高中数学(人教版A版选修2-3)配套单元检测：第1章 计数原理 1.3-1.3.1学业分层测评 Wo

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )
A ．(x －1)3
B ．(x －2)3
C ．x 3
D ．(x ＋1)3
2．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A.17
B ．－17
C ．7
D ．－7
3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
4．使⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( ) A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
二、填空题
6．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2
的系数为________．
7．设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．
8．9192被100除所得的余数为________．
三、解答题
9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *)．
10．(2016·淄博高二检测)在⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x 2的项．
[能力提升]
1．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )
A ．x ＝4，n ＝3
B ．x ＝4，n ＝4
C ．x ＝5，n ＝4
D ．x ＝6，n ＝5
2．已知二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，
则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )
A ．－19
B ．19
C ．20
D ．－20
3．对于二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断： ①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．
4．求⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项. 【导学号：97270023】
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )
A ．(x －1)3
B ．(x －2)3
C ．x 3
D ．(x ＋1)3
【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3.
【答案】 C 2．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A.17
B ．－17
C ．7
D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B
3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值
为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6.
【答案】 B
4．使⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．
【答案】 B
5．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( ) A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
【解析】 二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2－15展开式的通项为：T r ＋1＝ C r 5⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；
当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·
(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．
【解析】 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.
∴T k ＋1＝C k 8·
x 8－k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x k ＝C k 8·x 8－2k ，当8－2k ＝－2时，k ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝56.
【答案】 56
7．设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．
【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·
x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，
∴a ＝2.
【答案】 2
8．9192被100除所得的余数为________．
【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·
10090·92－…＋C 9292992，
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数． ∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·
10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.
法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292.
前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
【答案】 81
三、解答题
9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *)．
【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－
2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .
∴S ＝(－1)n ＝⎩⎨⎧
1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时. 10．在⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x 2的项．
【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，
又T 3＝C 26(2x )4⎝
⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.
(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.
[能力提升]
1．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )
A ．x ＝4，n ＝3
B ．x ＝4，n ＝4
C ．x ＝5，n ＝4
D ．x ＝6，n ＝5
【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入
检验知，仅C 适合．
【答案】 C
2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，
则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )
A ．－19
B ．19
C ．20
D ．－20
【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.
【答案】 C
3．对于二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断： ①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________． 【解析】 二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x 4r －n ，由通项公式可知，当n ＝4r (r ∈N *)和n ＝4r －1(r ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
【答案】 ①与④
4．求⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项. 【导学号：97270023】 【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有：
C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋
2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532
＝6322
.。