面PDQ 的一个法向量，
则()111440,0
240,0x m y n DQ y z n DD ⎧⎧+-=⋅=⎪⇒⎨⎨
-+=⋅=⎪⎩
⎩，取4y =，得()14,4,2n m =-． 又平面AQD 的一个法向量是()20,0,1n =， ①
(1212
12
cos ,4n n n n n n ⋅=
=
=
⋅ 而二面角P QD A --的余弦值为4
9
4
9=，
解得72m =
或92m =（舍去），此时74,,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 设()101DP DD λλ=<≤，而()10,2,4DD =-，由此得点()0,42,4P λλ-，14,2,42PQ λλ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，
①∥PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是()30,1,0n =， ①30PQ n ⋅=，即1202λ-
=，解得14λ=，从而70,,12P ⎛⎫
⎪⎝⎭
． 将四面体ADPQ 视为以ADQ △
为底面的三棱锥P ADQ -，则其高1h =， 故四面体ADPQ 的体积1
1184413
323
ADQ
V S
h =⋅=⨯⨯⨯⨯=．
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直
线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 21．(1)22
143
x y +=
(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）、利用已知条件列出方程组，求解,a b ，从而得到椭圆得标准方程；
（2）、设出直线1AT 、2A T 的方程，与椭圆方程联立，求出M N 、坐标，计算MN k ，求出直线MN 的方程，分析出故直线MN 经过定点(1,0)，从而求出FMN 的周长为定值． (1)
1
e 2
c a =
=
，2,a c b ∴===， 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，22191412c c ∴+
=， 1c ∴=
，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的标准方程为22
143x y +
=． (2)
解法一：证明：由题意可知，12(2,0),(2,0),(4,)(0)A A T t t -≠，设()()1122,,,M x y N x y ，
直线1AT 的方程为(2)6t y x =+，直线2A T 的方程为(2)2t
y x =-， 联立方程组22
(2),61,4
3t y x x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()2222
27441080t x t x t +++-=， 可得212
4108
227t x t --⋅=+，所以21254227t x t -=+，
则()211225421822662727t t t t
y x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭
，故22254218,2727t t M t t ⎛⎫- ⎪++
⎝⎭．
由22
(2),21,
4
3t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()2222
344120t x t x t +-+-=，可得22214322t x t -=+，所以222623t x t -=+， 则()2222226
6222233t t t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭
，故222266,33t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以2
22222
2
1866273542269
273MN
t t
t t t k t t t t t +++==-----++，
故直线MN 的方程为22226626393t t t y x t t t ⎛⎫
-+=-- ⎪+-+⎝⎭
， 即222666(1)999
t t t
y x x t t t =-
+=-----，3t ≠±， 故直线MN 过定点(1,0)，所以FMN 的周长为定值8．
当3t =±时，331,,1,22M N ⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭或331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知MN 是椭圆的通径，
经过焦点(1,0)，此时FMN 的周长为定值48a =， 综上可得，FMN 的周长为定值8．
解法二：当直线MN 斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，
由()
22222
,
348412014
3y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪
⇒+++-=⎨+=⎪⎩． 设()()1122,,,M x y N x y ，则有2121222
8412
,3434km m x x x x k k -+=-⋅=++，
直线111:(2)2y y x x A M =++，令4x =，得1
162
=+y y x ，
直线222:(2)2y y x x A N =
--，令4x =，得2222
y y x =-，所以12
12322y y x x =+-， 由()()22
222221
2212
323231432424x x x y y y x y x y +++=⇒=-⇒=--+，
所以()()()()12122240x x kx m kx m +⋅+++⋅+=，
即()()22
121241(24)440k x x km x x m ++++++=，
化简得(2)()02m k m k m k -+=⇒=或m k =-．
2m k =时直线MN 过点1(2,0)A -（舍），所以m k =-，
即直线MN 的方程为(1)y k x =-，过定点(1,0)．
当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为：x t =，
则有1212,x x t y y ===-，代入
121233112222
y y t x x t t =⇒=-⇒=+-+-， 直线1x =也过定点(1,0)，
综上所述，直线MN 始终经过椭圆的右焦点，故FMN 的周长为定值48a =．
解法三：当M
位于椭圆的上顶点，则此时M ，直线1A M 与:4l x =
相交于点T ， 则直线2A T
的方程为2)y x =-， 联立椭圆方程可得：21554480x x -+=
，则可知8,5N ⎛ ⎝⎭
，
易知直线MN 经过椭圆的右焦点(1,0)F '，此时FMN 的周长为定值48a =，
猜想，若FMN 的周长为定值，则直线MN 经过椭圆的右焦点．
证明如下：
依题意直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为1x my =+，
代入椭圆方程得：()2234690m y my ++-=，
设()()1122,,,M x y N x y ，则12122269,3434
m y y y y m m --+=
=++． 直线111:(2)2y y x x A M =++，令4x =，得1162=+y y x ， 直线222:(2)2y y x x A N =--，令4x =，得2222
y y x =-， 因为()()()()()()()
1221121212121212232222362222222y x y x my y y y y y x x x x x x --+-+⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦-==+-+-+-()()
2212962233434022m m m m x x --⎡⎤⨯-⨯⎢⎥++⎣⎦==+-， 所以直线12,A M A N 的交点在直线:4l x =上，即过直线:4l x =上的点T 所作的两条直线1TA 和2TA 分别与椭圆相交所得的两点M 、N 形成的直线MN 始终经过椭圆的右焦点， 故FMN 的周长为定值48a =．
22．(1)答案见解析
(2)①(,)e +∞；①证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.
（2）①由()0g x =转化为()ln e e x x
a x x =，通过换元法，结合导数求得a 的取值范围. ①利用换元法，将证明()12212e x x x x -+>转化为证明1ln 2
1
s s s ->+，通过构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
(1)
2(1ln )()a x f x x -'=， 若0a >，则当(0,e)x ∈时，21ln 0x x
->，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(,)x e ∈+∞时，2
1ln 0x x -<，()0f x '<，()f x 单调递减． 若0a <，则当(0,e)x ∈时21ln 0x x
->，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(,)x e ∈+∞时，
21ln 0x x
-<，()0f x '>，()f x 单调递增． (2) 由已知得e (ln )()0x x a x x g x x
-+==有两个不等的正实根， 所以方程e (ln )0x x a x x -+=，即()e ln e 0x x x a x -=，即()ln e e x x a x x =有两个不等正实根．
①设e x x t =，则ln (0)a t t t =>有两个不等根，又a 为非零实数，即
ln 1t t a =有两个不等根， 由（1）知，函数ln x y x
=在(0,e)递增，在(e,)+∞递减，有极大值1e ， 又0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()0f x →． 若ln 1t t a =有两个不等根，则110e
a <<，即实数a 的取值范围是(,)e +∞． ①要证()12212e x x x x -+>，只需证()()12212e e e x x x x ⋅>，即证()()
1212ln e ln e 2x x x x +>． 令121122e ,e x x t x t x ==，所以只需证12ln ln 2t t +>．
由()ln e e x x
a x x =得11ln a t t =，22ln a t t =，所以()()21212121ln ln ,ln ln a t t t t a t t t t -=-+=+，
消去a 得()221
12121212211
1ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证221
1211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-． 设120t t <<，令21t s t =，则1s >，所以只需证1ln 21
s s s ->+． 令1()ln 21
s h s s s -=-+，1s >，则22214(1)()0(1)(1)s h s s s s s -'=-=>++， 所以()(1)0h s h >=，即当1s >时，1ln 201
s s s -->+成立． 所以12ln ln 2t t +>，即()()
12212e e e x x x x ⋅>，即()12212e x x x x -+>. 【点睛】
在利用导函数研究函数的单调性的过程中，如果遇到参数，则需对参数进行分类讨论.。